Kristallpackung: Wie voll ist ein Metall?

Wähle ein Metall oder gib eine Struktur, einen Gitterparameter und eine molare Masse ein. Die Seite ermittelt, wo sich die Atome berühren, leitet daraus den Radius ab und berechnet, wie viel des Kristalls die Atome ausfüllen, wie viel Raum jedem Atom gehört und welche Dichte sich daraus ergibt. Die Atome werden als harte Kugeln behandelt, eine Annahme, die zwei der drei folgenden Erläuterungen widerlegen.

Rechenbeispiel — Kristallpackung: Wie voll ist ein Metall?

Atome in einer Zelle	4
Nächste Nachbarn	12
Nächster-Nachbar-Abstand	2,5562 Å
Radius der berührenden Kugeln	1,2781 Å
Volumen der Zelle	47,240 Å³
Raumerfüllung	74,05%
Volumen pro Atom	11,810 Å³
Dichte aus dem Gitter	8,935 g/cm³

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Kristallpackung: Wie voll ist ein Metall?

Ein Kristall wiederholt eine Elementarzelle. Das Zählen seiner Atome berücksichtigt ihre gemeinsame Nutzung: Ein Eckatom gehört zu acht Zellen, ein Flächenatom zu zwei. Die Raumerfüllung ist der Anteil der Zelle, der in den Atomen liegt, wobei jedes Atom eine Kugel ist, die gerade ihre nächsten Nachbarn berührt: φ = n · (4/3)πr³ / V, wobei der Radius r die Hälfte des Nächster-Nachbar-Abstands ist. Dieselbe Zelle liefert die Dichte, ρ = nM / (N_AV), da sie n Atome bekannter Masse enthält.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

a: der Gitterparameter: die Kante der kubischen Zelle oder die Kante der hexagonalen Grundfläche, gemessen durch Röntgen- oder Neutronenbeugung
n: Atome pro Zelle, wobei ein Eckatom als ⅛ und ein Flächenatom als ½ gezählt wird
r: der Radius der sich berührenden Kugeln, die Hälfte des kürzesten Abstands zwischen zwei Atomzentren
φ: die Raumerfüllung, der Teil des Zellvolumens innerhalb der Kugeln

Setzt voraus: Atome sind harte Kugeln mit einem festen Radius, die sich entlang des kürzesten Abstands im Gitter berühren. Gitterparameter sind Raumtemperaturwerte aus Wyckoffs Zusammenstellung von 1963, außer Eisen bei 912 °C und Polonium bei 283 K. Der Kristall ist perfekt: keine fehlenden Atome, keine Verunreinigungen, ein einziges Isotopengemisch, das Standard-Atomgewicht. Jede Dichte, die die Seite ausgibt, ist die Röntgendichte eines solchen Kristalls; Poren und Fehlstellen in einer realen Probe können sie nur senken.
Versagt, wenn: Überall dort, wo das Atom keine harte Kugel ist, was die Seite selbst zweimal zeigt: Eisens Radius ändert sich mit seinen Nachbarn um 2,52 %, und das c/a-Verhältnis von Zink zeigt, dass sich seine Bindungen zwischen Schichten von denen innerhalb einer Schicht unterscheiden. Bei Verbindungen, deren zwei Arten von Ionen zwei Radien haben und nach einer anderen Regel packen. Und auf dem Niveau von Teilen pro Milliarde, wo Fehlstellen, Verunreinigungen und das Isotopengemisch allesamt gemessen werden müssen, wie es das Avogadro-Projekt tat.

Die kubisch flächenzentrierte und hexagonale Packung füllen dieselben 74,05 %, und keine Packung gleicher Kugeln füllt mehr 🖖

Lege Kugeln in eine flache Schicht und jede berührt sechs. Die nächste Schicht sitzt in den Mulden, und die dritte hat eine Wahl: direkt über der ersten, ABAB, das ist die hexagonal dichteste Packung, oder über den Mulden, die die zweite freigelassen hat, ABCABC, das ist kubisch flächenzentriert. In beiden Fällen berührt jede Kugel zwölf andere, und die Kugeln füllen π/(3√2) = 74,05 % des Raumes. Klick auf Kupfer, wechsle dann die Struktur zu hexagonal, die Seite beginnt beim idealen c/a: dieselbe Zahl. Kepler vermutete 1611, dass nichts dichter packt. Thomas Hales' Beweis erschien 2005 und lief teils auf einem Computer, und eine formale Version, bei der jeder Schritt maschinell geprüft wurde, folgte 2017. Kubisch raumzentriert sieht fast genauso dicht aus, mit acht Nachbarn und sechs weiteren, die nur 15 % weiter weg sind, und füllt 68,02 %.

Eisen wird um 1 % dichter, wenn es über 912 °C erhitzt wird, wo harte Kugeln 8 % erwarten lassen 🖖

Klick auf Eisen unter 912 °C, dann Eisen über 912 °C. Raumzentriertes Eisen hat a = 2,9058 Å und gibt jedem Atom 12,268 Å³; flächenzentriertes Eisen bei derselben Temperatur hat a = 3,6487 Å und gibt jedem Atom 12,143. Das ist 1,02 % weniger Raum, also macht das Erhitzen von Eisen durch die Umwandlung es dichter, und ein Dilatometer sieht, wie der Stab schrumpft, während der Ofen noch heißer wird. Kugeln einer festen Größe wären um 8,14 % geschrumpft, der Unterschied zwischen 68,02 % und 74,05 %. Sie tun es nicht, weil das Atom nicht von einer festen Größe ist: Aus jedem Gitter abgeleitet, beträgt der Radius von Eisen 1,2583 Å in der raumzentrierten Form und 1,2900 Å in der flächenzentrierten, 2,52 % größer mit zwölf Nachbarn als mit acht. Röntgenmessungen aus 1955 ergeben denselben Schritt, 1,04 %.

Zink wird hexagonal dichtest gepackt genannt, packt aber weniger als Eisen 🖖

Hexagonale Schichten sind nur dann dicht gepackt, wenn die Höhe der Zelle √(8/3) = 1,6330-mal ihre Breite beträgt, sodass die sechs Nachbarn eines Atoms in der nächsten Schicht genauso nah sind wie die sechs in seiner eigenen. Magnesium kommt nah heran, bei 1,6235, und füllt 73,62 %. Klick auf Zink: Sein c/a ist 1,8563. Die Schichten stehen auseinander, die Atome in der nächsten sitzen 2,9128 Å entfernt, gegenüber 2,6648 Å innerhalb der Schicht, 9,31 % weiter weg, und als in der Schicht berührende Kugeln füllt Zink 65,14 %. Das ist weniger als die 68,02 % von raumzentriertem Eisen, einer Struktur, die niemand dicht gepackt nennt. Cadmium verhält sich genauso, 64,12 %. Der Name hält die Stapelfolge fest, ABAB. Ob der Stapel dicht ist, wird durch c/a bestimmt, und das von Zink besagt, dass seine Bindungen zwischen den Schichten nicht die gleichen sind wie seine Bindungen innerhalb einer Schicht, was eine Kugel unmöglich ausdrücken kann.

Aufgabe vollständig gelöst

Die Avogadro-Zahl mit einer Siliziumkugel zählen 4 Schritte
2017 berichtete die International Avogadro Coordination über eine 1-kg-Kugel aus Silizium, das zu 99,9985 % auf Silizium-28 angereichert war. Ihre molare Masse betrug 27,976942674 g/mol, ihr Gitterparameter 543,0996218 pm und ihre Dichte 2320,068748 kg/m³. Silizium hat die Diamantstruktur. Wie viele Atome sind in einem Mol?

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Die Diamantzelle enthält acht Atome: acht Ecken zu ⅛, sechs Flächen zu ½ und vier im Inneren.
  
  $n = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} + 4 = 8$
2. Ihr Volumen ist a³, mit a = 5,430996218×10⁻⁸ cm: 1,6019114×10⁻²² cm³.
  
  $a^{3} = (5.430996218 \times 1 0^{- 8} cm)^{3} = 1.6019114 \times 1 0^{- 22} c m^{3}$
3. Ihre Masse ist Dichte mal Volumen, 2,320068748 g/cm³ × 1,6019114×10⁻²² cm³ = 3,7165447×10⁻²² g, also wiegt ein Atom ein Achtel davon, 4,6456808×10⁻²³ g.
  
  $m_{cell} = ρ a^{3} = 2.320068748 \times 1.6019114 \times 1 0^{- 22} = 3.7165447 \times 1 0^{- 22} g m_{atom} = \frac{m _{cell}}{8} = 4.6456808 \times 1 0^{- 23} g$
4. Ein Mol dieser Atome wiegt 27,976942674 g. Teilt man dies durch die Masse eines Atoms, zählt man sie.
  
  $N_{A} = \frac{M}{m _{atom}} = \frac{8 M}{ρ a ^{3}} = \frac{27 . 976942674}{4 . 6456808 \times 1 0 ^{- 23}}$
Antwort

N_A = 6,022140516×10²³ pro Mol, der eigene Wert der Studie, auf alle zehn Stellen genau, die sie für diese Kugel angibt. Die Seite rechnet dieselbe Arithmetik vorwärts durch: Klick auf Silizium, und die 5,4307 Å des natürlichen Siliziums, acht Atome und 28,085 g/mol ergeben 2,329 g/cm³. Seit 2019 ist die Avogadro-Konstante per Definition auf 6,02214076×10²³ festgelegt, sodass die Messung nun andersherum verläuft, von gezählten Atomen zu einer Masse, und es ist eine der beiden genauesten Methoden, durch die das Kilogramm realisiert wird.

$N_{A} = 6.022140516 \times 1 0^{23} mo l^{- 1}$

Quellen (3)

Every room-temperature lattice parameter on the page, entry by entry, from Wyckoff's compilation as the Crystallography Open Database transcribes it: R. W. G. Wyckoff, Crystal Structures, vol. 1, 2nd edition. Interscience, New York, 1963; entries 9008460-9008565 of the Crystallography Open Database (crystallography.net). Polonium: W. H. Beamer and C. R. Maxwell, J. Chem. Phys. 17, 1293 (1949), COD 1509138.
Iron's two lattice parameters at 912 °C, from neutron diffraction in the furnace: M. Onink, C. M. Brakman, F. D. Tichelaar, E. J. Mittemeijer, S. van der Zwaag, J. H. Root and N. B. Konyer, "The lattice parameters of austenite and ferrite in Fe-C alloys as functions of carbon concentration and temperature." Scripta Metallurgica et Materialia 29(8), 1993, pp. 1011-1016. DOI 10.1016/0956-716X(93)90169-S
The silicon-28 sphere of the worked problem, and the Avogadro constant it gave: G. Bartl, P. Becker, B. Beckhoff et al. (33 authors), "A new ²⁸Si single crystal: counting the atoms for the new kilogram definition." Metrologia 54(5), 2017, pp. 693-715. DOI 10.1088/1681-7575/aa7820

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.