Lektion
Die Theorie — Projektilbewegung mit Widerstand & Wind
Fügt man einem Wurfkörper den Luftwiderstand hinzu, erhält man keine korrigierte Parabel — man verliert die Formel. Quadratischer Luftwiderstand ist eine Kraft −(k/m)·|vrel|·vrel: der Bewegung durch die Luft entgegengerichtet und mit dem Quadrat der Geschwindigkeit wachsend. Sie koppelt die waagerechte und die senkrechte Gleichung aneinander, und das gekoppelte Paar hat keine elementare Lösung. Diese Seite integriert die Flugbahn in Schritten von 10 Millisekunden, weil es nichts mehr auszuwerten gibt.
Was die einzelnen Symbole bedeuten
θ- der Abwurfwinkel. Ohne Luftwiderstand ist sein bester Wert 45° — für jede Abwurfgeschwindigkeit und jede Masse, eine Konstante der Aufgabe. Mit Luftwiderstand ist er nichts davon, und genau darum geht es hier.
k/m- der Widerstandsbeiwert geteilt durch die Masse. Nur diese Kombination taucht in den Gleichungen überhaupt auf: nie
kallein, niemallein. Zwei der sechs Eingabefelder sind Griffe an einer einzigen Zahl. v_rel- die Geschwindigkeit gegenüber der Luft,
v − w. Der Widerstand wirkt auf sie und nie auf die Geschwindigkeit über Grund — deshalb sind Gegen- und Rückenwind keine Spiegelbilder voneinander. R- die Wurfweite. Die Seite druckt zwei davon —
Ridealaus der geschlossenen Parabelformel undRactualaus der Integration —, und der Abstand dazwischen ist das, was die Luft genommen hat.
Woher die Formel kommt
- Beginnen wir ohne Luft, wo die beiden Achsen nie miteinander reden. Die waagerechte Geschwindigkeit ist konstant, die senkrechte Lage eine Parabel in der Zeit, und das Eliminieren der Zeit lässt
R = v₀² sin(2θ)/gübrig. Maximiert man das, so istsin(2θ)bei2θ = 90°am größten. Man beachte, was herausgefallen ist: In dieser Bedingung steht wederv₀noch die Masse, 45° ist also für jeden Abwurf der beste Winkel, der je stattgefunden hat. Deshalb merkt man sich das als Tatsache und nicht als Ergebnis. - Nun kommt der Widerstand hinzu, und die Achsen hören auf, unabhängig zu sein. Die Kraft ist
−(k/m)·|vrel|·vrel, und|vrel|ist√(vx² + vy²)— darin stecken beide Komponenten. Die waagerechte Gleichung hängt damit davon ab, wie schnell man steigt, und die senkrechte davon, wie schnell man sich entfernt. Das Paar ist nichtlinear und lässt sich nicht trennen; keine elementare Formel fürRübersteht das. Die durchgezogene Kurve im Diagramm wurde integriert, nicht ausgewertet, und die Seite schreibt sie ehrlich als Summe. - Liest man die Rechnung, fällt eines auf:
kundmtreten immer nur alsk/mauf. Ein schwerer Ball ist ein leichter Ball in dünnerer Luft. Mitk = 0.03undm = 3erhält man auf die letzte Stelle genau die Bahn vonk = 0.01undm = 1— die Voreinstellung „schwerer Ball“ ist der Fall mit wenig Widerstand unter anderem Namen, und das Massenfeld kann nichts sagen, was das Widerstandsfeld nicht auch könnte. - Und jetzt wandert das Optimum. Steiles Steigen kauft weiterhin Flugzeit, doch mit Widerstand wird Flugzeit in Geschwindigkeit bezahlt, und Geschwindigkeit ist es, die einen vorwärts trägt — der beste Winkel kippt also flacher. Und weil ein schnellerer Körper unterwegs mehr Widerstand aufhäuft, hängt dieser Winkel nun von der Abwurfgeschwindigkeit ab, was er zuvor nie tat. Probiere es beim voreingestellten Widerstand dieser Seite: Bei 25 m/s kosten 45° fast nichts, 28.0 m gegenüber den 28.5 m, die man von Hand nahe 38° findet; bei 90 m/s kosten sie viel, denn dort liefern 45° 65.4 m und rund 30° liefern 70.8 m.
So liest du, was du siehst
Zwei Kurven und zwei Zahlen, die verschiedene Fragen beantworten. Die gestrichelte Kurve ist derselbe Abwurf mit weggenommener Luft — keine Näherung der durchgezogenen, sondern die Lösung einer anderen Aufgabe —, der Zwischenraum ist also unmittelbar das, was der Widerstand gekostet hat. Rideal wird als Formel mit deinen eingesetzten Zahlen gedruckt, weil es eine Formel gibt; Ractual wird als Σ vx Δt gedruckt, weil es keine gibt. Setze den Widerstand auf null, und beide beschreiben dieselbe Physik — und die Seite zeigt trotzdem 63.7 m gegenüber 63.5 m. Dieses Fünftel eines Meters ist keine Luft. Es ist der Fehler des Integrators, und man sollte von ihm wissen, bevor man irgendeine Lücke als Physik liest.
- Setzt voraus
- Ruhende Luft bis auf einen gleichmäßigen waagerechten Wind, der in jeder Höhe gleich schnell weht, überall gleiche Dichte und ein Widerstandsbeiwert, der sich mit der Geschwindigkeit nicht ändert. Ein Massenpunkt: kein Auftrieb, kein Drall, keine Magnus-Kraft — ein angeschnittener Golfball und eine abdriftende Granate liegen beide außerhalb dessen, was dieses Modell sagen kann.
- Versagt, wenn
- Die Integration läuft höchstens 5000 Schritte zu 10 ms — fünfzig Sekunden Flugzeit —, und nichts auf der Seite erwähnt das. Übliche Einstellungen kommen dem nicht nahe: Die Voreinstellung ist in weniger als drei Sekunden wieder unten. Schalte aber den Widerstand ab und schieße hart und steil,
v₀ = 300 m/sbei85°, dann endet die Bahn einfach in der Luft, während der Körper noch 2.68 km über dem Boden ist; die darunter gedruckte Weite ist der Ort dieses Augenblicks, nicht der Auftreffpunkt. Der Widerstand verdeckt diese Grenze eher, als dass er sie verursacht — derselbe Abwurf mitk = 0.03ist nach neun Sekunden unten.
Aufgabe vollständig gelöst
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Warum das 63,7-m-Ergebnis der Vakuumformel zu 28,0 m wird 5 Schritte
25 m/s bei 45°, Luftwiderstandsbeiwert 0,03. Die Vakuumformel ergibt 63,7 m. Begründen Sie, warum das Ergebnis 28,0 m beträgt — und warum die Höhe weitaus besser erhalten bleibt als die Wurfweite.
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Beginnen Sie mit dem Ergebnis, das die Luft zunichtemachen wird. Beide Vakuumformeln sind exakt, benötigen nur eine Zeile und bilden das einzige analytische Fundament dieser Aufgabenstellung.
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Stellen Sie nun die tatsächliche Gleichung auf. Der Widerstandsterm zeigt entgegen dem Geschwindigkeitsvektor, sodass sein horizontaler Anteil von der Vertikalgeschwindigkeit abhängt und umgekehrt — die beiden Achsen sind nicht mehr unabhängig und die Parabel hört auf zu existieren.
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Lesen Sie die beiden Verluste als Anteile vom Bedienfeld ab. Sie unterscheiden sich, und dieser Unterschied ist es, den es zu erklären gilt.
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Die Endgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, bei der der Luftwiderstand die Gewichtskraft ausgleicht; ihr Vergleich mit der Abwurfgeschwindigkeit zeigt, welche Kraft zu Beginn dominiert.
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Die Widerstandslänge 1/k ist die Strecke, über die die Luft einen erheblichen Teil der Geschwindigkeit abbaut. Vergleichen Sie diese mit der Wurfweite, die Sie erhofft hatten.
Antwort
Weil der Luftwiderstand eine Längenskala von 33 m hat und der Wurf 64 m weit, aber nur 16 m hoch werden sollte. Die Reichweite behält 44 % ihres Vakuumwerts, die maximale Höhe 60 %. Diese beiden Werte zeigen, dass der Fall nicht perturbativ behandelt werden kann. Die Grenzgeschwindigkeit √(g/k) beträgt 18,1 m/s und liegt damit unter der Abwurfgeschwindigkeit von 25 m/s: Anfangs bremst die Luft den Ball stärker als die Schwerkraft. Außerdem ist 1/k = 33 m halb so groß wie die Reichweite im Vakuum; für eine kleine Korrektur müsste diese Längenskala um ein Vielfaches größer sein. Auch auf eine geschlossene Lösung lässt sich nicht zurückgreifen, denn der Luftwiderstand koppelt die beiden Achsen. Genau deshalb integriert das Werkzeug numerisch, statt Werte in eine Formel einzusetzen.
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Lernpfad
Wurfbewegungen
Quellen (2)
- The lesson — why the coupled equations admit no elementary range formula, and how the optimum angle moves: G. W. Parker, "Projectile motion with air resistance quadratic in the speed." American Journal of Physics 45(7), 606–610, 1977.
- Insight block 3 — why roughening a ball reduces its drag: P. W. Bearman and J. K. Harvey, "Golf Ball Aerodynamics." Aeronautical Quarterly 27(2), 112–122, 1976 — wind-tunnel measurements of dimpled against smooth spheres.