Hebelarten & Mechanischer Vorteil

Laden Sie die Voreinstellung Bizepsarm: ein Kraftarm von 5 cm, ein Lastarm von 35 cm, 50 N in der Hand. Das Bedienfeld zeigt eine Kraft von 350 N und einen mechanischen Vorteil von 0,14 an. Finden Sie heraus, woher diese Werte stammen, und erklären Sie dann, was der Arm als Gegenleistung dafür erhält, dass er so ungünstig gebaut ist.

1. Alles an einem Hebel ergibt sich aus einem einzigen Gleichgewicht. Bilden Sie die Drehmomente um den Drehpunkt: Kraft mal Abstand auf der einen Seite ist gleich Kraft mal Abstand auf der anderen Seite. Das ist bereits das gesamte Modell, der Rest ist Arithmetik.

   $$E\cdot a=L\cdot b\text{(moments about the fulcrum)}$$

2. Setzen Sie die Zahlen ein. Die Last befindet sich 35 cm vom Ellenbogen entfernt und der Bizeps zieht nur 5 cm von ihm entfernt, sodass der Muskel von vornherein einen Nachteil von sieben zu eins hat.

   $$E=\frac{Lb}{a}=\frac{50\times 35}{5}=350\mathrm{N}$$

3. Der mechanische Vorteil ist das Verhältnis von gehobener Last zu aufgewendeter Kraft. Er liegt unter 1, was bedeutet, dass die Maschine Kraft kostet, anstatt sie zu sparen. Beachten Sie, dass er auch gleich a/b ist: das von der anderen Seite her betrachtete Verhältnis der Hebelarme.

   $$\mathrm{MA}=\frac{L}{E}=\frac{50}{350}=0.1429=\frac{a}{b}=\frac{5}{35}$$

4. Nun zur Gegenleistung. Schwenkt man den Arm um einen kleinen Winkel, bewegen sich beide Enden proportional zu ihrem Abstand vom Drehpunkt, sodass die Hand sich b/a-mal so weit bewegt wie der Muskel. Sieben Zentimeter Weg der Hand für jeden Zentimeter Muskelverkürzung.

   $$\frac{d_{\text{load}}}{d_{\text{effort}}}=\frac{b}{a}=7$$

5. Nichts ging verloren, nichts kam hinzu. Beweg die Last um 1 cm: Der Muskel verrichtet 0,500 J Arbeit, und das Gewicht nimmt 0,500 J auf. Verändert hat sich lediglich die Aufteilung zwischen Kraft und Weg.

   $$W_{\text{in}}=350\times \frac{5}{35}\times 0.01=0.500\mathrm{J}=W_{\text{out}}=50\times 0.01$$

6. Und dieser Nachteil ist kein Zufall dieser Zahlen. Ein Hebel dritter Klasse ist dadurch definiert, dass die Kraft zwischen dem Drehpunkt und der Last angreift. Dies erzwingt, dass a kleiner ist als b, was wiederum den Vorteil unter 1 drückt. Es gibt nirgendwo einen Hebel dritter Klasse, der mehr hebt, als man an Kraft aufwendet.

   $$\text{third class}\Rightarrow a<b\Rightarrow \mathrm{MA}=\frac{a}{b}<1$$

Lade die Voreinstellung Brecheisen: ein Kraftarm von 150 cm, ein Lastarm von 50 cm, ein Deckel mit 300 N. Bestimme die nötige Kraft und entscheide dann, wie tragfähig der Klotz sein muss, auf dem die Stange aufliegt.

1. Die Drehmomente um den Drehpunkt klären die Kraft in einer Zeile: 300 N, die bei 50 cm angreifen, werden von 100 N bei 150 cm ausgeglichen. Die Anzeigen bestätigen das mit 100,0 N und einem Vorteil von 3,00 — erkauft mit 3,00 cm Handweg für jeden Zentimeter, den der Deckel steigt.

   $$E=\frac{Lb}{a}=\frac{300\times 50}{150}=100\mathrm{N}$$

2. Drehmomente sind nur die halbe Statik. Die Stange bewegt sich nicht, also müssen auch die Kräfte an ihr in der Summe null ergeben, und davon gibt es drei: deine Hand, den Deckel und das, worauf die Stange aufliegt. Die dritte berechnet auf dieser Seite nichts.

   $$\mathrm{MA}=\frac{a}{b}=\frac{150}{50}=3.00,d_E=3.00\mathrm{cm}$$

3. Bei einem Hebel erster Art liegt der Drehpunkt zwischen den beiden anderen Punkten, und beide drücken nach unten: Du drückst das lange Ende hinunter, und der Deckel zieht das kurze hinunter. Der Klotz darunter drückt also mit der Summe nach oben, 400 N. Deine Hand spürt ein Drittel des Deckels; der Klotz spürt mehr als den ganzen.

   $$R=E+L=100+300=400\mathrm{N}$$

4. Die Reaktionskraft ist L(1 + 1/MA), sie übertrifft die Last immer, und je besser der Hebel, desto näher rückt sie von oben an die Last heran. Ein Brecheisen mit hundertfachem Vorteil schickt immer noch das 1,01-Fache der Last durch seinen Drehpunkt.

   $$R=L\left(1+\frac{1}{\mathrm{MA}}\right)>L\forall \mathrm{MA}>0$$

5. Die zweite Art kehrt die Anordnung um, und das Werkzeug hat eine: die Schubkarre, 600 N beim selben Vorteil von 3. Die Last liegt nun zwischen Drehpunkt und Kraft, und du hebst die Griffe an, die Kraft zeigt also nach oben und die Achse trägt L − E, das sind 400 N. Zwei Drittel dessen, was in der Karre liegt.

   $$R=L-E=L\left(1-\frac{1}{\mathrm{MA}}\right)=600\left(1-\frac{1}{3}\right)=400\mathrm{N}$$

6. Die dritte Art rechnet mit derselben Formel bei einem Vorteil unter 1. Die Voreinstellung Bizeps hat MA = 5/35, also ist 1 − 1/MA gleich −6 und die Reaktionskraft −300 N. Das Vorzeichen ist die Antwort: Das Ellenbogenende des Unterarms wird mit 300 N nach unten gezogen, um 50 N in der Hand zu halten.

   $$\mathrm{MA}=\frac{5}{35}\Rightarrow R=50\left(1-7\right)=-300\mathrm{N}$$