Schmelzwärme: Eis im Getränk

Stell das Getränk ein, stell das Eis ein und schau, wo beide landen. Die vom Getränk abgegebene Wärme teilt sich auf drei Prozesse auf: die Erwärmung des Eises, das Schmelzen und die Erwärmung des Schmelzwassers. Beobachte genau, welcher Teil die meiste Arbeit verrichtet.

Rechenbeispiel — Schmelzwärme: Eis im Getränk

Endtemperatur (°C)	4,5
Festes Eis gesamt (g)	0,0
Eis, das auf 0 °C landet (g)	67,6
Eis, das das Getränk gefriert (g)	3.331
Wärmeaufwand fürs Schmelzen	85,6%
Äquivalent in 0 °C Wasser (g)	1.045

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Zwischen 68 g und 3,3 kg Eis ist das Ergebnis immer die gleiche Zahl 🖖

Zieh den Eis-Schieberegler beim Ausgangsglas. Die Temperatur fällt. Sie erreicht bei 67,6 g exakt 0,0 °C und verharrt dort. Bei 100 g, bei 400 g und auch bei 900 g zeigt die Karte weiterhin 0,0 °C. Jedes Gramm nach den ersten 67,6 nutzt die gesamte restliche Wärme des Getränks für das Schmelzen. Dieser Vorgang findet bei einer festen Temperatur statt. Folglich bleibt nichts übrig, was das Thermometer bewegen könnte. Das Plateau schließt sich bei 3.331 g, wo 300 g Wasser nicht mehr genug Wärme mitbringen, um irgendetwas zu schmelzen. Stattdessen beginnt das Wasser zu gefrieren. Du erhöhst die Eismenge um einen Faktor von 49 und das Werkzeug zeigt stets dieselbe Zahl an. Nur die Menge an Eis, die noch im Wasser schwimmt, verändert sich.

Ein Gramm Eis entspricht zwanzig Gramm eiskaltem Wasser, doch dieses Verhältnis bricht bei wärmeren Getränken ein 🖖

Fünfzig Gramm Tiefkühleis kühlen das Ausgangsglas auf 4,5 °C ab. Um 4,5 °C mit Wasser zu erreichen, das bereits 0 °C hat, benötigst du 1.045 g. Das Tool zeigt diesen Wert direkt daneben an. Das Verhältnis beträgt zwanzig zu eins. Das ist mehr als die dreifache Masse des eigentlichen Getränks. Die Balkengrafik für die Wärme zeigt dir den Grund dafür. Das Schmelzen entzieht jedem Gramm Eis 334 J. Ein Gramm Wasser von 0 °C kann hingegen für jedes Grad, das es wärmer wird, nur 4,186 J aufnehmen. Hier erwärmt es sich um viereinhalb Grad. Schieb nun die Temperatur des Getränks auf 80 °C, ohne das Eis zu verändern. Der Wert für das Wasseräquivalent fällt auf 129 g und ist damit kaum noch doppelt so hoch wie die Eismenge. Das liegt daran, dass das gekühlte Wasser jetzt achtzig Grad an Erwärmung aufnehmen kann anstatt nur vier. Ausgerechnet bei dem Getränk, das du am liebsten kalt halten willst, übertrifft das Eis das Wasser am deutlichsten.

Achtzehn Grad Kälte aus der Tiefkühltruhe bringen dir beim Getränk 1,3 Grad 🖖

Eis mit −18 °C fühlt sich viel kälter an als Eis mit 0 °C. Im Glas bringt dieser Unterschied jedoch so gut wie gar nichts. Wechsle einmal zwischen den ersten beiden Voreinstellungen. Du vergleichst dabei 4,5 °C mit 5,7 °C. Eis ist ein schlechter Wärmespeicher. Es speichert nur 2,09 J pro Gramm und Grad, verglichen mit den 4,186 J von flüssigem Wasser. Wenn du 50 g davon von −18 °C auf den Schmelzpunkt bringst, werden 1.881 J absorbiert. Das steht im Schatten der 16.700 J, die danach für das eigentliche Schmelzen verbraucht werden. Das erste Segment im Wärmebudget zeigt genau dieses Zehntel. Der Wechselkurs lautet m_ice·c_ice / (m_total·c_water) = 0,071 °C beim Getränk für jedes Grad im Gefrierschrank. Dieser Verlauf ist eine gerade Linie bis ganz nach unten. Bei −30 °C, dem kältesten Wert auf dem Schieberegler, erreicht das Glas 3,6 °C anstelle von 4,5 °C.

Aufgaben vollständig gelöst

Eis aus dem Gefrierschrank für eine 250 g Tasse Tee bei 80 °C 7 Schritte
Ein 250 g schwerer Becher Tee bei 80 °C, und du möchtest ihn jetzt sofort bei 55 °C trinken. Wie viel Tiefkühleis ist dafür nötig, und wie stark verändert der Becher selbst das Ergebnis?
1. Beginne mit dem Tee. Dafür musst du noch gar nichts über das Eis wissen. Der Tee muss eine feste Menge an Wärme abgeben. Berechne dazu seine Masse, multipliziert mit der spezifischen Wärmekapazität von Wasser und der gewünschten Temperaturdifferenz.
  
  $Q = m c Δ T = 250 \times 4.186 \times (80 - 55) = 26, 163 J$
2. Bewerte nun ein einzelnes Gramm Eis. Auf dem Weg zu Tee mit 55 °C verrichtet es drei Aufgaben. Es erwärmt sich von −18 °C auf seinen Schmelzpunkt, es schmilzt und das entstandene Schmelzwasser erwärmt sich schließlich bis auf 55 °C. Der dritte Schritt wird gerne vergessen. Bei dieser Temperatur stellt er jedoch den zweitgrößten Anteil der drei Posten dar.
  
  $2.09 \times 18 + 334 + 4.186 \times 55 = 601.85 J g^{- 1}$
3. Teile den einen Wert durch den anderen. Das funktioniert hier nur deshalb in einem einzigen Schritt, weil die Endtemperatur von 55 °C von vornherein feststand. Hätte die Frage stattdessen nach der Temperatur gesucht, wäre der Anteil des Schmelzwassers genau von dieser Antwort abhängig gewesen. In diesem Fall müsstest du eine Gleichung auflösen, anstatt einfach nur Werte einzusetzen.
  
  $m_{ice} = \frac{26 , 163}{601.85} = 43.5 g$
4. Überprüfe das Ergebnis. Stell das Werkzeug auf 250 g bei 80 °C mit 43,5 g Eis von −18 °C ein. Die Karte für die Endtemperatur zeigt nun exakt 55,0 °C.
  
  $T_{f} = 55.0^{\circ} C$
5. Vergleiche das mit der bequemen Alternative. Wasser, das bereits 0 °C kalt ist, übernimmt nur die dritte Aufgabe und liefert 230,23 J pro Gramm. Deshalb brauchst du davon gleich 113,6 g. Du erreichst dieselbe Temperatur im Becher, hast aber 70 g mehr Wasser im Tee.
  
  $\frac{26 , 163}{4.186 \times 55} = \frac{26 , 163}{230.23} = 113.6 g$
6. Ein Detail bildet diese Seite allerdings nicht ab. Der Behälter selbst bekommt hier keinerlei Wärmekapazität. Ein 350 g schwerer Steingutbecher, der bei 80 °C steht, muss ebenfalls auf 55 °C abkühlen. Keramik speichert dabei etwa 0,84 J pro Gramm und Grad.
  
  $350 \times 0.84 \times 25 = 7, 350 J$
7. Der reale Becher benötigt also 28 % mehr Eis, als der Tee allein gefordert hätte. Das Steingut steuert 294 J pro Kelvin bei, verglichen mit den 1.047 J des Tees. Das sind 22 % der gesamten thermischen Masse auf dem Tisch. Diese Tatsache fehlt in allen Zahlen oberhalb dieser Zeile.
  
  $m_{ice} = \frac{26 , 163 + 7 , 350}{601.85} = 55.7 g \frac{294}{294 + 1 , 047} = 22%$
Antwort

43,5 g Eis in einem Behälter, der keine Wärme speichert, und etwa 56 g in einem echten Becher. Das Werkzeug berechnet den ersten Wert, kann den zweiten jedoch nicht ausgeben. Aus genau diesem Grund beginnt ein Kalorimetrie-Experiment stets mit der Messung des Kalorimeters selbst. Die 294 J pro Kelvin des Bechers sind eigentlich nur 70 g Wasser in Verkleidung. Diese Menge trägt einen Namen. Man nennt sie das Wasseräquivalent der Apparatur. Jeder, der schon einmal 43 g Eis in starken Tee gekippt und ihn danach immer noch als zu heiß empfunden hat, hat das auf die harte Tour gemessen.
Eine Kühlbox mit 900 g Tiefkühleis, in Stunden statt in Grad gerechnet 7 Schritte
Klick auf Ein Becher in Eis: 900 g Eis bei −25 °C um 120 g Wasser bei 4 °C. Das Feld zeigt −2,3 °C, eine Eismasse von 1.020 g und einen Schmelzanteil von 0,0 %. Rechne aus, wie viel Wärme die Box aufnehmen kann, bevor irgendetwas davon wieder flüssig ist, und entscheide dann, ob die zusätzliche Kälte aus dem Gefrierschrank sich gelohnt hat.
1. Die Eiskarte zeigt mehr an, als du hineingelegt hast, also fang dort an. Damit sich die Mischung bei 0 °C einpendelt, müsste das Eis von −25 heraufgebracht werden, und das kostet 47.025 J. Das Getränk kann 2.009 J liefern, indem es auf 0 abkühlt, und weitere 40.080 J, indem es durchfriert; selbst beides zusammen reicht nicht. Also gefriert es, alle 120 g, und die Eismasse auf der Karte ist alles, was in der Box liegt.
  
  $120 \times 4.186 \times 4 + 120 \times 334 = 42, 089 J < 900 \times 2.09 \times 25 = 47, 025 J$
2. Jetzt ist alles fest, und der Fehlbetrag von 4.936 J muss von den gesamten 1.020 g bezahlt werden, die unter null abkühlen. Eis speichert 2,09 J pro Gramm und Grad, also wird dividiert.
  
  $T_{f} = \frac{42 , 089 - 47 , 025}{1 , 020 \times 2.09} = \frac{- 4 , 936}{2 , 131.8} = - 2.3^{\circ} C$
3. Hier endet die Temperaturgeschichte und die nützliche beginnt. Nichts ist geschmolzen, also zeigt die Karte für den Schmelzanteil 0,0 % und der Budgetbalken hat ein einziges Segment; und keine Menge gekühlten Wassers hätte ein Getränk unter den Gefrierpunkt gebracht, weshalb die Karte für das Wassersäquivalent ∞ anzeigt. Drei Karten sagen dasselbe: Das hier ist kein Getränk, das ist ein Speicher.
  
  $Q = 1, 020 \times 2.09 \times 2.315 + 1, 020 \times 334 = 4, 936 + 340, 680 = 345, 616 J$
4. Stell also die Frage, für die eine Kühlbox wirklich da ist. Wie viel Wärme darf hineinkommen, bis der Inhalt flüssiges Wasser bei 0 °C ist und die Kühlung vorbei? Wärme das Feste zurück auf null und schmilz dann alle 1.020 g. 345,6 Kilojoule.
  
  $900 \times 334 = 300, 600 (87.0%); 900 \times 2.09 \times 25 = 47, 025 (13.6%); - 120 \times 4.186 \times 4 = - 2, 009 (- 0.6%)$
5. Zerleg das, denn die Rangfolge ist der Punkt. Die Schmelzwärme des Eises, das du eingepackt hast, macht 87 % des Speichers aus. Die 25 Grad Gefrierschrankkälte machen 13,6 % aus. Das Getränk selbst ist negativ: Es kam warm an und gibt auf dem Weg hinein ein wenig von der Reserve aus.
  
  $t = \frac{345 , 616 J}{3 W} = 115, 205 s = 32.0 h$
6. Nun ein Leck dazu. Nimm eine kleine Box in einem warmen Raum mit 3 Watt, also einem Joule pro Drittelsekunde. Dividiere, und die Reserve reicht 32 Stunden.
  
  $t_{- 18} = \frac{900 ( 334 + 2.09 \times 18 ) - 2 , 009}{3} = \frac{332 , 449}{3} = 30.8 h$
7. Lauf dasselbe noch einmal mit Eis aus einem Haushaltsgefrierschrank bei −18 °C statt aus einer Truhe bei −25. Die Reserve fällt auf 332 kJ und die Box hält 30,8 Stunden. Sieben Grad sind 1,2 Stunden wert, und die ganzen 25 Grad sind 4,4 der 32 wert, in Eis gerechnet 122 Gramm, ein Achtel der Ladung.
  
  $\frac{m _{i} c _{ice}}{c _{ice} ∣ T _{i} ∣ + L} = \frac{900 \times 2.09}{386.25} = 4.87 g per^{\circ} C \Rightarrow 25^{\circ} C \equiv 122 g$
Antwort

345,6 kJ Reserve, das sind 32 Stunden bei einem Leck von 3 Watt, und 13,6 % davon kamen aus dem Gefrierschrank statt aus dem Eis. Kälteres Eis ist gut zu haben und ist nicht viel wert: Den Gefrierschrank um weitere sieben Grad herunterzudrehen bringt ungefähr so viel Zeit wie weitere 120 g hineinzukippen.

Der Infoblock über diesem bewertet dieselbe zusätzliche Kälte mit 0,071 °C Getränk je Grad Gefrierschrank und nennt sie fast nichts, und beide Lesarten stimmen, weil ein Getränk und eine Kühlbox verschiedene Fragen stellen. Ein Getränk will eine Temperatur, und die Temperatur wird vom Schmelzen bestimmt, das bei einem einzigen festen Wert stattfindet, wie kalt das Eis auch angefangen hat. Eine Box will eine Dauer, und die Dauer wird von Joule bestimmt, wo jedes Grad unter null real ist und zählt. Das Werkzeug zeigt Temperaturen, weil das Getränk der Fall ist, mit dem die Leute ankommen. Die Größe hinter alledem ist die Enthalpie, die das Modul mitführt und nie anzeigt: der gesamte Inhalt, gemessen gegen flüssiges Wasser bei 0 °C. Hast du sie erst einmal in Joule, dann sind die Box, das Picknick und der Ausfall des Gefrierschranks ein und dieselbe Division.

$Q_{reserve} = - H = m_{i} (L + c_{ice} ∣ T_{i} ∣) - m_{w} c T_{w}$

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-26

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

Tiefkühleis im Wasserglas - 300 g Wasser mit einer Temperatur von 20 °C und 50 g Eis aus einem −18 °C kalten Gefrierschrank erreichen gemeinsam 4,5 °C. Das Eis schmilzt dabei vollständig. 85,6 % der vom Wasser abgegebenen Wärme fließen allein in den Schmelzvorgang.
Dasselbe Eis bei 0 °C - Dieselbe Menge von 50 g Eis führt zu einer Endtemperatur von 5,7 °C, wenn sie bei 0 °C anstatt −18 °C ins Wasser gelangt. Achtzehn Grad Temperaturunterschied im Gefrierschrank haben einen Effekt von 1,3 °C erkauft.
Überschüssiges Eis - Mit 150 g Tiefkühleis im selben Glas landest du bei exakt 0,0 °C, während noch 91,7 g Eis im Wasser schwimmen. Jede Menge über 67,6 g führt zu genau diesen 0,0 °C.
Tee, auf 55 °C gekühlt - 43,5 g Tiefkühleis kühlen 250 g Tee von 80 °C auf 55,0 °C ab. Um dieselbe Temperatur mit 0 °C kaltem Wasser zu erreichen, bräuchtest du 114 g.
Ein Becher in Eis - 120 g Wasser bei 4 °C, die von 900 g Eis bei −25 °C umgeben sind, frieren komplett durch und enden bei −2,3 °C. Der Gefrierprozess beginnt, sobald die Eismenge 806 g übersteigt.