Wellrad: Mechanischer Vorteil

Lade die Brunnenwinde: 60 cm Kurbelradius auf einer 10 cm dicken Welle, 600 N Eimergewicht, 85 % Wirkungsgrad. Das Feld zeigt einen idealen mechanischen Vorteil von 6,00 und einen Kraftaufwand von 117,6 N. Berechne beides und bestimme dann, welche Strecke deine Hand zurücklegt.

1. Der mechanische Vorteil ist das Verhältnis der beiden Radien und leitet sich direkt aus den Drehmomenten ab: Dieselbe Welle bedeutet dasselbe Drehmoment, weshalb eine sechsmal kleinere Kraft bei sechsfachem Radius das System im Gleichgewicht hält.

   $${\mathrm{MA}}_{\text{ideal}}=\frac{R}{r}=\frac{60}{10}=6.00$$

2. Bei den Strecken beweist das Verhältnis seinen wahren Wert. Eine vollständige Umdrehung wickelt den jeweiligen Umfang an jedem Radius auf.

   $$\text{one turn: }{s}_R=2\pi R=3.770\mathrm{m},s_r=2\pi r=0.628\mathrm{m}$$

3. Teile den einen Wert durch den anderen, und das 2π kürzt sich weg. Das Streckenverhältnis entspricht exakt dem Radienverhältnis. Das ist genau dieselbe 6, die das Kräfteverhältnis ergab, hier allerdings aus der Geometrie statt aus dem Drehmoment abgeleitet.

   $$\frac{s_R}{s_r}=\frac{2\pi R}{2\pi r}=\frac{R}{r}=6.0000$$

4. Der Wirkungsgrad verringert diesen Vorteil. Bei 85 % wird die Sechs zu einer 5,10.

   $${\mathrm{MA}}_{\text{actual}}=\frac{R}{r}\eta =6.00\times 0.85=5.10$$

5. Die Kurbel lässt sich also um genau diese 15 % schwerer drehen, als es die ideale Maschine versprochen hat.

   $$E=\frac{600}{5.10}=117.6\mathrm{N}(\text{ideal would be }100.0\mathrm{N})$$

6. Betrachte die verrichtete Arbeit, und die fehlenden Joule tauchen ganz von selbst auf: 66,5 J der 443,5, die du hineinsteckst, erwärmen das Lager.

   $$W_{\text{in}}=117.65\times 3.7699=443.5\mathrm{J},W_{\text{out}}=600\times 0.6283=377.0\mathrm{J}$$

Lade Schraubendreher (5:1): 15 cm Griffradius auf einem 3-cm-Schaft, 50 N Last, 90 % Wirkungsgrad, 11,1 N am Rand. Rechne aus, was die Last in dem Moment tut, in dem deine Hand loslässt, und entscheide dann, wie schlecht eine Winde sein muss, damit sie einen Eimer von allein hält.

1. Die Anzeige: fünf zu eins aus den Radien, 4,50 nach Anrechnung der 90 %, elf Newton am Rand halten also fünfzig am Schaft im Gleichgewicht.

   $$\mathrm{MA}=\frac{R}{r}\eta =5.00\times 0.90=4.50,E=\frac{50}{4.50}=11.11\mathrm{N}$$

2. Zähl die Joule für eine volle Umdrehung. Der Rand legt 0,94 m zurück, der Schaft 0,19 m, und von den zehneinhalb Joule geht eines ins Lager.

   $$\text{one turn: }{W}_{\mathrm{in}}=11.11\times 0.9425=10.472\mathrm{J},W_{\mathrm{out}}=50\times 0.1885=9.425\mathrm{J},W_{\mathrm{loss}}=1.047\mathrm{J}$$

3. Lass nun stattdessen die Last antreiben. Dieselben Flächen gleiten unter denselben Kräften dieselbe Strecke, das Lager nimmt sich also dasselbe Joule, nur kommt es diesmal aus der Arbeit der Last, statt zu deiner hinzuzukommen. Diese Gleichsetzung ist die einzige Annahme in der Rechnung, und erst sie macht den umgekehrten Fall überhaupt berechenbar.

   $$\text{driven from the axle, same surfaces and same travel}⟹W_{\mathrm{loss}}^{\prime }=W_{\mathrm{loss}}=1.047\mathrm{J}$$

4. Der Rückwärtswirkungsgrad ist also das, was von der eigenen Arbeit der Last übrig bleibt, und er fällt auf einen Ausdruck zusammen, in dem nichts steht außer dem Vorwärtswirkungsgrad.

   $${\eta }_{\mathrm{rev}}=\frac{9.425-1.047}{9.425}=\frac{8.378}{9.425}=0.8889=2-\frac{1}{0.90}$$

5. In Kräften: Die Last drückt am Rand mit 8,89 N zurück. Du musst sie fast so fest halten, wie du sie gezogen hast.

   $$F_{\mathrm{hold}}=\frac{Lr}{R}{\eta }_{\mathrm{rev}}=50\times 0.200\times 0.8889=8.89\mathrm{N}(\text{against }11.11\mathrm{N}\text{to raise it})$$

6. Der Ausdruck läuft bei einer Hälfte aus. Darunter kann die Last die Maschine gar nicht mehr bewegen, und das Werkzeug zeigt, was das kostet: Dieselbe Last bei 50 % zu heben verlangt die doppelte ideale Kraft.

   $${\eta }_{\mathrm{rev}}\le 0⟺\eta \le 0.50;\eta =0.50⟹E=20.0\mathrm{N}=2\times \frac{50}{5.00}$$