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Tankentleerung & Torricelli-Gesetz

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Ein leerlaufendes Fass hat keine Halbwertszeit 🖖

Jeder erwartet hier den Abfall eines geladenen Kondensators, und der bleibt aus. Der Ausfluss folgt √h und nicht h, deshalb sinkt der Füllstand wie H(1 − t/T)² — eine Parabel, die nach endlicher Zeit bei null ankommt. Passe eine Exponentialfunktion an denselben Halbleerungszeitpunkt an: In dem Moment, in dem dieses Fass tatsächlich trocken ist, behauptet sie noch 9,4 % Restwasser, und leer wird sie nie. Das ist der Unterschied zwischen einer Rate, die von der Menge bestimmt wird, und einer, die von deren Wurzel bestimmt wird.

Vierfache Tiefe kostet doppelte Zeit 🖖

T = (A / CdA₀)√(2H/g): H steht unter einer Wurzel, die beiden Flächen nicht. Füllst du dasselbe Fass viermal so tief, dauert es doppelt so lange, nicht viermal. Halbierst du das Loch, dauert es genau viermal so lange, denn die Fläche geht mit dem Quadrat des Durchmessers. Die Tiefe ist hier der nachsichtige Term, das Loch der gnadenlose.

Das Loch ist kleiner als das Loch, das du gebohrt hast 🖖

Der Ausflussbeiwert ist kein willkürlicher Korrekturfaktor. Wasser, das auf eine scharfkantige Öffnung zuströmt, kann die Ecke nicht ohne Weiteres nehmen, deshalb verengt sich der Strahl noch nach dem Austritt aus der Wand und erreicht seinen wirklichen Kleinstquerschnitt erst ein Stück außerhalb — die vena contracta. Eine scharfkantige Bohrung liegt nahe bei 0,62, die wirksame Öffnung ist also kleiner als zwei Drittel der gebohrten. Setz Cd auf 1, und das Fass ist in 62 % der wirklichen Zeit leer. So groß ist der Fehler, wenn du der Zeichnung glaubst.

Aufgabe vollständig gelöst

  1. Warum die untere Hälfte eines Fasses 2,4-mal so lange braucht wie die obere 8 Schritte

    Ein 300-mm-Fass ist 1,00 m hoch mit Wasser gefüllt, als im Boden ein 10-mm-Loch geöffnet wird. Wie lange dauert es, bis es leer ist, und wie viel von dieser Zeit entfällt auf die letzte Hälfte des Wassers?

    1. Zwei Flächen bestimmen das gesamte Problem. Der Fassquerschnitt legt fest, wie vielen Litern ein Millimeter Füllstand entspricht. Die Lochfläche gibt vor, wie schnell diese Liter entweichen können.

    2. Die Strömungsgeschwindigkeit am Loch folgt wieder dem Torricelli-Gesetz. Sie hängt von der Wassersäule ab, die noch darüber steht. Der Ausflussbeiwert ist nötig, weil sich der Strahl beim Austritt auf etwa 62 % der Lochfläche einschnürt. Multipliziere diesen Wert mit der Lochfläche für das Volumen pro Sekunde. Teile danach durch den Fassquerschnitt, und du hast die Geschwindigkeit, mit der der Füllstand sinkt.

    3. Die Höhe steht auf beiden Seiten. Trenne also die Variablen und integriere von voll bis leer. Das ist die einzige Analysis in der gesamten Aufgabe. Die Form von allem, was danach folgt, leitet sich direkt daraus ab.

    4. Umgestellt liefert das die Entleerungszeit. Setze nun die Zahlen ein.

    5. Stoppst du dasselbe Integral bei einer Höhe h anstatt bei null und stellst es um, erhältst du den Füllstand für jeden beliebigen Zeitpunkt. Es ist eine Parabel. Sie erreicht bei T den Wert null und bleibt dort. Ein Kondensator entlädt sich nie ganz. Ein Fass schon. Das letzte bisschen Wasser wird nämlich immer noch vom letzten Rest der Wassersäule herausgedrückt.

    6. Setze den Füllstand auf die Hälfte und löse die Gleichung nach der Zeit auf. Das Ergebnis ist nicht die Hälfte von T.

    7. Die obere Hälfte verschwindet in 29,3 % der Zeit. Für die untere Hälfte bleiben damit die restlichen 70,7 %. In diesem Verhältnis spielt weder die Höhe, noch der Durchmesser, die Schwerkraft oder der Ausflussbeiwert eine Rolle.

    8. Die Zeit T enthält die Wurzel aus H und sonst nichts, was das Wasser betrifft. Füllst du dasselbe Fass also auf 2,00 m, verdoppelt sich die Wartezeit nicht. Sie vervielfacht sich mit 1,414.

    Antwort

    655,4 Sekunden, und 70,7 % davon entfallen auf die untere Hälfte. Der Füllstand sinkt gemäß H(1 − t/T)². Das ist eine Parabel, die den leeren Zustand nach einer endlichen Zeit erreicht, ganz im Gegensatz zu einer Exponentialfunktion, die sich ihm nur annähert. Die Hälfte des Wassers ist nach 29,3 % der Zeit verschwunden. Somit braucht die untere Hälfte 1 + √2 = 2,414-mal so lange wie die obere. In dieser Zahl taucht nirgendwo ein Tank auf.

Lernpfad

Wasser aus einem Tank: eine Geschwindigkeit, zwei Wege

Quellen (1)
  • Torricelli's law applied to quasi-steady tank draining kinetics and parabolic depth decay: E. Torricelli, De motu gravium naturaliter descendentium. Florence, 1644.

· Aktualisiert

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