Interaktive Mathe- und Wissenschafts-Lektionen

Schiefe Ebene, Schraube & Keil

dasselbe Dreieck, um einen Zylinder gewickelt oder in einen Holzklotz getrieben

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Eine flachere Rampe gewinnt immer und verlangt stets ihren Preis 🖖

Der ideale Vorteil lautet 1/sin θ. Flacher ist auf dem Papier also besser: Bei 15° bietet die Geometrie 3,86 gegenüber 1,41 bei 45°. Die Reibung holt sich das Meiste davon zurück. Halte μ bei 0,2 und du erhältst real 2,21 gegenüber 1,18. Ein flacherer Winkel verschafft dir 1,03 an tatsächlichem Vorteil, wo die Geometrie noch 2,45 versprach – lediglich 42 % davon. Die Prüfung aller Winkel zeigt keinen Wendepunkt. 5° ist mit 3,49 noch besser, und darunter steigt der Wert weiter. Du bezahlst dafür mit dem Wirkungsgrad. Dieser sinkt auf 30,4 %. Du schiebst volle 11,47 Meter für jeden erreichten Höhenmeter.

Eine Schraube ist genau diese aufgerollte Rampe 🖖

Wickle einen einzelnen Gewindegang ab und du erhältst ein Dreieck. Seine Höhe entspricht der Steigung, die Grundseite dem Umfang. Die voreingestellte Standardschraube hat 3 mm Steigung bei 10 mm Radius. Ihre Neigung beträgt folglich 2,734° bei einem idealen Vorteil von 20,94. Keine Rampe, die du noch hinaufgehen könntest, liefert dir einen derart hohen Wert. Der Preis dafür steht in derselben Zeile: Bei 24,0 % Wirkungsgrad fließen drei Viertel der Arbeit in das Gewinde. Schrauben dienen der Krafterzeugung, niemals der bloßen Bewegung von Dingen.

Unterhalb eines bestimmten Winkels hält sie von allein 🖖

Eine Last ruht auf einer Schräge, wenn tan θ nicht größer als μ ist. Sie rutscht genau in dem Moment ab, in dem dies nicht mehr gilt. Bei μ = 0,2 liegt diese Grenze bei 11,31°. Bei 11,3° hält die Last, bei 11,4° rutscht sie. Das ist exakt die gleiche Bedingung, die eine Schraube selbsthemmend macht. Aus diesem Grund bleibt ein Bolzen ohne Ratsche und Sperrklinke fest angezogen. Eine Maschine, die hineingesteckte Arbeit schlecht wieder herausgibt, braucht schlichtweg keine Bremse.

Vierzigfaches Gewicht, und nicht eine Zahl rührt sich 🖖

Zieh die Last von 50 N auf 2000 N und schau dir das Ergebnis über der Rampe an. Es ändert sich nicht. Der mechanische Vorteil ebenso wenig: Bei 20° mit μ = 0.36 zeigt das Tool 1,4699 für eine Kiste mit 50 N und 1,4699 für eine mit 2000 N. Das Gewicht taucht im Problem zweimal auf und kürzt sich heraus. Es zieht die Last als mg sin θ den Hang hinab und drückt sie als mg cos θ in die Rampe. Das ist die Kraft, mit der die Reibung arbeitet. Verdopple die Masse und du verdoppelst beides. Die Haltebedingung lautet also tan θ ≤ μ und kommt völlig ohne m aus. Ein Kiesel und ein Klavier, die zeitgleich auf derselben Schräge losgelassen werden, bleiben auf dem gesamten Weg nach unten auf gleicher Höhe. Der Kraftaufwand skaliert natürlich: 34,02 N gegenüber 1360,62 N, also exakt vierzigmal so viel. Die Rampe bietet jeder Last dasselbe Tauschgeschäft an und hat keine Meinung dazu, wie schwer sie ist.

Aufgabe vollständig gelöst

  1. Einen Gewindegang zu einem Dreieck abwickeln 7 Schritte

    Lade die Standardschraube: 3 mm Steigung bei 10 mm Radius, 1.000 N Last, μ = 0,15. Die Anzeige nennt einen idealen Vorteil von 20,94 und einen Wirkungsgrad von 24,0 %. Beide Werte stammen aus demselben Dreieck. Finde es.

    1. Nimm eine volle Drehung des Gewindes und wickle sie ab. Das Gewinde klettert um die Steigung, während es den Schaft einmal umrundet. Es bildet somit die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Höhe die Steigung und dessen Grundseite der Umfang ist. Eine Schraube ist eine um einen Zylinder gewickelte schiefe Ebene. Dieser Satz wird hier zur einfachen Rechnung.

    2. Die Neigung dieses Dreiecks ist der Steigungswinkel. Er liegt unter drei Grad. Genau deshalb fühlt sich eine Schraube nicht wie eine Rampe an, obwohl sie eine ist.

    3. Der ideale Vorteil ist der Weg, den du zurücklegst, geteilt durch den Weg der Last: einmal um den Umfang für eine einzige Steigung vorwärts.

    4. Die Reibung kommt als eigener Winkel ins Spiel. Der Reibungswinkel ist exakt die Neigung, bei der eine Oberfläche gerade anfängt loszulassen. Ihn zum Steigungswinkel zu addieren, ist der Standardweg, um Reibung in eine Schraube einzubeziehen.

    5. Der Kraftaufwand ergibt sich direkt daraus. Statt 1.000 geteilt durch 20,94, was 47,8 N ergibt, brauchst du das Vierfache.

    6. Den tatsächlichen Vorteil erhältst du, indem du die Last durch den Kraftaufwand teilst: 1.000/199,2 = 5,02. Der Wirkungsgrad ist also das Verhältnis zwischen dem erreichten Vorteil und dem, den die Geometrie ermöglicht.

    7. Derselbe Vergleich verrät dir, ob die Schraube ohne Hand daran an Ort und Stelle bleibt. Du drückst ihn dafür nur mit einem Tangens anstelle eines Winkels aus.

    Antwort

    Ein idealer Vorteil von 20,94 aus einem 3 mm hohen und 62,83 mm langen Dreieck. Der Wirkungsgrad liegt bei 24,0 %, weil die Reibung 8,531° zu einer Neigung addiert, die zu Beginn nur 2,734° betrug.

    Drei Viertel der Arbeit fließen in das Gewinde. Das ist kein tolerierter Fehler. Es ist genau die Eigenschaft, für die du bezahlst. Eine Maschine, die Arbeit derart schlecht zurückgibt, kann von ihrer eigenen Last nicht rückwärts gedrückt werden. Das ist exakt die Aussage von tan λ ≤ μ: 0,0477 gegen 0,15. Sie hemmt sich selbst mit reichlich Reserve. Deshalb bleibt ein Bolzen ohne Ratsche, Sperrklinke und Feder festgezogen. Deshalb hält ein Wagenheber eine Tonne in der Luft, während du die Hand vom Griff nimmst. Wechsle den Modus zu Schiefe Ebene. Versuche einen Winkel zu finden, der selbsthemmend wirkt und trotzdem einen Vorteil von 20 liefert. Es gibt keinen. Auf einer offenen Rampe ziehen diese beiden Bedingungen in entgegengesetzte Richtungen. Erst durch das Aufwickeln des Dreiecks um einen Zylinder erfüllt eine Schraube beide.

Lernpfad

Einfache Maschinen: Kraft gegen Weg tauschen

Führt zu Zahnradgetriebe Reibung als Winkel statt als Prozentwert, und damit die Selbsthemmung: den Grund, warum eine Schraube festgezogen bleibt.

· Aktualisiert

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Beispielaufgaben

  • Flache Rampe (15°) - Eine 15°-Rampe bei μ = 0,2: 500 N bewegt mit 226,0 N. Die Geometrie bietet 3,86 und die Reibung liefert 2,21 zurück, bei einem Wirkungsgrad von 57,3 %.
  • Steile Rampe (45°) - Eine 45°-Rampe bei μ = 0,3: 459,6 N Schubkraft für kaum einen messbaren Vorteil von 1,09. Hier ist es jedoch die effizienteste Einstellung mit 76,9 %.
  • Standardschraube - 3 mm Steigung bei 10 mm Radius: 2,734° Neigung, ein idealer Vorteil von 20,94 und 24,0 % Wirkungsgrad. Selbsthemmend, wie es jeder Bolzen sein muss.
  • Spaltkeil (15°) - Ein 15°-Spaltkeil bei μ = 0,25: 631,4 N Hammerschlag liefern 800 N zur Seite, bei 16,7 % Wirkungsgrad. Die ineffizienteste Maschine in diesem Kapitel spaltet das Holz trotzdem.