Ausflussstrahlen aus einem Behälter

Ein Behälter wird konstant bis zu einer Höhe von 1,20 m gefüllt. In seine Seitenwand bohrst du drei Löcher. Diese liegen 0,30 m, 0,60 m und 0,90 m über dem Tisch, auf dem der Behälter steht. Berechne, wo jeder Strahl auftrifft. Finde außerdem die Höhe heraus, aus der das Wasser am weitesten spritzt.

1. Das austretende Wasser wird einzig und allein durch die darüberliegende Wassertiefe angetrieben. Dieser Druck verleiht ihm exakt die Geschwindigkeit, die ein fallengelassener Stein nach derselben Fallstrecke aufbauen würde. Das ist das berühmte Gesetz von Torricelli. Über dem untersten Loch stehen genau 0,90 m Wasser.

   $$v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times 9.81\times 0.90}=4.20m/s$$

2. Draußen in der Luft verhält sich der Strahl wie ein waagerecht abgeschossenes Projektil. Seine Flugdauer hängt also nur von seiner Fallhöhe ab. Die Wassertiefe über dem Loch bestimmt die Geschwindigkeit. Die Höhe unter dem Loch bestimmt die Fallzeit.

   $$t=\sqrt{\frac{2y}{g}}=\sqrt{\frac{2\times 0.30}{9.81}}=0.2473\mathrm{s}$$

3. Multiplizierst du beide Werte, kürzt sich g aus dem Ergebnis heraus. Ein Wasserstrahl auf dem Mond tritt langsamer aus und bleibt länger in der Luft. Er landet aber punktgenau auf derselben Stelle.

   $$R=vt=\sqrt{2gh}\sqrt{\frac{2y}{g}}=2\sqrt{hy}=2\sqrt{0.90\times 0.30}=1.039\mathrm{m}$$

4. Für die Wurfweite zählt immer nur das Produkt aus der Wassertiefe darüber und der Höhe darunter. Beide Werte addieren sich stets zur Gesamthöhe H. Vertauschst du y mit H − y, ändert sich an diesem Produkt überhaupt nichts. Deshalb spritzt das Wasser aus dem Loch auf 0,90 m exakt so weit wie das aus dem Loch auf 0,30 m.

   $$R(y)=2\sqrt{(H-y)y}⟹R(0.90)=2\sqrt{0.30\times 0.90}=1.039\mathrm{m}=R(0.30)$$

5. Das Produkt zweier Zahlen mit fester Summe ist am größten, wenn beide Zahlen exakt gleich sind. Das optimale Loch liegt also genau auf halber Höhe. Die Wassertiefe darüber und die Höhe darunter betragen dann jeweils H/2. Die berechnete Wurfweite ergibt exakt H.

   $$\underset{y}{\max }(H-y)y⟹y=\frac{H}{2}=0.60\mathrm{m},R_{\max }=2\sqrt{\frac{H}{2}\cdot \frac{H}{2}}=H=1.200\mathrm{m}$$

6. Kein Behälter spritzt das Wasser also weiter über den Tisch, als er selbst tief ist. Dabei ist es völlig egal, wo du bohrst. Die beiden zusammengehörigen Strahlen treffen zwar denselben Punkt, kommen dort aber nicht gleichzeitig an. Der obere Strahl fliegt 0,4284 s lang, der untere hingegen nur 0,2473 s. Die nasse Stelle wird also zweimal im Abstand von 0,18 s getroffen.

   $$t_{0.90}=\sqrt{\frac{2\times 0.90}{9.81}}=0.4284\mathrm{s},t_{0.90}-t_{0.30}=0.1810\mathrm{s}$$