Druck in der Tiefe

Wähle ein Gefäß, eine Tiefe und eine Flüssigkeit. Die Seite berechnet den Bodendruck, die Kraft, die dieser Druck ausübt, und wie diese Kraft im Vergleich zum Gewicht der darüberstehenden Flüssigkeit ausfällt.

Rechenbeispiel — Druck in der Tiefe

Dichte der Flüssigkeit	998 kg/m³
Druck am Boden	4,896 kPa
Fläche des Bodens	0,0314 m²
Kraft der Flüssigkeit auf den Boden	153,8 N
Fassungsvermögen	15,708 L
Gewicht dieser Flüssigkeit	153,8 N
Kraft auf Boden ÷ Gewicht	1,000
Kraft auf senkrechte Wand, pro Meter	1.224,0 N/m

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Druck in der Tiefe

Druck ist über eine Fläche verteilte Kraft, p = F/A. Gemessen wird er in Pascal: Ein Pascal ist ein Newton auf einem Quadratmeter. In einer ruhenden Flüssigkeit beträgt der Druck in einer Tiefe h unter der Oberfläche p = ρgh. Dabei ist ρ die Dichte der Flüssigkeit und g ist 9,81 m/s². Schau dir an, was in der Formel fehlt. Es gibt darin keine Fläche, kein Volumen und nichts über das Gefäß. Alle drei Behauptungen der Seite leiten sich aus diesem Fehlen ab. Jeder Druck hier ist ein Überdruck, also genau der Betrag, den die Flüssigkeit zu dem hinzufügt, was ohnehin schon auf ihre Oberfläche drückt.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

p: Druck in Pascal. 1 Pa = 1 N/m², und ein Kilopascal sind tausend davon
ρ: Dichte der Flüssigkeit in kg/m³. Die einzige Eigenschaft der Flüssigkeit, die auf dieser Seite vorkommt
h: Tiefe unter der Oberfläche in Metern. Tiefe, nicht Höhe des Gefäßes, und nicht die Flüssigkeitsmenge
A: Die belastete Fläche in m². Druck mal Fläche ergibt die Kraft
g: 9,81 m/s², damit sich für ρgh Pascal ergeben

Setzt voraus: Dass die Flüssigkeit ruht und ihre Dichte überall gleich ist. Beides trifft auf Wasser in einem Tank gut zu, auf die Atmosphäre aber kaum. Deshalb behandelt diese Seite Flüssigkeiten und keine Gase. Der Atmosphärendruck wird aus allen Zahlen herausgelassen. Er hebt sich nämlich auf: Die Luft drückt mit denselben 101 kPa von oben auf die Oberfläche wie von unten gegen den Boden. Er taucht also in der Kraft auf die Basis nie auf. Ein Tiefenmesser im Pool funktioniert genauso. Deshalb sind die Zahlen hier genau die, die du auch messen würdest.
Versagt, wenn: Sobald die Flüssigkeit sich bewegt. Ein durchströmtes Rohr gehorcht Bernoulli, nicht diesem Gesetz. Unter Bernoulli & der Venturi-Effekt wird berechnet, welchen Druck ein bewegtes Fluid an seine eigene Geschwindigkeit verliert. Kompressible Fluide brechen die zweite Annahme. Luft halbiert ihre Dichte etwa alle 5,5 km, daher ist ρgh mit konstantem ρ für alles über ein paar Dutzend Meter Atmosphäre schlicht falsch. Sehr kleine Gefäße brechen die Regel ebenfalls. In einem rund einen Millimeter feinen Rohr zieht die Oberflächenspannung die Flüssigkeit um ein Stück nach oben oder unten, was diese Seite gar nicht erst modelliert. Und die Wandkraft gilt hier pro Meter einer geraden, senkrechten Wand. Eine gebogene Staumauer trägt ihre Last teilweise, indem sie sich in die Talflanken stemmt. Das erfordert eine andere Rechnung und ist der Grund, warum Bogenstaumauern so dünn sein können.

Vier Gefäße, zweiundvierzigmal so viel Wasser, ein Messwert 🖖

Klick auf Erweitert, 68 Liter und dann auf Röhre auf Scheibe, 1,6 Liter. Gleiche Grundfläche, derselbe halbe Meter Wasser, und das Volumen ändert sich um den Faktor 42. Der Druck liegt beide Male bei 4,896 kPa und die Kraft auf den Boden beträgt jeweils 153,8 N. In p = ρgh kommen nur Tiefe und Dichte vor. Von den Wänden wissen diese beiden nichts. Die Tabelle unten lässt alle vier Gefäße gleichzeitig laufen. So kannst du beobachten, wie zwei ihrer Spalten stillstehen, während sich der Rest bewegt.

Der Boden trägt mehr, als die Flüssigkeit wiegt 🖖

Das Rohr auf der Scheibe fasst 1,606 Liter (etwa 1,6 kg). Sein Boden trägt jedoch 153,8 N, was dem Gewicht von 15,7 kg entspricht. Das ist das 9,78-Fache des darauf stehenden Wassers. Das erweiterte Gefäß ist mit 0,231 das genaue Spiegelbild. Dabei wird nichts aus dem Nichts erschaffen. Die schrägen Wände drücken im verjüngten Fall auf die Flüssigkeit hinab und heben sie im erweiterten Fall an. Diese Differenz ist exakt das, was der Boden spürt. Das Experiment, das Pascals Namen trägt, treibt dies auf die Spitze. Ein paar hundert Gramm Wasser in einem langen, dünnen Rohr lassen das Fass darunter bersten. Das Rechenbeispiel unten zeigt dieses Fass mit konkreten Zahlen.

Doppelt so tief bedeutet vierfache Last auf die Wand 🖖

Der Druck auf eine Staumauer ist keine einzelne Zahl. Er wächst von null an der Oberfläche bis auf ρgh am Grund. Über die Wand gemittelt ist er halb so groß wie das Maximum. Auch die benetzte Fläche wächst mit der Tiefe. Die Kraft pro Meter Breite beträgt also ½ρgh²: ein Quadrat. Vertiefst du ein Staubecken von 1 m auf 2 m, steigt die Last auf die Wand von 4.896 auf 19.585 N pro Meter. Sie vervierfacht sich. Das ist auch der Grund, warum ein Damm unten dick und oben dünn ist. Die Resultierende wirkt im unteren Drittel, nicht auf halber Höhe.

Aufgabe vollständig gelöst

Pascals Fass: Wie viel Kraft übt ein halber Liter Wasser auf den Deckel aus? 6 Schritte
Ein verschlossenes Fass hat einen 0,60 m breiten Deckel. Ein dünnes Rohr mit 5 mm Radius ist in den Deckel eingepasst und bis auf eine Höhe von 5 m mit Wasser gefüllt. Berechne die Kraft, die das Wasser auf den Deckel ausübt, und vergleiche sie mit dem Gewicht des Wassers im Rohr, bevor du weiterliest. Klick auf Rohr auf Scheibe, 1,6 L, um dasselbe im Maßstab eins zu zehn zu sehen.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Das Rohr fügt allein durch seine Höhe Druck hinzu, sonst nichts. Fünf Meter Wasser:
  
  $p = ρ g h = 998.2 \cdot 9.81 \cdot 5 = 48, 962 Pa$
2. Dieser Druck wirkt auf den gesamten Deckel, also eine Scheibe mit 0,30 m Radius:
  
  $A_{lid} = π R^{2} = π \cdot 0.3 0^{2} = 0.28274 m^{2}$
3. Kraft ist Druck mal Fläche. Als Masse ausgedrückt ist das greifbarer: Der Deckel trägt etwa 1,4 Tonnen.
  
  $F = p A_{lid} = 48, 962 \cdot 0.28274 = 13, 844 N (\frac{13 , 844}{9 . 81} = 1, 411 kg)$
4. Nun zum Wasser, das diese Kraft ausübt. Die Bohrung des Rohrs beträgt 5 mm, sein Querschnitt ist also winzig:
  
  $bore radius cross-section π r^{2} volume π r^{2} h mass ρ V weight ρ V g 0.005 m 7.854 \times 1 0^{- 5} m^{2} 3.927 \times 1 0^{- 4} m^{3} = 0.3927 L 0.392 kg 3.85 N$
5. Teile das eine durch das andere. Dreihundertneunzig Gramm Wasser üben 13.844 N auf den Deckel aus:
  
  $\frac{F}{W} = \frac{13 , 844}{3 . 85} = 3, 600$
6. Die wichtigste Erkenntnis zeigt sich in den Formeln. Schreib das Verhältnis in Formelzeichen auf und die Höhe kürzt sich heraus, da sie im Druck und nochmals im Volumen steht. Dasselbe gilt für die Dichte und für g. Die Multiplikation ist einzig und allein das Verhältnis der beiden Flächen. Genau so hebt ein hydraulischer Wagenheber ein Auto an.
  
  $\frac{F}{W} = \frac{ρ g h A _{lid}}{ρ g A _{pipe} h} = \frac{A _{lid}}{A _{pipe}} = (\frac{0 . 30}{0 . 005})^{2} = 6 0^{2} = 3, 600$
Antwort

13.844 N auf den Deckel, durch 3,85 N Wasser: eine Multiplikation von 3.600. Dieser Wert entspricht (0,30 ÷ 0,005)² und wäre für ein Rohr jeder Höhe und eine Flüssigkeit jeder Dichte derselbe. Pascal brauchte nicht viel Wasser, sondern ein dünnes Rohr. Das Fass platzt nicht wegen dem, was im Rohr ist. Es platzt wegen des Verhältnisses zwischen Rohr und Deckel.

$13, 844 N from 3.85 N \Rightarrow \frac{A _{lid}}{A _{pipe}} = 3, 600$

Quellen (3)

How the result on this page was arrived at, and by whom. Stevin had the paradox in 1586, half a century before Pascal, and the paper follows what each of them actually added: A. F. Chalmers, "Qualitative novelty in seventeenth-century science: Hydrostatics from Stevin to Pascal." Studies in History and Philosophy of Science Part A 51, 2015, pp. 1-10. DOI 10.1016/j.shpsa.2015.01.001
Stevin's own hydrostatics, where the force on the base was first separated from the weight of the liquid: E. J. Dijksterhuis, "Hydrostatics." In Simon Stevin: Science in the Netherlands around 1600, Springer Netherlands, 1970, pp. 64-69. DOI 10.1007/978-94-010-3207-0_5
The paradox had a name and a readership long before it had a syllabus. This is the 1869 note it carried in Scientific American: "The Hydrostatic Paradox." Scientific American 21, 1869, p. 249. DOI 10.1038/scientificamerican10161869-249

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.