Interaktive Mathe- und Wissenschafts-Lektionen

Kinematik-Rechner (SUVAT)

löse die Bewegungsgleichungen — gib 3 Größen ein, finde die anderen 2

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warum 5 Buchstaben, aber nur 2 Gleichungen? 🖖

Die fünf SUVAT-Größen (s, u, v, a, t) wirken wie fünf unabhängige Fakten — sind sie aber nicht. Jede Bewegungsgleichung ist nur v=u+at oder s=ut+½at² umgestellt: Die anderen drei (s=(u+v)/2·t, v²=u²+2as, s=vt-½at²) ergeben sich direkt daraus, wenn man eine Gleichung in die andere einsetzt. Deshalb legen 3 bekannte Größen die anderen 2 fest — im Kern löst man immer nur 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.

Der Weg ist einfach die Fläche im Diagramm 🖖

Das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm, das dieses Tool zeichnet, ist eine Gerade, weil die Beschleunigung konstant bleibt. Die schraffierte Fläche unter dieser Geraden ist die Verschiebung s, und da diese Fläche ein Trapez ist, entspricht sie der mittleren Geschwindigkeit (u+v)/2 mal der Zeit. Merksatz: Bei gleichmäßiger Beschleunigung liest man die Strecke direkt als Fläche aus dem Diagramm ab — ganz ohne Formeljonglieren.

Galileis Regel der ungeraden Zahlen 🖖

Lange vor der Differentialrechnung bemerkte Galilei, dass ein aus der Ruhe beschleunigter Körper in gleichen Zeitabschnitten Strecken im Verhältnis 1 : 3 : 5 : 7 zurücklegt — stets die ungeraden Zahlen. Summiert man sie, ergeben sich 1, 4, 9, 16, also die Quadratzahlen, und genau deshalb gilt s = ½at². Er schloss das im 17. Jahrhundert aus Kugeln, die er schiefe Ebenen hinabrollen ließ — Jahrzehnte bevor Newton es als Gleichung formulierte.

KINEMATIK-THEORIE — DIE FÜNF BEWEGUNGSGLEICHUNGEN

Die richtige SUVAT-Gleichung: Welcher Buchstabe fehlt?

Konstante Beschleunigung verknüpft fünf Größen — Weg s, Anfangsgeschwindigkeit u, Endgeschwindigkeit v, Beschleunigung a und Zeit t. Jede Aufgabe gibt dir drei davon und fragt nach einer vierten. Jede Gleichung unten lässt genau einen Buchstaben weg: Du brauchst die, in der die Größe fehlt, die du weder kennst noch suchst.

Ohne s — nutzt v, u, a, t v = u + at
Ohne v — nutzt s, u, a, t s = ut + ½at2
Ohne a — nutzt s, u, v, t s = ½(u + v)t
Ohne t — nutzt s, u, v, a v2 = u2 + 2as
Ohne u — nutzt s, v, a, t s = vt − ½at2

01

Ohne s — nutzt v, u, a, t

Gegeben: Drei von Anfangsgeschwindigkeit u, Endgeschwindigkeit v, Beschleunigung a und Zeit t. Der Weg kommt gar nicht vor.

Gleichung: v = u + at

Rechenbeispiel: u = 25 m/s, v = 0, t = 5 s → a = (0 − 25) / 5 = −5 m/s²

Diesen Fall öffnen: Bremsen bis Stillstand
Ohne s — nutzt v, u, a, t. v-t-Diagramm: v ist die Höhe der Geraden nach der Zeit t. Der Weg spielt keine Rolle. Drei von Anfangsgeschwindigkeit u, Endgeschwindigkeit v, Beschleunigung a und Zeit t. Der Weg kommt gar nicht vor.
v-t-Diagramm: v ist die Höhe der Geraden nach der Zeit t. Der Weg spielt keine Rolle.

02

Ohne v — nutzt s, u, a, t

Gegeben: Anfangsgeschwindigkeit u, Beschleunigung a und Zeit t. Gesucht ist die Strecke, nicht die Endgeschwindigkeit.

Gleichung: s = ut + ½at2

Rechenbeispiel: u = 0, a = 9,81 m/s², t = 3 s → s = 0 + ½ · 9,81 · 3² = 44,1 m

Diesen Fall öffnen: Freier Fall aus Ruhe
Ohne v — nutzt s, u, a, t. Die Fläche unter der Geraden zerfällt in ein Rechteck ut und ein Dreieck ½at². Anfangsgeschwindigkeit u, Beschleunigung a und Zeit t. Gesucht ist die Strecke, nicht die Endgeschwindigkeit.
Die Fläche unter der Geraden zerfällt in ein Rechteck ut und ein Dreieck ½at².

03

Ohne a — nutzt s, u, v, t

Gegeben: Anfangsgeschwindigkeit u, Endgeschwindigkeit v und Zeit t. Die Beschleunigung ist unbekannt oder schlicht nebensächlich.

Gleichung: s = ½(u + v)t

Rechenbeispiel: u = v = 12 m/s, t = 6 s → s = ½(12 + 12) · 6 = 72 m

Diesen Fall öffnen: Gleichförmige Bewegung
Ohne a — nutzt s, u, v, t. Trapezfläche: der Mittelwert aus u und v, multipliziert mit t. Anfangsgeschwindigkeit u, Endgeschwindigkeit v und Zeit t. Die Beschleunigung ist unbekannt oder schlicht nebensächlich.
Trapezfläche: der Mittelwert aus u und v, multipliziert mit t.

04

Ohne t — nutzt s, u, v, a

Gegeben: Weg s, eine der beiden Geschwindigkeiten und die Beschleunigung. Die Uhr läuft nie mit.

Gleichung: v2 = u2 + 2as

Rechenbeispiel: s = 5 m, u = 15 m/s, a = −9,81 m/s² → v² = 225 − 98,1, also v = ±11,3 m/s

Diesen Fall öffnen: Ball passiert zweimal
Ohne t — nutzt s, u, v, a. Gleiche Höhe, zwei Geschwindigkeiten: Das ± ist der Hin- und der Rückweg. Weg s, eine der beiden Geschwindigkeiten und die Beschleunigung. Die Uhr läuft nie mit.
Gleiche Höhe, zwei Geschwindigkeiten: Das ± ist der Hin- und der Rückweg.

05

Ohne u — nutzt s, v, a, t

Gegeben: Endgeschwindigkeit v, Beschleunigung a und Zeit t. Die Anfangsgeschwindigkeit ist unbekannt und wird nicht gebraucht.

Gleichung: s = vt − ½at2

Rechenbeispiel: v = 0, a = −3 m/s², t = 25 s → s = 0 − ½(−3)(25²) = 937,5 m

Diesen Fall öffnen: Ausrollen auf der Bahn
Ohne u — nutzt s, v, a, t. Vom Ende her gerechnet: vt minus dem Stück, das die Verzögerung wegnimmt. Endgeschwindigkeit v, Beschleunigung a und Zeit t. Die Anfangsgeschwindigkeit ist unbekannt und wird nicht gebraucht.
Vom Ende her gerechnet: vt minus dem Stück, das die Verzögerung wegnimmt.
Quellen (1)
  • Insight block 3 — the odd-number rule, and the ramps it came from: G. Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze. Leiden, 1638, Third Day — distances in the ratio 1 : 3 : 5 : 7 over equal times, which sum to the squares.

Aufgabe vollständig gelöst

  1. Ein Auto, das bei 5 m/s startet und mit 2 m/s² beschleunigt 5 Schritte

    Ein Auto startet mit 5 m/s und beschleunigt 4 Sekunden lang mit 2 m/s². Bestimmen Sie, wie schnell und wie weit es fährt — und anschließend, wann es die Hälfte der Strecke passiert, was nicht zur Hälfte der Zeit der Fall ist.

    1. Zuerst die Geschwindigkeit, denn sie ist die umgestellte Definition der Beschleunigung: Die gewonnene Geschwindigkeit ist die Beschleunigung mal die Dauer.

    2. Die Strecke ist die Anfangsgeschwindigkeit, beibehalten über vier Sekunden hinweg, plus das, was die Beschleunigung hinzufügt. Die beiden Terme betragen 20 m und 16 m, und keiner von beiden dominiert bisher.

    3. Prüfen Sie nun mit der Gleichung, die keine Zeit enthält. Sie liefert 169 auf beiden Seiten, was keine neue Tatsache ist — es sind die ersten beiden Gleichungen mit eliminiertem t, sodass eine Übereinstimmung garantiert ist und eine Abweichung einen Rechenfehler bedeuten würde.

    4. Die durchschnittliche Geschwindigkeit ist der Mittelwert der Endpunkte, und zwar nur, weil die Beschleunigung konstant ist. Multipliziert man mit der Zeit, ergibt sich wieder die Strecke.

    5. Nun zur Hälfte der Strecke. Die halbe Strecke beträgt 18 m, und das Lösen der quadratischen Gleichung ergibt 2,424 s — nicht 2 s. Bei t = 2 s hat das Auto erst 14 m der 36 zurückgelegt.

    Antwort

    Das Tool gibt s = 36 m und v = 13 m/s aus. Schritt 5 ist derjenige, den man sich merken sollte: Unter Beschleunigung sind die Hälfte der Zeit und die Hälfte der Strecke unterschiedliche Momente, und die zweite Hälfte einer jeden beschleunigten Fahrt ist immer die schnellere. Deshalb fühlt sich ein Überholvorgang falsch an, wenn er nach Strecke geplant wird — die Lücke, die man sieht, schließt sich in der verbleibenden Zeit, nicht im Raum. Schritt 3 ist die andere Hälfte der Lektion: Es gibt fünf SUVAT-Gleichungen und zwei unabhängige Fakten, sodass eine dritte Gleichung Ihre Rechnung bestätigen, aber niemals neue Informationen hinzufügen kann.

Lernpfad

Wurfbewegungen

Führt zu Schiefer Wurf die fünf Größen und die zwei unabhängigen Gleichungen, die sie verknüpfen.

· Aktualisiert

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