Simulator für Übersetzung & Drehzahl

Lade Einfacher Räderzug mit Zwischenrad: 12, 36, 24 und 36 Zähne, am Eingang 1.200 U/min bei 10 N·m. Die Anzeige nennt ein Übersetzungsverhältnis von 3,00:1. Zwei der vier Zähnezahlen haben darauf keinen Einfluss. Weise nach, welche es sind. Ändere anschließend die Anordnung der Stufen und prüfe, welche Übersetzung dieselben vier Zahnräder tatsächlich ergeben können.

1. Eine Regel gilt für jeden Zahneingriff: Wo sich zwei Zahnräder berühren, passieren die Zähne den Kontaktpunkt mit der gleichen Rate, sodass sich das kleinere Zahnrad im exakten Verhältnis der Zähnezahlen schneller dreht.

   $$\frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}=\frac{N_2}{N_1}\text{at every mesh}$$

2. Ein einfaches Getriebe besteht aus drei Zahneingriffen hintereinander; man multipliziert also die drei.

   $$\frac{{\omega }_{\text{in}}}{{\omega }_{\text{out}}}=\frac{N_2}{N_1}\cdot \frac{N_3}{N_2}\cdot \frac{N_4}{N_3}$$

3. Setzt man die Zahlen ein, wirkt jede Stufe bedeutsam: erst 3,00, dann 0,667, dann 1,50.

   $$=\frac{36}{12}\cdot \frac{24}{36}\cdot \frac{36}{24}=3\times \frac{2}{3}\times \frac{3}{2}=3.000$$

4. Nun kürzt man. Jede mittlere Zähnezahl steht einmal im Zähler und einmal im Nenner, sodass das gesamte Produkt auf das Verhältnis der letzten zur ersten Zähnezahl zusammenschrumpft und die dazwischen liegenden Zahnräder keine Spur darin hinterlassen.

   $$\frac{N_2}{N_1}\cdot \frac{N_3}{N_2}\cdot \frac{N_4}{N_3}=\frac{N_4}{N_1}=\frac{36}{12}=3$$

5. Der Rest ergibt sich allein aus dem Übersetzungsverhältnis. Die Drehzahl teilt sich, das Drehmoment multipliziert sich.

   $${\omega }_{\text{out}}=\frac{1200}{3}=400\mathrm{rpm},{\tau }_{\text{out}}=10\times 3=30\mathrm{N}\mathrm{m}$$

6. Und das Produkt bleibt unberührt. Zahnräder verlagern Leistung zwischen Drehzahl und Kraft; sie erzeugen niemals welche, und das Werkzeug hält dies bei jeder Einstellung ein.

   $$\omega \tau (\mathrm{rpm}\cdot \mathrm{N}\mathrm{m}):1200\times 10=400\times 30=12,000$$

7. Damit die mittleren Zahnräder die Übersetzung beeinflussen, setze zwei davon auf dieselbe Welle. So müssen sie sich gemeinsam drehen. Die Übersetzungen der Stufen multiplizieren sich nun, statt sich aufzuheben, und dieselben vier Zähnezahlen ergeben 4,50 statt 3,00.

   $$\text{compounded instead: }\frac{36}{12}\cdot \frac{36}{24}=3.00\times 1.50=4.50$$

Lade Mehrstufig (12:1): 12, 36, 12 und 48 Zähne, am Eingang 1.200 U/min bei 10 N·m, am Ausgang 100 U/min und 120 N·m. Zwischen diesen beiden Wellen sitzt eine dritte, die die Anzeige nie erwähnt. Rechne aus, was sie trägt, und entscheide dann, welche der beiden Stufen die größere Untersetzung übernehmen sollte.

1. Die beiden Stufen multiplizieren sich, weil die Zahnräder 2 und 3 auf einer Welle sitzen und sich nicht unabhängig voneinander drehen können. Drei mal vier ist zwölf, und die Karten für Drehzahl und Drehmoment folgen allein aus dieser Zahl.

   $$i=\frac{N_2}{N_1}\cdot \frac{N_4}{N_3}=\frac{36}{12}\cdot \frac{48}{12}=3.00\times 4.00=12.00⟹100.0\mathrm{rpm},120.0\mathrm{N}\mathrm{m}$$

2. Auf dieser Welle endet die erste Stufe und beginnt die zweite. Diese Welle dreht sich mit der Eingangsdrehzahl geteilt durch das erste Verhältnis und trägt das damit multiplizierte Eingangsmoment.

   $$n_{\mathrm{mid}}=\frac{n_{\mathrm{in}}}{r_1}=\frac{1200}{3.00}=400\mathrm{rpm},T_{\mathrm{mid}}=T_{\mathrm{in}}{r}_1=10\times 3.00=30\mathrm{N}\mathrm{m}$$

3. Damit bleibt das Produkt ein zweites Mal unberührt. Die Anzeige zeigt schon, dass es zwischen Ein- und Ausgang gilt; in der Mitte gilt es ebenso, denn ein Räderzug hat keinen Ort, an dem er etwas speichern könnte.

   $$nT(\mathrm{rpm}\cdot \mathrm{N}\mathrm{m}):1200\times 10=400\times 30=100\times 120=12,000$$

4. Tausch jetzt die Stufen: vier zuerst, drei danach. Die Gesamtübersetzung bleibt 12,00:1, der Abtrieb bleibt bei 100 U/min und 120 N·m, auf der Seite ist also nichts zu sehen, was sich geändert hätte. Die mittlere Welle hat sich geändert: Jetzt läuft sie langsamer und trägt ein Drittel mehr Moment.

   $$\text{stages swapped }(12/48/12/36):i=4.00\times 3.00=12.00,n_{\mathrm{mid}}=300\mathrm{rpm},T_{\mathrm{mid}}=40\mathrm{N}\mathrm{m}$$

5. Die allgemeine Aussage ist kurz. Das erste Verhältnis legt die mittlere Welle vollständig fest, und die beiden Verhältnisse müssen sich zu der Gesamtübersetzung multiplizieren, die du haben wolltest. Das mittlere Moment landet also irgendwo zwischen dem des Eingangs und dem des Ausgangs und nie außerhalb.

   $$T_{\mathrm{mid}}=T_{\mathrm{in}}{r}_1,n_{\mathrm{mid}}=\frac{n_{\mathrm{in}}}{r_1},r_1{r}_2=i\text{fixed}⟹T_{\mathrm{in}}\le T_{\mathrm{mid}}\le T_{\mathrm{out}}$$

6. Die Wahl lohnt sich, weil eine Welle nach dem Moment ausgelegt wird und nicht nach der Drehzahl. Bei einer festen zulässigen Schubspannung geht der Durchmesser mit der dritten Wurzel des Moments.

   $$d\propto T^{1/3}(\text{torsion, one allowable shear stress}):{\left(\frac{40}{30}\right)}^{1/3}=1.10$$