Flaschenzüge & mechanischer Vorteil

Lade Flaschenzug: vier Seilabschnitte, 800 N Last, 85 % Wirkungsgrad. Das Feld zeigt 235,3 N Zugkraft und 4 m Seil pro Meter Hub. Berechne beides und erkläre dann genau, wofür die 15 % aufgewendet wurden.

1. Beginne mit der idealen Maschine. Vier Seilabschnitte teilen sich die Last. Jeder trägt ein Viertel, und die Hand an einem der Enden spürt ebenfalls ein Viertel. Das ist der mechanische Vorteil: Das reine Zählergebnis, keine Formel.

   $${\mathrm{MA}}_{\text{ideal}}=n=4,E_{\text{ideal}}=\frac{800}{4}=200\mathrm{N}$$

2. Das Seil muss irgendwoher kommen. Hebst du den Block um 1 m, verkürzen sich alle vier Abschnitte um jeweils 1 m. Es müssen also 4 m durch deine Hände gleiten. Der Vorteil und die Seillänge sind aus demselben Grund die gleiche Zahl.

   $$\ell =n\times h=4\mathrm{m}\text{of rope per }1\mathrm{m}\text{of lift}$$

3. Betrachte nun die reale Maschine. Der Wirkungsgrad multipliziert sich mit dem Vorteil, nicht mit dem Seil: Die Rollen drehen sich in ihren Lagern und das Seil leistet Widerstand beim Biegen. Beides kostet Kraft.

   $${\mathrm{MA}}_{\text{actual}}=n\eta =4\times 0.85=3.40$$

4. Die Zugkraft steigt also. Beachte die zweite Schreibweise: Teilst du die idealen 200 N durch 0,85, erhältst du dasselbe Ergebnis. Genau das bedeutet „85 % Wirkungsgrad“.

   $$E=\frac{L}{n\eta }=\frac{800}{3.40}=235.3\mathrm{N}=\frac{200}{0.85}$$

5. Zähle die Joule auf beiden Seiten. Du bewegst 4 m gegen 235,3 N. Die Last bewegt sich 1 m gegen 800 N.

   $$W_{\text{in}}=235.3\times 4=941.2\mathrm{J},W_{\text{out}}=800\times 1=800\mathrm{J}$$

6. Die Differenz ist der Verlust. Er entspricht exakt dem Anteil, den der Wirkungsgrad benannt hat.

   $$W_{\text{lost}}=141.2\mathrm{J}=(1-\eta )W_{\text{in}}$$

Lade Schwerer Kran (6×): sechs tragende Seilstränge, 1.500 N Last, 80 % Wirkungsgrad, 312,5 N Zugkraft. Die Seite sagt an drei verschiedenen Stellen, dass weitere Stränge irgendwann nichts mehr bringen. Finde heraus, wo Schluss ist, und entscheide dann, ob ein siebter Strang an diesem Kran das Einscheren wert ist.

1. Zuerst die Anzeige. Sechs Stränge bei 80 % ergeben einen Vorteil von 4,80, die Zugkraft ist also 1.500 geteilt durch diesen Wert, und für jeden Meter, den der Haken steigt, laufen dir sechs Meter Seil durch die Hände.

   $$\mathrm{MA}=n\eta =6\times 0.80=4.80,E=\frac{1500}{4.80}=312.5\mathrm{N},\ell =6.0\mathrm{m}$$

2. Das Werkzeug lässt dich Anzahl und Wirkungsgrad getrennt einstellen; die Takelage tut das nicht. Jede Rolle nimmt sich ihren eigenen Anteil, ein Lager und eine Seilumlenkung, die Verluste häufen sich also Strang für Strang. Die Voreinstellungen des Werkzeugs sind sich über die Größe dieses Anteils einig: 80 % auf sechs Strängen und 85 % auf vier ergeben beide etwa 96 %.

   $$\eta ={\eta }_s^n⟹{\eta }_s=0.80^{1/6}=0.9635;\text{block and tackle: }0.85^{1/4}=0.9602$$

3. Setz das ein, und die Zugkraft ist keine glatte Division mehr. Leite ab, und die Strangzahl, bei der sich beide Effekte ausgleichen, fällt heraus, ohne dass Last oder Takelage darin übrig bleiben.

   $$E(n)=\frac{L}{n{\eta }_s^n},\frac{d}{dn}\ln E=-\frac{1}{n}-\ln {\eta }_s=0⟹n^{\ast }=\frac{1}{\ln (1/{\eta }_s)}$$

4. Bei Rollen mit 96,3 % liegt das Gleichgewicht bei siebenundzwanzig Strängen. Nichts im Bereich des Werkzeugs kommt dem nahe; bei zehn Strängen fällt die Zugkraft noch immer steil.

   $${\eta }_s=0.9635:n^{\ast }=26.9;E(6)=312.5,E(7)=278.0,E(10)=217.6\mathrm{N}$$

5. Mach die Rollen schlechter, und die Antwort wandert weit. Bei je 85 % sind sechs Stränge das Minimum, und der siebte ist bereits schwerer als der sechste.

   $${\eta }_s=0.85:n^{\ast }=6.15;E(5)=676.1,E(6)=662.9,E(7)=668.4\mathrm{N}$$

6. Die Wirkungsgrad-Karte ist dabei nicht das, worauf du schauen solltest. Zehn Stränge auf den eigenen Rollen dieses Krans sind 68,9 % effizient, deutlich unter den jetzt angezeigten 80 %, und die Zugkraft ist ein Drittel leichter.

   $$\eta (10)=0.9635^{10}=0.689<0.80,E(10)=\frac{1500}{10\times 0.689}=217.6\mathrm{N}$$