Bernoulli & der Venturi-Effekt

Verenge ein Rohr und verfolge, wie die Geschwindigkeit steigt und der Druck sinkt, bis das Wasser den Punkt erreicht, an dem es stattdessen siedet.

Rechenbeispiel — Bernoulli & der Venturi-Effekt

Geschwindigkeitsverhältnis	4,00×
Halsgeschwindigkeit	8,00 m/s
Druckänderung	-29,95 kPa
Absoluter Druck im Hals	71,38 kPa
Mach-Zahl im Hals	0,005
Volumenstrom	3,93 L/s
Kavitiert unter diesem Hals	18,75 mm
Kavitiert über dieser Geschwindigkeit	3,64 m/s

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Bernoulli & der Venturi-Effekt

Zwei Aussagen über ein Rohr. Alles, was du auf dieser Seite findest, ist deren Konsequenz. Kontinuität: Was hineinfließt, strömt auch wieder heraus. Es gilt A₁v₁ = A₂v₂, eine Verengung bedeutet also schnelleres Wasser. Bernoulli: Entlang einer Stromlinie ist die Summe aus Druck und kinetischer Energie pro Volumeneinheit festgelegt, es gilt somit p + ½ρv² = constant. Das schnellere Wasser muss daher unter einem geringeren Druck stehen. Nicht etwa, weil etwas es dorthin drückt. Die Energie wurde schlicht bereits für die Geschwindigkeit aufgewendet.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

A: der Querschnitt des Rohrs
v: die Strömungsgeschwindigkeit des Fluids
ρ: die Dichte des Fluids

Setzt voraus: Inkompressible, reibungsfreie, stationäre Strömung entlang einer einzigen Stromlinie. Die Viskosität ist hierbei der entscheidende Faktor: Ein reales Venturi-Rohr gewinnt seinen Druck stromabwärts nicht vollständig zurück. Die Differenz ist der Druck, der durch Reibung dauerhaft verloren geht. Genau das ist der Preis, den du für den Betrieb dieses Messgeräts zahlst.

Die Geschwindigkeit quadriert das Verhältnis; der Druck quadriert die Geschwindigkeit 🖖

Stell den Einlass auf 50 mm und den Hals auf 25 mm ein, mit Wasser bei 2 m/s. Die Zeile für die Halsgeschwindigkeit zeigt 8,00 m/s, die Druckänderung −29,95 kPa. Die Kontinuitätsgleichung ist für den ersten Wert verantwortlich. Das gleiche Volumen muss durch ein Viertel der Fläche fließen und sich dabei viermal so schnell bewegen. Das Geschwindigkeitsverhältnis zeigt also 4,00×, das Quadrat von 50/25. Den Rest erledigt Bernoulli. Der kinetische Term enthält v², also bedeutet die vierfache Geschwindigkeit einen sechzehnfachen Staudruck.

Tippe nun 10 in das Eingabefeld für den Hals. Geschwindigkeitsverhältnis 25,00×, Halsgeschwindigkeit 50,00 m/s, Druckänderung −1245,75 kPa. Der Einlass ist jetzt fünfmal so weit wie der Hals, statt doppelt so weit. Der Druckabfall ist damit 41,6-mal so groß wie der eben abgelesene Wert. Im zweiten Bereich wird das anschaulich, statt nur rechnerisch. Einlass und Fluid bleiben konstant, während ausschließlich der Hals variiert wird, nach rechts hin schmaler werdend. Die Kurve verläuft über die weiten Querschnitte fast waagerecht, bevor sie in die Tiefe stürzt.

Wo die Mathematik weiterläuft, das Wasser aber nicht 🖖

Diese −1245,75 kPa werden von einem Umgebungsdruck von 101,325 kPa abgezogen. Der absolute Druck im Hals liegt somit bei −1144,43 kPa. Keine Flüssigkeit der Welt kann einen negativen absoluten Druck haben. Wasser gibt schon weit über null auf: Bei 20 °C siedet es bei 2339 Pa. Das schattierte Band am unteren Rand beider Diagramme ist genau auf dieser Höhe eingezeichnet. Beobachte, wie die Druckkurve diese Linie kreuzt und sich rot färbt.

Die Zeile zeigt den Wert dennoch an und markiert ihn als nicht physikalisch, denn diese Zahl ist genau das, was du hier lernen sollst. Das Tool berechnet diese Grenze auch von der anderen Seite. Mit einem 50-mm-Einlass, Wasser bei 2 m/s und Umgebungsdruck auf Meereshöhe liefert die Zeile Kavitiert unter diesem Hals einen Wert von 18,75 mm. Zwingst du die Strömung durch einen noch engeren Querschnitt, zerreißt die Flüssigkeit, anstatt sich weiter zu verdünnen. Tippe 19 in das Hals-Feld ein, dann 18. Du siehst, wie das Urteil zwischen diesen beiden Werten umschlägt.

Zehn Meter Wasser kosten fast eine ganze Atmosphäre 🖖

Zehn Meter Höhe kosten fast den kompletten atmosphärischen Druck. Und sie kosten ihn, ganz gleich, ob sich etwas verengt oder nicht. Stell beide Durchmesser auf 50 mm ein. Zieh dann den Höhenregler, der den vertikalen Abstand zwischen Hals und Einlass bestimmt, auf +10,0 m. Die Zeile für die Druckänderung zeigt −97,92 kPa. Dieser gesamte Wert stammt aus ρgh: Wasser mit 998,2 kg/m³, g = 9,81 m/s², zehn Meter. Gemessen an den 101,325 kPa, die die Atmosphäre liefert, hat allein die Höhe bereits 96,6% davon aufgebraucht. Das Rohr ist dabei immer noch völlig gerade. Die Zeile für den absoluten Druck im Hals zeigt 3,40 kPa, also ungefähr ein kPa über der Dampfdrucklinie.

Der Regler stoppt bei 10 m, das Wasser bei 10,11 m. Dort vernichtet ρgh den gesamten verbliebenen Rest. Eine Saugpumpe hebt überhaupt nichts an. Sie senkt den Druck über dem Wasser und überlässt es der Atmosphäre, die Wassersäule nach oben zu drücken. Der niedrigste Druck, den sie erzeugen kann, sind jene 2339 Pa aus dem vorletzten Absatz. Danach fängt das Wasser an zu sieden, anstatt weiter zu steigen. Zehn Meter sind also das gesamte Budget – unabhängig davon, wie gut die Pumpe ist.

Aufgabe vollständig gelöst

Den Volumenstrom eines Venturirohrs ablesen, und jener Volumenstrom, den es niemals erfassen kann 8 Schritte
Eine 50-mm-Wasserleitung enthält einen Venturi-Einsatz mit einem 25-mm-Hals. Klick auf Klassisches Venturi, um dies einzustellen. Das Differenzdruckmanometer zwischen den beiden Anschlüssen zeigt 29,95 kPa. Wie groß ist der Volumenstrom, und was ist der höchste Volumenstrom, den dieses Messgerät jemals anzeigen könnte?

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Das gleiche Volumen, das jede Sekunde den Einlass passiert, fließt auch durch den Hals. Wo die Fläche abnimmt, muss die Geschwindigkeit also steigen, um das Produkt konstant zu halten. Die Fläche verhält sich quadratisch zum Durchmesser. Eine Halbierung der Bohrung verdoppelt die Geschwindigkeit deshalb nicht, sondern vervierfacht sie. Geschwindigkeitsverhältnis zeigt 4,00× und Halsgeschwindigkeit 8,00 m/s.
  
  $\frac{A _{1}}{A _{2}} = (\frac{d _{1}}{d _{2}})^{2} = (\frac{50}{25})^{2} = 4.00 v_{2} = v_{1} (\frac{d _{1}}{d _{2}})^{2} = 2 \times 4.00 = 8.00 m s^{- 1}$
2. Die Bernoulli-Gleichung bezahlt diese Geschwindigkeit mit dem Druck. Das Rohr liegt waagerecht, die beiden ρgh-Terme heben sich also auf und nur die kinetischen Terme bleiben übrig. Der kinetische Term enthält v². Die vierfache Geschwindigkeit kostet somit das Sechzehnfache des Staudrucks am Einlass, von dem einer bereits investiert war: Der Druckabfall entspricht dem Fünfzehnfachen von ½ρv₁², und ½ρv₁² ist hier 1996,4 Pa. Druckänderung zeigt −29,95 kPa.
  
  $Δ p = \frac{1}{2} ρ (v_{1}^{2} - v_{2}^{2}) = \frac{1}{2} (998.2) (2^{2} - 8^{2}) = - 29, 946 Pa$
3. Zieht man das vom atmosphärischen Druck am Einlassanschluss ab, liegt der Hals bei 71,38 kPa absolut. Da ist noch Spielraum. Wasser bei 20 °C siedet bei 2339 Pa. Es bleibt also eine ungenutzte Reserve von 69 kPa. Mach-Zahl im Hals zeigt 0,005. Das bestätigt, dass auch die andere Grundannahme der Bernoulli-Gleichung nicht ausgereizt wurde.
  
  $p_{2} = p_{amb} + Δ p \Rightarrow 101.325 - 29.946 = 71.379 kPa M = \frac{v _{2}}{c} = \frac{8.00}{1481} = 0.005$
4. Nichts davon entspricht der eigentlichen Aufgabe eines Venturirohrs. Ein Messgerät hat keinen Schieberegler für die Geschwindigkeit. Es besitzt zwei Anschlüsse und ein Differenzdruckmanometer. Der Volumenstrom ist die Unbekannte, für deren Bestimmung es überhaupt gebaut wurde. Rechne die gleiche Gleichung also einfach rückwärts, mit bekanntem Δp und gesuchtem v₁. Gib die 29,95 kPa des Manometers wieder ein. Als Einlassgeschwindigkeit erhältst du exakt jene 2,000 m/s, auf die der Einlass eingestellt war.
  
  $Δ p = - \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} [(\frac{d _{1}}{d _{2}})^{4} - 1] \Rightarrow v_{1} = \frac{2 ∣ Δ p ∣}{ρ [ ( d _{1} / d _{2} ) ^{4} - 1 ]} = \frac{2 ( 29 , 950 )}{( 998.2 ) ( 15 )} = 4.0005 = 2.000 m s^{- 1}$
5. Multipliziere das mit der Einlassfläche, π(0,050)²/4 = 1,9635×10⁻³ m². Schon erhältst du in der Zeile Volumenstrom die 3,93 L/s, abgeleitet aus einer Druckmessung anstatt aus einer Geschwindigkeit. Das Datenblatt eines Messgeräts fasst diese beiden Schritte zu einer einzigen Gleichung zusammen, mit β für das Durchmesserverhältnis d₂/d₁, das hier 0,5 beträgt. Diese Gleichung ist der Grund für die Existenz des Geräts, und sie ist das Einzige auf dieser Seite, das das Tool niemals berechnet.
  
  $Q = v_{1} A_{1} = 2.000 \times 1.9635 \times 1 0^{- 3} = 3.927 \times 1 0^{- 3} m^{3} s^{- 1} Q = A_{2} \frac{2 ∣ Δ p ∣}{ρ ( 1 - β ^{4} )} β = \frac{d _{2}}{d _{1}} = 0.5$
6. Jedes Messgerät hat eine Obergrenze. Diese hier wird vom Wasser bestimmt und nicht vom Instrument. Verenge den Hals, und der Druck dort fällt in der vierten Potenz des Durchmesserverhältnisses, bis er 2339 Pa erreicht. An diesem Punkt siedet die Flüssigkeit, statt weiter zu beschleunigen. Löse nach dem Hals auf, bei dem das für den aktuellen Volumenstrom passiert: Der Klammerausdruck ergibt 50,582, seine vierte Wurzel ist 2,6669. Kavitiert unter diesem Hals zeigt 18,75 mm. Der 25-mm-Hals des Einsatzes ist ein Drittel weiter als das.
  
  $d_{2}^{*} = d_{1} [1 + \frac{2 ( p _{amb} - p _{v} )}{ρ v _{1}^{2}}]^{- 1/4} = d_{1} (50.582)^{- 1/4} \frac{50}{2.6669} = 18.75 mm$
7. Die gleiche Grenze von der anderen Seite, wenn der Hals bei 25 mm fixiert bleibt. Was das Fluid ausgeben kann, ist der Umgebungsdruck abzüglich des Dampfdrucks, also 98.986 Pa. Was diesen Druck verbraucht, ist ρ[(d₁/d₂)⁴ − 1]. Kavitiert über dieser Geschwindigkeit zeigt 3,64 m/s.
  
  $v_{1}^{m a x} = \frac{2 ( p _{amb} - p _{v} )}{ρ [ ( d _{1} / d _{2} ) ^{4} - 1 ]} = \frac{2 ( 98 , 986 )}{( 998.2 ) ( 15 )} = 13.222 = 3.636 m s^{- 1}$
8. Keine Zeile wandelt diese Geschwindigkeit direkt in einen Volumenstrom um, also übernimm du das. 3,636 m/s durch eine 50-mm-Bohrung ergeben 7,14×10⁻³ m³/s, was 7,14 L/s entspricht. Der Vollausschlag des Messgeräts liegt beim 1,82-Fachen des aktuell gemessenen Volumenstroms. Die größte Druckdifferenz, die es jemals erzeugen wird, beträgt 98,99 kPa: Umgebungsdruck minus Dampfdruck. Darüber hinaus steht nichts mehr zur Verfügung. Drücke stärker, und der Hals füllt sich mit Dampf. Der Differenzdruck folgt dem Volumenstrom nicht mehr, und das Manometer misst nur noch eine kochende Blase.
  
  $Q_{m a x} = v_{1}^{m a x} A_{1} = 3.636 \times 1.9635 \times 1 0^{- 3} = 7.14 \times 1 0^{- 3} m^{3} s^{- 1} \frac{7.14}{3.927} = 1.818$
Antwort

3,93 L/s jetzt, und maximal 7,14 L/s. Das Tool gibt keinen der beiden Werte aus, und der zweite ist jener, der das Design bestimmt.

Klick auf Sanfte Verengung, um den Hals auf 40 mm zu öffnen. Kavitiert über dieser Geschwindigkeit steigt von 3,64 auf 11,73 m/s, was 23,0 L/s entspricht, während Druckänderung von −29,95 kPa auf −2,88 kPa einbricht. Beide Zahlen entstammen derselben Klammer, (d₁/d₂)⁴ − 1. Sie steht im Zähler der einen und unter einer Quadratwurzel im Nenner der anderen. Die Messspanne kann also immer nur um die inverse Quadratwurzel des geopferten Signals wachsen: Ein zehnmal kleinerer Differenzdruck erkauft dir einen 3,2-mal größeren Volumenstrom. Genau dieser Kompromiss ist die Wahl von β. Ein Hals, der weit genug ist, um niemals zu kavitieren, verlangt vom Messgerät die Auflösung von lediglich ein paar hundert Pascal.

$Q_{m a x} = A_{1} \frac{2 ( p _{amb} - p _{v} )}{ρ [ ( d _{1} / d _{2} ) ^{4} - 1 ]}$

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.