Sinkgeschwindigkeit & stokessches Gesetz

Wähle Radius, Material und Fluid, um zu sehen, wie schnell eine Kugel sinkt und ab welcher Größe die Formel ihre Gültigkeit verliert.

Rechenbeispiel — Sinkgeschwindigkeit & stokessches Gesetz

Richtung	sinkt
Stokessches Gesetz liefert	0,8985 m/s
Eigene Reynolds-Zahl der Kugel	895,4
Quadratischer Widerstand	0,2146 m/s
Größter Radius, für den Stokes gilt	5,19 × 10⁻⁵ m
Dazugehörige Sinkgeschwindigkeit	0,009671 m/s

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Sinkgeschwindigkeit & stokessches Gesetz

Die Endgeschwindigkeit ist erreicht, sobald eine fallende Kugel nicht weiter beschleunigt. Der Strömungswiderstand ist dann genauso groß wie ihr Gewicht im Fluid. Gemeint ist das Gewicht abzüglich des Auftriebs, weshalb es auf die Differenz der Dichten ankommt und nicht auf die Dichte allein. Welches Widerstandsgesetz anwendbar ist, richtet sich nach der aktuellen Geschwindigkeit. Das Gesetz von Stokes, bei dem der Widerstand proportional zur Geschwindigkeit wächst, gilt, solange die Strömung um die Kugel laminar bleibt.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

Δρ: die Dichte der Kugel abzüglich der Dichte des Fluids
μ: die dynamische Viskosität des Fluids

Setzt voraus: Eine glatte, starre Kugel, ganz allein in einem unendlich ausgedehnten Fluid. In einem Messzylinder ist jede einzelne dieser Annahmen falsch. Die Wände bremsen das Absinken. Benachbarte Teilchen verändern gegenseitig ihr Strömungsverhalten. Und ein Sandkorn ist nun einmal keine Kugel.

Die Reynolds-Zahl ist 895,4; das stokessche Gesetz erfordert Re ≤ 1 🖖

Klick auf 1 mm Sandkorn in Wasser. Stokessches Gesetz liefert 0,8985 m/s, und daran wirkt zunächst nichts verkehrt: Sand sinkt, und ein Korn dieser Größe, das mit etwa einem Meter pro Sekunde fällt, entspricht der Größenordnung, die du vermutlich erwartet hättest. In der Zeile darunter steht jedoch 895,4. Das ist die eigene Reynolds-Zahl genau dieses Korns bei der gerade genannten Geschwindigkeit. Das stokessche Gesetz wurde aber für Schleichströmungen hergeleitet. Es liefert nur dann auf wenige Prozent genaue Ergebnisse, solange Re unter etwa 1 bleibt. Bei rund Re = 20 löst sich die Strömung hinter einer Kugel ab. Dieses Sandkorn zieht einen Nachlauf hinter sich her.

Die Formel v = 2r²Δρg / (9η) enthält keinen Term, der widersprechen könnte. Sie liefert also bei Re = 895 mit derselben Gelassenheit eine Antwort wie bei Re = 0,001. Die Zeile Quadratischer Widerstand ergibt für dasselbe Korn 0,2146 m/s, also einen viermal kleineren Wert. Diese Zahl ist aber nicht verlässlicher. Re = 895 fällt in das Band zwischen den beiden Gesetzen, in dem keines exakt gilt und keine geschlossene Lösung existiert.

Die Grenze ist eine Kubikwurzel, die im Diagramm schattiert wird 🖖

Setzt du die stokessche Geschwindigkeit wieder in die Reynolds-Zahl ein, fällt diese auf eine einzige Potenz des Radius zusammen: Re(r) = 4gρ_fΔρr³ / (9η²). Setze das gleich 1, und der Radius ergibt sich als r³ = 9η² / (4gρ_fΔρ). Da Re monoton mit r wächst, gibt es genau eine positive Wurzel, nach der du nicht erst suchen musst. Für Quarzsand in Wasser liegt sie bei 5,19 × 10⁻⁵ m, mit einer Sinkgeschwindigkeit von 0,009671 m/s. Klick auf Sand an Re = 1 Grenze und die Reynolds-Zeile zeigt 1,0000. Stokes leitete den Widerstand, auf dem das alles beruht, 1851 in einer Arbeit her. Er untersuchte darin, warum ein Pendel in Luft anders schwingt als im Vakuum. Die Kugel war dabei nur ein Nebenresultat.

Das Diagramm markiert diesen Radius rot und schattiert alles, was darüber hinausgeht. Beide Prognosen sind über den gesamten Definitionsbereich eingezeichnet. Auf doppelt-logarithmischen Achsen unterscheiden sich ihre Steigungen: 2 für das stokessche Gesetz gegenüber ½ für den quadratischen Widerstand. Die beiden Linien schneiden sich also einmal und laufen zu beiden Seiten des Schnittpunkts auseinander. Ändere das Fluid zu Honig und die rote Grenze verschiebt sich auf 0,02360 m. Das ist eine Sandkugel mit 2,4 cm Radius, die immer noch in einer Schleichströmung sinkt, weil die Viskosität von Honig vier Größenordnungen über der von Wasser liegt.

Die Geschwindigkeit skaliert mit r², die Reynolds-Zahl mit r³ 🖖

Lies die beiden Formeln hinsichtlich ihrer Potenzen von r. Die stokessche Geschwindigkeit enthält r², ein zehnmal dickeres Korn sinkt also hundertmal so schnell. Die Reynolds-Zahl multipliziert diese Geschwindigkeit noch einmal mit dem Durchmesser, wodurch sie mit r³ skaliert: zehnmal dicker bedeutet die tausendfache Reynolds-Zahl. Zieh den Schieberegler und beobachte beide Zeilen. Sand mit 5 µm Radius in Wasser sinkt mit 8,98 × 10⁻⁵ m/s bei Re = 8,95 × 10⁻⁴. Bei 50 µm sinkt er mit 0,008985 m/s bei Re = 0,8954.

Wegen der dritten Potenz schließt sich das nutzbare Fenster so schnell. Sand in Wasser verlässt das stokessche Gesetz bei 5,19 × 10⁻⁵ m und erreicht den Newton-Bereich bei 5,19 × 10⁻⁴ m, exakt eine Dekade später, weil 1000 gleich 10³ ist. Als Durchmesser ausgedrückt sind das 0,104 mm und 1,04 mm. Auf der Wentworth-Skala reicht das von sehr feinem bis zu sehr grobem Sand. Das gesamte Übergangsband passt in eine einzige Dekade auf dem Schieberegler.

Aufgabe vollständig gelöst

Wie lange ein Quarzkorn braucht, um in ruhendem Wasser 2 m tief zu sinken 7 Schritte
Klick auf 1 mm Sandkorn in Wasser. Das stokessche Gesetz liefert 0,8985 m/s, und es wird dir für jedes erdenkliche Korn eine Antwort liefern. Darf es das überhaupt? Falls nicht, finde das gröbste Korn, für das es gültig ist, und berechne die Zeit, die dieses Korn fällt, um eine 2 m hohe Säule aus ruhendem Wasser zu durchqueren.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Eine einzige Subtraktion bereitet alles Folgende vor. Quarz hat 2650 kg/m³ und Wasser bei 20 °C hat 998,2. Das Korn wiegt also mehr als das von ihm verdrängte Wasser, und die Zeile Richtung zeigt sinkt an. Was es nach unten zieht, ist diese Differenz und nicht die eigene Dichte des Korns: Legst du dasselbe Korn in Glycerin mit 1261 kg/m³, fällt der antreibende Wert von 1651,8 auf 1389. Das stokessche Gesetz ist direkt proportional dazu. Die Formel für den quadratischen Widerstand weiter unten skaliert mit der Quadratwurzel dieser Differenz.
  
  $Δ ρ = ρ_{s} - ρ_{f} \Rightarrow 2650 - 998.2 = 1651.8 kg m^{- 3}$
2. Bei der terminalen Sinkgeschwindigkeit ist die resultierende Kraft null, Gewichtskraft minus Auftrieb entspricht also dem Strömungswiderstand. Das stokessche Gesetz setzt diesen Widerstand als 6πηrv an. Stellst du nach v um, erhältst du die Zeile Stokessches Gesetz liefert. Die Formel verlangt einen Radius, ein Korn mit 1 mm Durchmesser fließt also als 5×10⁻⁴ m ein. Das Werkzeug gibt 0,8985 m/s aus.
  
  $v = \frac{2 r ^{2} Δ ρ g}{9 η} = \frac{2 ( 5 \times 1 0 ^{- 4} ) ^{2} ( 1651.8 ) ( 9.80665 )}{9 ( 1.0016 \times 1 0 ^{- 3} )} = 0.8985 m s^{- 1}$
3. Jetzt musst du dich fragen, ob die Formel überhaupt antworten durfte. Stokes leitete sie für Schleichströmungen her. Die Größe, die angibt, ob eine Strömung schleicht, ist die eigene Reynolds-Zahl des Korns, gebildet aus der Geschwindigkeit, die du gerade berechnet hast. Die darin enthaltene Längenabmessung ist der Durchmesser, 2r. Genau hier geht in der Regel leicht ein Faktor zwei verloren. Eigene Reynolds-Zahl der Kugel zeigt 895,4 gegenüber einer Obergrenze von 1. Die Zeile Strömungsbereich benennt das Band, in dem es gelandet ist: Übergangsbereich (1 < Re ≤ 1000), wo keine geschlossene Lösung exakt ist und Ingenieure stattdessen auf empirische Korrelationen zurückgreifen.
  
  $R e = \frac{ρ _{f} v ( 2 r )}{η} = \frac{( 998.2 ) ( 0.8985 ) ( 1.0 \times 1 0 ^{- 3} )}{1.0016 \times 1 0 ^{- 3}} = 895.4 \Rightarrow 1 < R e \leq 1000$
4. Die andere Lehrbuchformel ist der quadratische Strömungswiderstand mit C_d ≈ 0,47 für eine glatte Kugel. Sie ist die exakte Formel von Re = 1000 bis etwa 2×10⁵. Die Zeile Quadratischer Widerstand liefert 0,2146 m/s. Ein Korn, zwei Formeln, ein Faktor von 4,19 zwischen ihren Ergebnissen, und das Korn liegt außerhalb des Gültigkeitsbereichs beider Ansätze. Keine der beiden Zahlen ist die Sinkgeschwindigkeit eines 1 mm großen Sandkorns.
  
  $v_{N} = \frac{8 r g ∣ Δ ρ ∣}{3 C _{d} ρ _{f}} = \frac{8 ( 5 \times 1 0 ^{- 4} ) ( 9.80665 ) ( 1651.8 )}{3 ( 0.47 ) ( 998.2 )} = 0.046035 = 0.2146 m s^{- 1} \frac{0.8985}{0.2146} = 4.187$
5. Finde also das Korn, für das die Seite antworten darf. Setzt du das stokessche v wieder in die Reynolds-Zahl ein, bleibt eine reine Funktion des Radius übrig. Sie ist proportional zu r³ und wächst daher streng monoton. Re = 1 hat also genau eine positive Wurzel, und du kannst sie direkt aufschreiben, statt sie suchen zu müssen. Größter Radius, für den Stokes gilt gibt 5,19×10⁻⁵ m an. Das ist ein Korn mit 0,104 mm Durchmesser und liegt am feinen Ende dessen, was man gemeinhin als Sand bezeichnen würde.
  
  $R e (r) = \frac{4 g ρ _{f} Δ ρ r ^{3}}{9 η ^{2}} = 1 \Rightarrow r_{m a x} = 3 \frac{9 ( 1.0016 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{2}}{4 ( 9.80665 ) ( 998.2 ) ( 1651.8 )} = 3 1.3960 \times 1 0^{- 13} = 5.1875 \times 1 0^{- 5} m$
6. Die dazugehörige Sinkgeschwindigkeit lautet 0,009671 m/s. Trage die ungerundete Wurzel in diese Zeile ein: 51,8 µm ergeben 0,009643 m/s, und Radius und Geschwindigkeit würden dann nicht mehr auf derselben Kurve liegen. Das Grenzkorn sinkt 93-mal langsamer, als das stokessche Gesetz für das 1 mm Korn behauptet hat, und hier hält das Werkzeug an. Teilst du 2 m durch diese Geschwindigkeit, benötigt das Korn 206,8 Sekunden, also drei Minuten und siebenundzwanzig Sekunden. Keine einzige Zeile auf dieser Seite gibt eine Zeit aus.
  
  $v (r_{m a x}) = \frac{2 ( 5.1875 \times 1 0 ^{- 5} ) ^{2} ( 1651.8 ) ( 9.80665 )}{9 ( 1.0016 \times 1 0 ^{- 3} )} = 0.009671 m s^{- 1} t = \frac{2}{0.009671} = 206.8 s$
7. Diese Division setzte voraus, dass das Korn beim Loslassen bereits 0,009671 m/s schnell war. Linearisierst du den Fall, m·dv/dt = W_b − 6πηrv, erfolgt die Annäherung an die Sinkgeschwindigkeit exponentiell mit der Zeitkonstante τ = m/(6πηr), was 2r²ρ_s/(9η) entspricht, sobald die Masse ausgeschrieben ist. Zählst du nur die eigene Trägheit des Korns, sind das 1,582 Millisekunden. Der Weg, den es während der Beschleunigung verliert, beträgt vτ = 15,3 µm, weniger als acht Millionstel der Wassersäule. Addierst du die Trägheit des verdrängten Wassers, steigt τ auf 1,88 ms und verschiebt nichts, was jemand stoppen könnte.
  
  $τ = \frac{2 r _{m a x}^{2} ρ _{s}}{9 η} = \frac{2 ( 5.1875 \times 1 0 ^{- 5} ) ^{2} ( 2650 )}{9 ( 1.0016 \times 1 0 ^{- 3} )} = 1.582 \times 1 0^{- 3} s v τ = 0.009671 \times 1.582 \times 1 0^{- 3} = 1.530 \times 1 0^{- 5} m$
Antwort

Das stokessche Gesetz deckt Quarz in Wasser bis zu einem Radius von 51,9 µm ab, und dieses Korn durchquert 2 m in 3 Minuten 27 Sekunden. Das 1 mm Korn, mit dem du begonnen hast, bekommt überhaupt keine Antwort. Seine zwei Formeln liefern 2,2 Sekunden und 9,3 Sekunden, und nichts auf der Seite kann dir sagen, welchem Ende du glauben sollst.

Diese 206,8 Sekunden sind der Grund, warum eine Sinkstoffsäule ein Messinstrument ist. Rühre eine Schluffprobe in ruhendes Wasser ein, ziehe nach einer festgelegten Zeit aus einer bestimmten Tiefe eine Pipette, und das stokessche Gesetz verwandelt die Uhrzeit in eine Korngröße. Das ist die Pipettenmethode, und so bestimmt man noch heute die Schluff- und Tonfraktion eines Bodens. Sie funktioniert, solange Re unter 1 bleibt. Für Quarz in Wasser bedeutet das einen Radius unter etwa 52 µm. Darüber hinaus ist die Zeitmessung genauso reproduzierbar, aber die gelieferte Größe ist schlichtweg falsch.

$t = \frac{h}{v} = \frac{9 η h}{2 r ^{2} Δ ρ g}$

Quellen (1)

Where the drag on a slow-moving sphere comes from — a paper about pendulums: G. G. Stokes, "On the Effect of the Internal Friction of Fluids on the Motion of Pendulums." Transactions of the Cambridge Philosophical Society 9, 1851, pp. 8–106.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.