Auftrieb & Archimedisches Prinzip

Ein Boot in einem Tank und eine Ladung, die sich entweder an Bord oder außenbords befindet. Die Seite berechnet, wie tief das Boot im Wasser liegt, wo der Wasserspiegel steht und wie weit sich dieser Spiegel bewegt, wenn die Ladung das Boot verlässt.

Rechenbeispiel — Auftrieb & Archimedisches Prinzip

Masse, die das Boot trägt	160,0 kg
Flüssigkeit, die das Boot verdrängt	160,29 L
Auftrieb am Rumpf	1.569,6 N
Wie tief der Rumpf im Wasser liegt	100,2 mm
Höhe der Wasseroberfläche über dem Tankboden	1,0267 m
Pegeländerung, wenn die Ladung außenbords geht	−5,83 mm
Wie weit sich das Boot dabei hebt	25,0 mm
Mindestwasser, um das Boot schwimmen zu lassen	440,00 kg

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Auftrieb & Archimedisches Prinzip

Archimedisches Prinzip: Ein ganz oder teilweise in ein Fluid eingetauchter Körper erfährt eine nach oben gerichtete Kraft, den Auftrieb, die gleich dem Gewicht der von ihm verdrängten Flüssigkeit ist, F_b = ρgV. Die Kraft entsteht durch Druck: Die Flüssigkeit drückt stärker auf die Unterseite des Körpers als auf seine Oberseite, weil die Unterseite tiefer liegt. Ein Körper schwimmt, wenn der Auftrieb an seinem eingetauchten Teil seinem Gewicht entspricht, also verdrängt ein schwimmender Körper genau seine eigene Masse an Flüssigkeit. Ein sinkender Körper kann nicht mehr als sein eigenes Volumen verdrängen, und alles von seinem Gewicht, was der Auftrieb nicht trägt, ruht auf dem Boden. Jede Zahl auf dieser Seite ist einer dieser beiden Sätze.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

ρ: Dichte der Flüssigkeit, in kg/m³: 998,2 für Süßwasser bei 20 °C und 1.025 für Meerwasser
V: Volumen der verdrängten Flüssigkeit, in m³. Tausend Liter sind ein Kubikmeter
F_b: der Auftrieb, ρgV, in Newton. Bei einem schwimmenden Körper entspricht dies dem Gewicht des Körpers
d: Tiefgang, wie tief der Rumpf im Wasser liegt: seine Masse geteilt durch ρ mal seine Grundfläche
A_t: Grundfläche des Tanks. Ein unter der Oberfläche hinzugefügtes Volumen hebt den Pegel um dieses Volumen geteilt durch A_t
A_b: Grundfläche des Rumpfes, die Fläche seines flachen Bodens

Setzt voraus: Einen kastenförmigen Rumpf mit flachem Boden und geraden Seitenwänden sowie einen Tank mit geraden Wänden, sodass ein Volumen geteilt durch eine Fläche eine Höhe ergibt. Die Flüssigkeit ist ruhend, inkompressibel und hat überall die gleiche Dichte. Ein gesunkener Block ist ein Würfel, der frei vom Rumpf und vollständig unter Wasser auf dem Boden liegt; das Fazit weist darauf hin, wenn das Wasser zu flach ist, um ihn zu bedecken. Schmelzwasser hat die Dichte von Süßwasser bei 20 °C und behält sein Volumen, wenn es sich mit dem Meer mischt. Der Wert von Noerdlinger und Brower liegt bei etwa 2,6 % gegenüber den 2,68 % dieser Seite; bei den Dichten und der Mischung können sich die beiden unterscheiden, und diese Seite behandelt beides vereinfacht. Die Dichte von Kiefernholz liegt typischerweise bei 500 kg/m³; jedes schwimmende Holz liefert die gleiche Null.
Versagt, wenn: Sobald der Rumpf kein Kasten mehr ist. Die Wasserlinienfläche eines echten Bootes ändert sich mit der Tiefe, also wird sein Tiefgang durch Integrieren der Rumpfform bestimmt, und das Heben des Bootes wird kein einfaches Verhältnis mehr sein; die Pegeländerung des Teiches bleibt unangetastet, weil sie nur von Volumina abhängt. Die Oberflächenspannung macht die Behauptung vom engen Tank in den kleinsten Maßstäben zunichte, wenn der Spalt um den Rumpf herum ein oder zwei Millimeter beträgt. Kompressibilität ändert in diesen Tiefen nichts: Ein paar Meter Wasser pressen es um weitaus weniger zusammen als jede Zahl, die die Seite ausgibt. Und ein Boot, das Wasser über die Bordwand aufnimmt, hört auf, ein Boot zu sein: Über die Rumpfhöhe hinaus meldet diese Seite das Boot als überspült, anstatt ein Sinken zu berechnen.

Der Anker geht außenbords und der Teich sinkt 🖖

Klick auf Anker im Boot, dann auf Anker auf dem Grund. Im Boot schwimmt der Anker zusammen mit dem Rumpf, und alles Schwimmende verdrängt seine eigene Masse an Wasser: 40 kg Anker, 40,07 Liter. Auf dem Grund verdrängt er nur sein eigenes Volumen, was bei Eisen mit 7.874 kg/m³ genau 5,08 Litern entspricht. Die fehlenden 35 Liter, verteilt über den 6 m² großen Teich, senken die Oberfläche um 5,83 mm. Im selben Moment hebt sich das Boot um 25,0 mm, und ein sich hebendes Boot ist das, dem das Auge folgt. Die Tabelle unter den Ergebnissen berechnet dieselben 40 kg für sechs Materialien: Kiefer und Eis verändern nichts, und Gold, das dichteste Material, senkt den Pegel um 6,33 mm, fast die 6,68 mm, die einem vollständigen Verlust von 40,07 Litern entsprächen.

Schmelzendes Eis belässt ein Glas Wasser auf demselben Stand und lässt das Meer steigen 🖖

Eis, das in Süßwasser schwimmt, verdrängt seine eigene Masse an Wasser, und wenn es schmilzt, wird es zu genau dieser Masse an Wasser, sodass sich der Pegel nicht verändert: Das Werkzeug zeigt 0,000 mm für jeden Block jeder Größe an. In Meerwasser stimmen die beiden nicht mehr überein. Eis in Meerwasser hält 200 kg Eis über Wasser, indem es 195,12 Liter Meer verdrängt, und schmilzt zu 200 kg Süßwasser, welches weniger dicht als das Meer ist und 2,68 % mehr Raum einnimmt. Der Pegel steigt um 0,873 mm. Die Dichte des Eises taucht in dieser Rechnung nirgends auf; nur die beiden Wasser tun das. Noerdlinger und Brower haben dies 2007 für die Ozeane berechnet. Sie bezifferten den Überschuss auf etwa 2,6 % und rechneten vor, dass der Meeresspiegel um etwa 4 cm steigen würde, wenn alles Meereis und alle schwimmenden Schelfeise schmelzen würden.

Eine Tonne Boot schwimmt auf 50 kg Wasser 🖖

Der Auftrieb an einem Rumpf ist der Druck darunter multipliziert mit seiner Fläche, und der Druck darunter ist ρgh: Er hängt davon ab, wie tief der Rumpf im Wasser liegt, nicht davon, wie viel Wasser um ihn herum ist. Das Boot braucht also nur genug Wasser, um den Spalt um sich herum bis zu seinem Tiefgang zu füllen. Eine Tonne im engen Tank setzt ein 1.000 kg schweres Boot mit einem 2 m² großen Rumpf in einen Tank von 2,1 m², und das wenigste Wasser, das es schwimmen lässt, ist 50,00 kg. Teile das durch die Bootsmasse und du erhältst 5,0 %, was der Spaltfläche im Verhältnis zur Rumpffläche entspricht, 0,1 ÷ 2, wobei sich sowohl Dichte als auch Gewicht herauskürzen. Druck in der Tiefe zeigt dasselbe von unten: Die Kraft auf eine Grundfläche wird durch die Tiefe darüber bestimmt, und eine dünne Wassersäule drückt mit fast dem Zehnfachen ihres eigenen Gewichts auf ihre Basis.

Aufgabe vollständig gelöst

Lass den Anker an einem Seil hinab. Wann sinkt der Teich? 5 Schritte
Das Ruderboot aus der ersten Voreinstellung, 120 kg mit einem 40 kg schweren Eisenanker, auf einem 6 m² großen Teich. Anstatt den Anker zu werfen, lässt du ihn an einem Seil hinab, bis er unter Wasser hängt, ohne den Grund zu berühren, und dann lässt du ihn absinken. Ändert sich der Pegel, während er hängt, und um wie viel ändert er sich, wenn er den Grund berührt? Entscheide dich, bevor du weiterliest.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Beginne mit allem an Bord. Das Boot trägt 160 kg, also verdrängt es 160 kg Wasser:
  
  $V_{1} = \frac{120 + 40}{998 . 2} = 0.16029 m^{3} = 160.29 L$
2. Das Eigenvolumen des Ankers und der Auftrieb, der auf ihn wirkt, sobald er unter Wasser ist, das Gewicht von 5,07 kg Wasser:
  
  $V_{a} = \frac{40}{7874} = 0.00508 m^{3} ρ V_{a} = 998.2 \times 0.00508 = 5.07 kg$
3. Während der Anker am Seil hängt, wird er teilweise vom Wasser und teilweise vom Seil gehalten. Das Seil trägt den Rest:
  
  $T = (40 - 5.07) g = 34.93 kg \times 9.81 = 342.65 N$
4. Diese Zugkraft zieht das Boot nach unten, sodass das Boot nun 154,93 kg trägt. Addiere das, was der Rumpf verdrängt, zu dem, was der Anker daneben verdrängt:
  
  $V_{2} = \frac{120 + 34 . 93}{998 . 2} + 0.00508 = 0.15521 + 0.00508 = 0.16029 m^{3} = V_{1}$
5. Die Summe ist exakt der Wert für an Bord. Lass nun den Anker absinken. Der Boden übernimmt die 34,93 kg, die das Seil gehalten hat, das Boot trägt nur noch seine eigenen 120 kg, und das Wasser verliert diesen Teil seiner Last:
  
  $V_{3} = \frac{120}{998 . 2} + 0.00508 = 0.12530 m^{3} Δ h = \frac{V _{3} - V _{1}}{A _{t}} = \frac{0 . 12530 - 0 . 16029}{6} = - 5.83 mm$
Antwort

Nichts bewegt sich, während der Anker hängt: Das Wasser trägt die gesamten 160 kg, teils durch den Rumpf und teils durch den Anker, genau wie damals, als der Anker an Bord war. Der Pegel fällt in dem Moment um 5,83 mm, in dem der Anker den Grund berührt, denn von da an stützt der Boden 34,93 kg, die zuvor das Wasser getragen hat. Was den Pegel bestimmt, ist die Frage, wer das Gewicht trägt, und sie außenbords zu bringen, ist nicht das Ereignis, das daran etwas ändert.

$V_{2} = V_{1} \Rightarrow Δ h = 0 V_{3} < V_{1} \Rightarrow Δ h = - 5.83 mm$

Quellen (3)

The principle in Archimedes' own two halves: Proposition 5, a floating solid sinks until it displaces its own weight of fluid, and Proposition 7, a solid heavier than the fluid goes to the bottom and weighs less there by the weight of the fluid it displaces: T. L. Heath (ed.), The Works of Archimedes. Cambridge University Press, 1897. On Floating Bodies, Book I, Propositions 5-7, pp. 257-258.
Why melting floating ice raises the sea, and by about how much: meltwater takes up about 2.6% more room than the seawater the ice displaced, and melting all sea ice and floating ice shelves would raise sea level about 4 cm: P. D. Noerdlinger and K. R. Brower, "The melting of floating ice raises the ocean level." Geophysical Journal International 170(1), 2007, pp. 145-150. DOI 10.1111/j.1365-246X.2007.03472.x
The density of ice, 916.72 kg/m³ at its normal melting point, from the international equation of state for ordinary ice: International Association for the Properties of Water and Steam, Revised Release on the Equation of State 2006 for H2O Ice Ih, IAPWS R10-06(2009). Doorwerth, The Netherlands, September 2009. Table 6.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.