Wellrad: Mechanischer Vorteil

ein Türknauf, ein Lenkrad und ein Schraubendreher sind ein und dieselbe Maschine mit unterschiedlichen Zahlen

Rechenbeispiel — Wellrad: Mechanischer Vorteil

Idealer mech. Vorteil (R / r)	6,00
Tatsächlicher mech. Vorteil	5,40
Zugkraft (E)	92,6 N
Seil auf Rad pro Umdrehung	3,77 m
Radradius (R)	60 cm
Wellenradius (r)	10 cm
Last (L)	500 N
Wirkungsgrad (η)	90%

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Das Radienverhältnis entspricht dem Streckenverhältnis 🖖

Der mechanische Vorteil ist R/r. Bei einer vollen Umdrehung bewegen sich 2πR außen am Rand gegenüber 2πr innen an der Achse. Das 2π kürzt sich heraus, das Streckenverhältnis entspricht also exakt dem Radienverhältnis. Die Brunnenwinde macht aus 3,770 m Kurbelweg genau 0,628 m gehobenes Seil. Ein Verhältnis von exakt sechs zu eins. Und das ist genau die gleiche Sechs wie bei ihrem idealen mechanischen Vorteil. Jedes Rad-Achse-System in diesem Werkzeug gehorcht diesem Prinzip. Letztlich ist es zweimal dieselbe Gleichung.

Ein Hebel, dem nie der Weg ausgeht 🖖

Lege den Drehpunkt exakt in die Mitte der Welle. Sofort werden die beiden Radien zu den Armen eines zweiseitigen Hebels. R/r ist lediglich ein anderer Name für a/b. Die kreisrunde Form bringt jedoch einen entscheidenden Unterschied mit sich: Der Hub endet nie. Ein Brecheisen wird nutzlos, sobald es den Boden berührt. Eine Winde dreht sich endlos weiter. Deshalb sind Maschinen, die ohne abzusetzen kontinuierlich Lasten heben müssen, um eine Welle herum konstruiert und nicht als einfache Stange: der Brunnen, der Anker, der Aufzug.

Wohin die fehlenden Joule verschwinden 🖖

Die Voreinstellung für den Türknauf arbeitet mit 95 %. Aus 33,1 J aufgewandter Dreharbeit kommen 31,4 J an der Schlossfalle an. Die übrigen 1,7 J erwärmen die Spindel. Das ist eine hervorragende Maschine. Die Brunnenwinde verliert bei ihren 85 % von jeden investierten 443,5 J genau 66,5 J. Diesen Verlust spürst du direkt an einer Kurbel, die schwerer geht, als die reine Mathematik verspricht. Du musst 117,6 N aufwenden statt der idealen 100 N. Der Wirkungsgrad ist schlicht das Verhältnis zwischen dem mechanischen Vorteil, den die Geometrie verspricht, und dem, was deine Hände tatsächlich spüren.

Aufgaben vollständig gelöst

Warum die Kurbel der Winde 3,77 Meter zurücklegt, um 63 Zentimeter Seil zu heben 6 Schritte
Lade die Brunnenwinde: 60 cm Kurbelradius auf einer 10 cm dicken Welle, 600 N Eimergewicht, 85 % Wirkungsgrad. Das Feld zeigt einen idealen mechanischen Vorteil von 6,00 und einen Kraftaufwand von 117,6 N. Berechne beides und bestimme dann, welche Strecke deine Hand zurücklegt.

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1. Die Kraftübersetzung ist das Verhältnis der beiden Radien. Sie folgt direkt aus dem Momentengleichgewicht: Da es sich um dieselbe Welle handelt, wirkt idealerweise dasselbe Drehmoment. Eine sechsmal kleinere Kraft am sechsfachen Radius sorgt für den perfekten Ausgleich.
  
  $MA_{ideal} = \frac{R}{r} = \frac{60}{10} = 6.00$
2. Bei den Strecken beweist das Verhältnis seinen wahren Wert. Eine vollständige Umdrehung wickelt den jeweiligen Umfang an jedem Radius auf.
  
  $one turn: s_{R} = 2 π R = 3.770 m, s_{r} = 2 π r = 0.628 m$
3. Teile den einen Wert durch den anderen, und das 2π kürzt sich weg. Das Streckenverhältnis entspricht exakt dem Radienverhältnis. Das ist genau dieselbe 6, die das Kräfteverhältnis ergab, hier allerdings aus der Geometrie statt aus dem Drehmoment abgeleitet.
  
  $\frac{s _{R}}{s _{r}} = \frac{2 π R}{2 π r} = \frac{R}{r} = 6.0000$
4. Der Wirkungsgrad verringert diesen Vorteil. Bei 85 % wird die Sechs zu einer 5,10.
  
  $MA_{actual} = \frac{R}{r} η = 6.00 \times 0.85 = 5.10$
5. Die Kurbel lässt sich also schwerer drehen, als die ideale Maschine vermuten ließ. Der Aufwand steigt um 17,6 % und nicht nur um jene 15 %, die durch den Wirkungsgrad verloren gingen. Teilst du nämlich den mechanischen Vorteil durch 0,85, multipliziert das deinen Kraftaufwand mit 1/0,85.
  
  $E = \frac{600}{5.10} = 117.6 N (ideal would be 100.0 N)$
6. Betrachte die verrichtete Arbeit, und die fehlenden Joule tauchen ganz von selbst auf: 66,5 J der 443,5, die du hineinsteckst, erwärmen das Lager.
  
  $W_{in} = 117.65 \times 3.7699 = 443.5 J, W_{out} = 600 \times 0.6283 = 377.0 J$
Antwort

Sechs zu eins. Du benötigst also 117,6 N an der Kurbel statt der 100,0 N, die eine ideale Winde erfordern würde. Hinzu kommen 3,770 m Handbewegung für 0,628 m gehobenes Seil.

Ein Brecheisen blockiert, sobald es den Boden berührt. Ein Hebel, der lang genug wäre, um einen Eimer aus einem Brunnen zu heben, müsste so lang sein, wie der Brunnen tief ist. Eine Welle dreht sich hingegen einfach immer weiter. Die Übersetzung von sechs zu eins bleibt dir für beliebig viele Meter erhalten. Deshalb basieren alle Maschinen, die ununterbrochen ziehen müssen, ohne je neu anzusetzen, auf einer Welle: die Ankerwinde, der Aufzug, der Wasserhahn, den du heute Morgen aufgedreht hast.
Was der Schraubendreher macht, wenn du loslässt 6 Schritte
Lade Schraubendreher (5:1): 15 cm Griffradius auf einem 3-cm-Schaft, 50 N Last, 90 % Wirkungsgrad, 11,1 N am Rand. Rechne aus, was die Last in dem Moment tut, in dem deine Hand loslässt, und entscheide dann, wie schlecht eine Winde sein muss, damit sie einen Eimer von allein hält.

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1. Die Anzeige: fünf zu eins aus den Radien, 4,50 nach Anrechnung der 90 %, elf Newton am Rand halten also fünfzig am Schaft im Gleichgewicht.
  
  $MA = \frac{R}{r} η = 5.00 \times 0.90 = 4.50, E = \frac{50}{4.50} = 11.11 N$
2. Zähl die Joule für eine volle Umdrehung. Der Rand legt 0,94 m zurück, der Schaft 0,19 m, und von den zehneinhalb Joule geht eines ins Lager.
  
  $one turn: W_{in} = 11.11 \times 0.9425 = 10.472 J, W_{out} = 50 \times 0.1885 = 9.425 J, W_{loss} = 1.047 J$
3. Lass nun stattdessen die Last antreiben. Dieselben Flächen gleiten unter denselben Kräften dieselbe Strecke, das Lager nimmt sich also dasselbe Joule, nur kommt es diesmal aus der Arbeit der Last, statt zu deiner hinzuzukommen. Diese Gleichsetzung ist die einzige Annahme in der Rechnung, und erst sie macht den umgekehrten Fall überhaupt berechenbar.
  
  $driven from the axle, same surfaces and same travel ⟹ W_{loss}^{'} = W_{loss} = 1.047 J$
4. Der Rückwärtswirkungsgrad ist also das, was von der eigenen Arbeit der Last übrig bleibt, und er fällt auf einen Ausdruck zusammen, in dem nichts steht außer dem Vorwärtswirkungsgrad.
  
  $η_{rev} = \frac{9.425 - 1.047}{9.425} = \frac{8.378}{9.425} = 0.8889 = 2 - \frac{1}{0.90}$
5. In Kräften: Die Last drückt am Rand mit 8,89 N zurück. Du musst sie fast so fest halten, wie du sie gezogen hast.
  
  $F_{hold} = \frac{L r}{R} η_{rev} = 50 \times 0.200 \times 0.8889 = 8.89 N (against 11.11 N to raise it)$
6. Der Ausdruck läuft bei einer Hälfte aus. Darunter kann die Last die Maschine gar nicht mehr bewegen, und das Werkzeug zeigt, was das kostet: Dieselbe Last bei 50 % zu heben verlangt die doppelte ideale Kraft.
  
  $η_{rev} \leq 0 ⟺ η \leq 0.50; η = 0.50 ⟹ E = 20.0 N = 2 \times \frac{50}{5.00}$
Antwort

Die Last dreht zurück. 8,89 N am Rand, gegen die 11,11 N, die du zum Heben gebraucht hast.

Eine Maschine hält ihre eigene Last nur, wenn sie schlechter als 50 % effizient ist, und keine der vier Voreinstellungen dieses Werkzeugs kommt dem nahe: Der Türknauf mit 95 % gibt 94,7 % zurück, Lenkrad und Schraubendreher mit 90 % geben 88,9 % zurück, die Brunnenwinde mit 85 % gibt 82,4 % zurück. Zieh den Wirkungsgrad-Regler auf seinen Boden von 10 %, und der Rückwärtswert ist −8; die Last bringt die Maschine dann nicht mehr in Bewegung, wie schwer sie auch wird. Deshalb baut man eine Brunnenwinde mit einer Sperrklinke und einen Schraubendreher mit deiner Hand darum herum. Ein Hebezeug ist die eine Maschine, bei der du den Wirkungsgrad zweimal bezahlst: einmal beim Kauf und einmal in der Ratsche, die du seinetwegen anschrauben musst.

$η_{rev} = 2 - \frac{1}{η} : 0.95 \to 0.947, 0.90 \to 0.889, 0.85 \to 0.824, 0.50 \to 0, 0.10 \to - 8$

Lernpfad

Einfache Maschinen: Kraft gegen Weg tauschen

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.