Kolligative Eigenschaften: Gefrierpunkt, Siedepunkt & Osmose

Wähle, was du lösen möchtest, wie viel davon und in wie viel Wasser. Die Seite zählt die Teilchen und berechnet alle vier Effekte, die sie verursachen: den Gefrierpunkt, den Siedepunkt, den osmotischen Druck und die Dampfdruckerniedrigung.

Rechenbeispiel — Kolligative Eigenschaften: Gefrierpunkt, Siedepunkt & Osmose

Molalität	1,000 mol/kg
Teilchen pro Kilogramm Wasser	1,000 osmol/kg
Kryoskopische Konstante, aus der Schmelzwärme	1,8595 K·kg/mol
Gefrierpunktserniedrigung	1,860 K
Siedepunktserhöhung	0,5131 K
Osmotischer Druck bei 25 °C	24,72 bar
Höhe der Wassersäule, die ihm standhält	252,8 m
Erniedrigung des Dampfdrucks von Wasser	1,770%

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Kolligative Eigenschaften: Gefrierpunkt, Siedepunkt & Osmose

Eine kolligative Eigenschaft hängt davon ab, wie viele gelöste Teilchen sich in einer bestimmten Menge Lösungsmittel befinden, und nicht davon, welche es sind. Vier von ihnen treten gemeinsam auf: Der Gefrierpunkt sinkt um ΔT_f = K_f · i · m, der Siedepunkt steigt um ΔT_b = K_b · i · m, der Dampfdruck fällt um den Stoffmengenanteil des gelösten Stoffes (Raoultsches Gesetz), und es entsteht ein osmotischer Druck Π = i · m · ρ · R · T über jeder Membran, die das Lösungsmittel durchlässt und den gelösten Stoff zurückhält. Hierbei ist m die Molalität, also die Mol pro Kilogramm Lösungsmittel. Der Faktor i zählt die Teilchen, in die jede Formeleinheit zerfällt.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

m: Molalität, in mol pro kg Wasser. Pro Masse des Lösungsmittels, sodass sie sich nicht wie eine volumenbezogene Konzentration mit der Temperatur ändert
i: der Van-'t-Hoff-Faktor: Teilchen pro Formeleinheit. In der idealen Zählung dieser Seite ist er 1 für Zucker, 2 für NaCl, 3 für CaCl₂
K_f: die kryoskopische Konstante, 1,8595 K·kg/mol für Wasser. R T_f² M / ΔH_fus, sie wird also durch die latente Wärme bestimmt
Π: osmotischer Druck, in Bar. Der Druck, der auf die Lösung ausgeübt werden müsste, um das Einströmen von reinem Wasser zu verhindern

Setzt voraus: Eine ideale verdünnte Lösung: Die Teilchen interagieren nicht, der gelöste Stoff verdampft nicht und nichts davon geht in das Eis über. Der Van-'t-Hoff-Faktor entspricht der idealen Zählung. Eine reale Salzlösung verhält sich jedoch so, als wäre i ein wenig kleiner, da Ionen entgegengesetzter Ladung nahe beieinander bleiben. Ein reales Protein wiederum trägt Gegenionen, die zu seiner Zählung beitragen. Der osmotische Druck nutzt die Dichte von Wasser bei der gewählten Temperatur, um die Molalität in eine Konzentration pro Volumen umzuwandeln, was der Form des Van-'t-Hoffschen Gesetzes für verdünnte Lösungen entspricht.
Versagt, wenn: Bei hoher Konzentration, und für Salz zeigt die Seite, wo das passiert. Bei 23,3 Massenprozent NaCl besagt die ideale Linie −19,33 °C und das gemessene Eutektikum liegt bei −21,1 °C, also 1,77 K tiefer. Über diesen Punkt hinaus ist die Sole gesättigt und Salzwasser kann nicht kälter werden. Die beiden untersten Zeilen der Tabelle sollen zeigen, wie das Gesetz über jeden Sinn hinaus extrapoliert wird: 10 osmol/kg würden einen osmotischen Druck von 247,2 Bar fordern, ein Wert, den keine reale Lösung in der hier geschriebenen Form erreicht.

Ein Kelvin Frost entspricht dreizehn Bar Druck 🖖

Klick auf Zuckerwasser, 1 mol/kg. Es gefriert 1,860 K tiefer und hält 24,72 Bar stand. Das Verhältnis der beiden beträgt 13,29 Bar pro Kelvin. Wenn du den Zucker gegen Salz, Harnstoff oder ein Protein austauschst, ändert sich das Verhältnis nicht. Beide Effekte zählen nämlich nur Teilchen und ignorieren, woraus diese bestehen. Darum kann das Diagramm sie als eine einzige Linie auf zwei Achsen darstellen. Meerwasser gefriert bei etwa −1,9 °C. Dieselbe Rechnung besagt also, dass es bei 25 °C etwa 25 Bar standhält. Diesen Druck muss eine Umkehrosmoseanlage überwinden, bevor sie auch nur einen einzigen Tropfen Süßwasser gewinnt. Jacobus van 't Hoff formulierte das Gesetz 1887 und gewann unter anderem dafür den ersten Nobelpreis für Chemie; die Gleichung dafür, wie sich K mit der Temperatur verschiebt, ist sein anderes Gesetz.

K_f ist nichts anderes als die latente Wärme 🖖

Die kryoskopische Konstante musst du dir nicht als isolierten Fakt merken. Sie ist R T_f² M / ΔH_fus, und bei den 6,01 kJ/mol von Wasser ergibt das 1,8595 K·kg/mol; die ebullioskopische Konstante liegt bei dessen Verdampfungswärme von 40,65 kJ/mol bei 0,5131. Ein Gefrierpunkt reagiert also 3,62-mal so empfindlich wie ein Siedepunkt. Der Grund dafür sind die latenten Wärmen: Eis zu schmelzen erfordert fast siebenmal weniger Energie, als Wasser zu verdampfen. Dadurch lässt sich das Gleichgewicht zwischen fest und flüssig weitaus leichter verschieben. Ein Lösungsmittel, das leicht schmilzt, lässt sich im Gefrierpunkt leicht absenken. Kampfer besitzt eine geringe Schmelzwärme und ein K_f nahe 40. Genau deshalb war er das klassische Lösungsmittel, um die Molmasse organischer Moleküle anhand ihres Gefrierpunkts zu bestimmen.

Ein Lineal kann ein Protein wiegen, das ein Thermometer nicht sehen kann 🖖

Klick auf Ein Protein. Ein Gramm eines 100-kDa-Proteins in 100 g Wasser verschiebt den Gefrierpunkt um 1,86×10⁻⁴ K, ein Fünftel eines tausendstel Grades. Dieselbe Lösung hinter einer Membran, die Wasser durchlässt und das Protein aufhält, erzeugt eine 25,28 mm hohe Wassersäule. Der osmotische Druck beträgt bei jeder Konzentration 13,29 Bar pro Kelvin, aber ein Millimeter Wasser lässt sich leicht ablesen, ein Millikelvin jedoch nicht. Deshalb wurden die Molmassen großer Moleküle durch Osmometrie gemessen, und aus diesem Grund rechnet die untenstehende Beispielaufgabe die Seite rückwärts.

Aufgabe vollständig gelöst

Ein Protein mit einer Wassersäule wiegen 4 Schritte
Du löst 1,00 g eines unbekannten Proteins in 100 g Wasser bei 25 °C. Hinter einer Membran, die Wasser durchlässt und das Protein aufhält, steigt die Lösung, bis die Säule 25,3 mm über dem reinen Wasser steht. Die Dichte von Wasser bei 25 °C beträgt 997,05 kg/m³. Finde die Molmasse und gib dann an, wie weit sich der Gefrierpunkt derselben Lösung verschieben würde.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Das Gewicht der Säule ist der osmotische Druck: 997,05 kg/m³ × 9,80665 m/s² × 0,0253 m, was 247,4 Pa entspricht. Etwa ein Vierhundertstel einer Atmosphäre.
  
  $Π = ρ g h = 997.05 \times 9.80665 \times 0.0253 = 247.4 Pa$
2. Teile durch RT, um die Konzentration zu erhalten: 0,09979 mol pro Kubikmeter Lösung.
  
  $c = \frac{Π}{R T} = \frac{247 . 4}{8 . 3145 \times 298 . 15} = 0.09979 mol/ m^{3}$
3. Für ein Kilogramm Wasser teilst du durch die Dichte. Das sind 1,0009×10⁻⁴ mol/kg und in 100 g Wasser somit 1,0009×10⁻⁵ mol des Proteins.
  
  $m = \frac{0 . 09979}{997 . 05} = 1.0009 \times 1 0^{- 4} mol/kg \Rightarrow n = 1.0009 \times 1 0^{- 5} mol$
4. 1,00 g geteilt durch 1,0009×10⁻⁵ mol ergibt die Molmasse.
  
  $M = \frac{1 . 00}{1 . 0009 \times 1 0 ^{- 5}} = 99, 914 g/mol$
Antwort

Etwa 99.900 g/mol, ein 100-kDa-Protein. Der Gefrierpunkt derselben Lösung würde um 1,86×10⁻⁴ K sinken. Beide Messungen tragen dieselbe Information, da jede das 13,29-fache in Bar pro Kelvin der anderen ist. Aber die eine ist eine Säule, die du mit einem Lineal ablesen kannst, und die andere ist ein Fünftel eines Millikelvins. Die Gegenionen eines Proteins fügen Teilchen hinzu und lassen die Säule höher ablesen. Deshalb wird die Osmometrie in einem Salzpuffer durchgeführt, sodass kleine Ionen auf beiden Seiten der Membran vorhanden sind und sich aufheben.

$M \approx 99, 900 g/mol Δ T_{f} = 1.8595 \times 1.0009 \times 1 0^{- 4} = 1.86 \times 1 0^{- 4} K$

Lernpfad

Gemische und Lösungen

Quellen (3)

The law the page is built on, and the paper that gave osmotic pressure its gas-law form: J. H. van 't Hoff, "Die Rolle des osmotischen Druckes in der Analogie zwischen Lösungen und Gasen." Zeitschrift für Physikalische Chemie 1, 1887, pp. 481-508. DOI 10.1515/zpch-1887-0151
Water's density at each temperature, and the latent heats of fusion and vaporisation that K_f and K_b are computed from on this page: W. Wagner and A. Pruß, "The IAPWS Formulation 1995 for the Thermodynamic Properties of Ordinary Water Substance for General and Scientific Use." Journal of Physical and Chemical Reference Data 31(2), 2002, pp. 387-535. DOI 10.1063/1.1461829
The salt-water eutectic the lesson's breaks measures the ideal line against, −21.1 °C at 23.3 wt% NaCl: V. A. Drebushchak, A. G. Ogienko and A. S. Yunoshev, "Metastable eutectic melting in the NaCl-H2O system." Thermochimica Acta 647, 2017, pp. 94-100. DOI 10.1016/j.tca.2016.12.004

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.

Kolligative Eigenschaften: Gefrierpunkt, Siedepunkt & Osmose

Was die einzelnen Symbole bedeuten

Ein Kelvin Frost entspricht dreizehn Bar Druck 🖖

Kf ist nichts anderes als die latente Wärme 🖖

Ein Lineal kann ein Protein wiegen, das ein Thermometer nicht sehen kann 🖖

K_f ist nichts anderes als die latente Wärme 🖖