Interaktive Mathe- und Wissenschafts-Lektionen

Schraubengewinde

When does a screw hold its load without input?

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Der Winkel entscheidet über die Selbsthemmung 🖖

Wickle eine Gewindeumdrehung ab, und du erhältst eine schiefe Ebene. Sie steigt um das Maß der Steigung an, während sie einmal um den Schaft läuft; ihre Neigung ist also tan λ = p / 2πr. Auch die Reibung besitzt eine Neigung: Kippe ein Brett, bis ein Klotz darauf losrutscht, und der dabei gemessene Winkel ist φ = arctan μ. Das Gewinde hält, wann immer λ ≤ φ ist.

Betrachte nun, was in dieser Gegenüberstellung fehlt. Das Gewicht der Last taucht auf keiner der beiden Seiten auf. Die Schwerkraft zieht die Last das Gewinde hinab und drückt sie im exakt gleichen Verhältnis in die Flanken. Beides hebt sich also auf. Eine Schraube, die bei 200 N selbsthemmend ist, ist es auch bei 20 kN. Zieh den Lastregler von 100 N bis ganz auf 5.000 N, und das Ergebnis bleibt unverändert.

Fünfzig Prozent bilden die Grenze 🖖

Über den gesamten Bereich, in dem eine Schraube hält, steigt der Wirkungsgrad mit dem Steigungswinkel, und die Selbsthemmung begrenzt den Steigungswinkel auf φ. Die effizienteste Schraube, die noch hält, liegt also genau auf der Grenze. Dort wird aus η = tan λ / tan(λ + φ) durch λ = φ der Ausdruck tan φ / tan 2φ. Das vereinfacht sich zu (1 − μ²)/2.

Ein Halb ist der Wert, dem sich das nähert, wenn die Reibung verschwindet. Da ein reibungsfreies Gewinde jedoch nichts hält, gelangt dorthin niemals eine Schraube. Bei μ = 0,15 liegt die Obergrenze bei 48,9 %. Lade die 5-mm-Trapezgewindespindel und schiebe die Steigung auf 6,0 mm: Sie hält noch, bei 49,2 %. Ein weiterer Schritt, auf 6,5 mm, und sie dreht sich bei 51,1 % zurück. Unter allen 116.280 Kombinationen aus Radius, Steigung und Reibung, welche die Regler erreichen, schafft die beste selbsthemmende Schraube gerade einmal 49,86 %.

Steigung tauscht Kraft gegen Geschwindigkeit 🖖

Jede Umdrehung schiebt die Mutter um genau eine Steigung vor. Die ideale Übersetzung ist daher der Umfang geteilt durch die Steigung und sonst nichts. Verdopple die Steigung der M10 von 1,5 mm auf 3 mm, und die Übersetzung halbiert sich, von 20,94 auf 10,47.

Der Wirkungsgrad entwickelt sich in die andere Richtung, von 24,0 % auf 38,3 %, und das rettet den Kraftaufwand nicht. Wogegen deine Hand drückt, ist das Produkt der beiden, und dieses Produkt vereinfacht sich zu cot(λ + φ), was mit wachsender Steigung immer weiter schrumpft. Der Kraftaufwand steigt von 199,2 N auf 249,1 N, und unter allen 116.280 Reglereinstellungen gibt es nicht eine einzige, bei der eine gröbere Steigung leichter zu drehen wäre. Weniger Umdrehungen sind alles, was du dafür bekommst.

Aufgabe vollständig gelöst

  1. Tausend Newton, gehalten von einer Schraube, die du mit zwei Fingern anziehst 6 Schritte

    Lade die Voreinstellung M10 coarse: 1,5 mm Steigung auf einem Schaft mit 5 mm Radius, μ = 0,15, 1.000 N Last. Das Feld gibt 199,2 N Kraftaufwand bei 24,0 % Wirkungsgrad an. Rechne aus, woher die 199,2 N kommen, mach daraus den Zug, den deine Hand am Schlüssel wirklich spürt, und entscheide dann, ob 24,0 % eine Zahl ist, um die man sich sorgen muss.

    1. Roll zunächst eine Windung des Gewindes ab. Sie steigt um die Steigung und läuft einmal um den Schaft, ist also eine Rampe, deren Neigung die Steigung geteilt durch den Umfang ist. Nimm den Arkustangens dieser Neigung, und du hast den Steigungswinkel.

    2. Die Reibung bekommt dieselbe Behandlung, und dieser Zug macht alles Weitere leicht. μ = 0,15 ist der Tangens des Winkels, bei dem ein Klotz auf einem gekippten Brett loszurutschen beginnt, Reibung ist also 8,531° Neigung. Das Gewinde ist flacher als das, und deshalb ist die Schraube am Morgen noch fest.

    3. Eine Last eine raue Schräge hinaufzuschieben kostet ihr Gewicht mal dem Tangens der beiden addierten Winkel: die Rampe, die du hinaufsteigst, plus die Reibung, die du mitschleppst. Eine Schraube ist genau diese Rampe um einen Schaft gewickelt, derselbe Ausdruck liefert also den Kraftaufwand, gemessen als Kraft am Gewinderadius.

    4. Das Feld kommt von der anderen Seite, teilt die Last durch den idealen Vorteil und dann durch den Wirkungsgrad und landet auf denselben 199,2 N. Sie stimmen aus einem Grund überein, den man behalten sollte: Der ideale Vorteil ist 1/tan λ und der Wirkungsgrad trägt tan λ oben, der Steigungswinkel kürzt sich also weg, und der reale Vorteil jeder Schraube ist schlicht cot(λ + φ).

    5. Nun der Schritt, den die Seite dir nicht abnimmt. Diese 199,2 N wirken 5 mm von der Achse entfernt, was du liefern musst, ist also ein Drehmoment, und es ist klein.

    6. Ein Schlüssel an einem M10-Kopf ist etwa 150 mm lang, und deine Hand sitzt an seinem äußeren Ende. Der Schlüssel ist eine zweite Maschine in Reihe mit dem Gewinde, und er leistet den größten Teil der Arbeit.

    Antwort

    199,2 N am Gewinde, 0,996 N m Drehmoment und 6,64 N am Ende des Schlüssels. Unter 700 Gramm Zug, die hundert Kilogramm in der Luft halten. Der ideale Vorteil des Gewindes ist 20,94, der Schlüssel multipliziert ihn mit weiteren 30, also 628 in einer Welt ohne Reibung; nimm davon 24,0 %, und du bekommst die 151, die die Rechnung oben tatsächlich geliefert hat. Dort taucht der Wirkungsgrad endlich als etwas auf, das man spüren kann.

    Also, sind 24,0 % der Sorge wert? Zähl, was sie hier kosten. Eine volle Umdrehung steckt 6,26 J in das Gewinde und hebt die Last um 1,5 mm, was 1,5 J Arbeit sind; die anderen 4,76 J gehen als Wärme in die Flanken. Sechs und zwei Drittel Umdrehungen heben die Last um 10 mm und verlieren 32 J, weniger als eine Sekunde eines menschlichen Arms, und in der Geschichte der Schrauben hat das niemand bemerkt.

    Setz dasselbe Gewinde unter einen Motor, der acht Stunden am Tag eine Vorschubspindel treibt, und dieselben 76 % bestimmen die Größe des Motors, die Betriebstemperatur der Mutter und wie schnell beide verschleißen. Eine Zahl, zwei Urteile, und was zwischen ihnen entscheidet, ist, wie oft die Maschine läuft, und nicht irgendetwas an der Schraube.

    Eines lässt diese Seite weg. Eine reale Schraube schleift auch ihre Kopffläche über die Verbindung, und bei blankem Stahl kostet dieser Term ungefähr noch einmal so viel Drehmoment. 0,996 N m sind der Anteil des Gewindes und keine Anzugsvorgabe.

Lernpfad

Einfache Maschinen: Kraft gegen Weg tauschen

· Aktualisiert

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Beispielaufgaben

  • M10 coarse - Eine Steigung von 1,5 mm auf 5 mm Radius ergibt eine Helix von 2,73°, gegen einen Reibungswinkel von 8,53°. Das Gewinde hält seine 1.000 N also auch, wenn du den Schlüssel absetzt. Genau diese Reserve bezahlst du mit dem Wirkungsgrad: Er liegt bei 24,0 %, und du musst mit 199,2 N am Gewinde schieben, um die Last überhaupt anzuheben.
  • 5 mm lead screw - 5 mm Steigung auf 8 mm Radius: Die Helix erreicht 5,68° und der Wirkungsgrad verdoppelt sich fast, auf 44,8 %. Es hält noch, aber mit kaum einem Grad Reserve, wo die M10 fast sechs hatte. Darum kann eine Trapezgewindespindel unter Last stehen bleiben, während eine Kugelumlaufspindel eine Bremse braucht.
  • fast pitch - 12 mm Steigung auf 5 mm Radius bringen die Helix auf 20,91°, weit über den Reibungswinkel von 4,57° hinaus. Die Last dreht die Schraube also in dem Moment zurück, in dem du loslässt. Der Wirkungsgrad liegt bei 80,2 %, mehr als dreimal so hoch wie bei der M10, und der Schub beträgt noch immer 285,9 N, weil die ideale Übersetzung auf 2,62 eingebrochen ist.