Unschärferelation und Wellenpakete

Wähle die Form und die Breite eines Wellenpakets. Die Seite zeigt das Paket und daneben die Verteilung der Wellenzahlen, aus denen es besteht, und berechnet Δx·Δk. Gib ein Teilchen und eine Zeit an, um zu sehen, wie weit sich das frei bewegte Paket ausgebreitet hat.

Rechenbeispiel — Unschärferelation und Wellenpakete

Streuung der Wellenzahl	0,5000 nm⁻¹
Produkt der beiden Streuungen	0,5000
Impulsstreuung	5,273×10⁻²⁶ kg·m/s
Geschwindigkeitsstreuung	5,788×10⁴ m/s
Zeit bis zur doppelten Breite	29,92 fs
Breite 100,0 fs nach dem Loslassen	5,874 nm

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Unschärferelation und Wellenpakete

Ein Wellenpaket ist eine Summe ebener Wellen e^ikx mit Amplituden φ(k), die über einen Bereich von Wellenzahlen verteilt sind. Zusammen ergeben sie eine auf ein Gebiet begrenzte Welle. Die Breiten Δx und Δk sind die Standardabweichungen von |ψ(x)|² und |φ(k)|². Für jede solche Summe gilt Δx·Δk ≥ ½, wobei nur eine Gaußfunktion die Gleichheit erreicht. Eine Materiewelle hat den Impuls p = ħk. Damit wird dieselbe Ungleichung zu Heisenbergs Unschärferelation: Δx·Δp ≥ ħ/2.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

Δx: die Standardabweichung des Ortes, bestimmt aus |ψ(x)|²
Δk: die Standardabweichung der Wellenzahl, bestimmt aus dem Spektrum |φ(k)|²
Δp: die Standardabweichung des Impulses, ħΔk
ħ: das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum, h/2π = 1,055×10⁻³⁴ J s
t₂: die Zeit, in der ein freies Paket sein Δx verdoppelt

Setzt voraus: Betrachtet wird ein freies Teilchen in einer Dimension, auf das nach dem Loslassen keine Kraft wirkt. Das Paket ist zu diesem Zeitpunkt reell und symmetrisch, sodass sein mittlerer Impuls null ist und kein Anteil einen Vorsprung hat. Die Energie wird nichtrelativistisch mit E = p²/2m beschrieben. Als Breiten dienen Standardabweichungen; deshalb lautet die Schranke ½. Verwendet man stattdessen die Halbwertsbreiten, beträgt das Produkt für die Gaußfunktion 4 ln 2 ≈ 2,77.
Versagt, wenn: Bei einem Paket, dessen Phase sich räumlich ändert, einem gechirpten Paket, bleibt |ψ(x)|² gleich, während das Spektrum breiter wird. Es liegt daher über der Schranke. Befinden sich die schnellen Anteile anfangs hinten, wird das Paket zunächst schmaler und breitet sich erst danach aus. Eine Kraft verändert die Ausbreitung grundlegend: In einem harmonischen Potential behält eine Gaußfunktion mit der passenden Breite, der Grundzustand des Oszillators, ihre Breite dauerhaft bei. Ein Staubkorn bleibt zudem nie lange genug ungestört, um sich merklich auszubreiten. Zusammenstöße mit Luftmolekülen und thermischen Photonen zeichnen seine Position viel schneller auf, als sich seine Breite verdoppeln könnte. Dies ist der Gegenstand der Dekohärenz.

Nur die Gaußfunktion erreicht ½; das Rechteckpaket bleibt weit davon entfernt 🖖

Jedes Wellenpaket hier ist eine Summe ebener Wellen. Die Beziehung Δx·Δk ≥ ½ gilt für solche Summen: für Schall und Licht ebenso wie für Elektronen. Schau dir die Tabelle mit fünf Formen an, die alle dasselbe Δx haben. Die Gauß-Funktion ergibt 0,5000. Beim Dreieck sind es 0,5477, beim Kosinusbogen 0,5679 und bei der Exponentialfunktion, deren Amplitude im k-Raum ein Lorentz-Profil hat, 0,7071. Die Rechteckfunktion wirkt von allen fünf am stärksten eingegrenzt, ergibt aber unendlich. An ihren Rändern liegen Sprünge, und ein Sprung benötigt Wellen jeder Wellenzahl. Deshalb gehen einer <a href="/math/fourier-series">Fourier-Reihe</a> für eine Rechteckwelle niemals die Harmonischen aus. Ihr Spektrum fällt nur wie 1/k² ab; das Integral, das Δk definiert, konvergiert daher nicht. Klick auf Rechteck: Im Spektrum ziehen sich die Nebenmaxima als Wellenmuster bis zu beiden Rändern des Diagramms und darüber hinaus, während das Gauß-Spektrum längst null erreicht hat. Gleichheit gilt ausschließlich für die Gauß-Funktion. Das ist ein Satz und keine Besonderheit dieser fünf Beispiele. Für Materiewellen ist p = ħk. Multiplizierst du mit ħ, erhältst du Heisenbergs Unschärferelation Δx·Δp ≥ ħ/2.

Ein auf 1 nm eingeengtes Elektron verdoppelt seine Breite in 29,92 Femtosekunden 🖖

Lässt du ein Wellenpaket frei, laufen seine Wellenanteile auseinander, denn jeder trägt einen eigenen Impuls ħk. Die Geschwindigkeitsstreuung ist Δv = ħΔk/m, und die Breite wächst gemäß √(Δx² + (Δv t)²). Sie hat sich verdoppelt, sobald Δv t = √3 Δx gilt. Bei einem Gauß-Paket beträgt diese Zeit 2√3 mΔx²/ħ; sie ist proportional zur Masse und zum Quadrat der Anfangsbreite. Klick auf Elektron, 1 nm: 29,92 fs. Bei Elektron, 0,1 nm ist der Anfang zehnmal schmaler und die Verdopplungszeit hundertmal kürzer: 0,2992 fs. Wähle dann Staubkorn. Ein auf einen Mikrometer lokalisiertes Mikrogramm verdoppelt seine Breite in 1,041×10⁶ Jahren; ein Jahr nach dem Loslassen ist es auf vier geltende Ziffern genau noch immer 1,000 µm breit. Auch das Staubkorn breitet sich aus. Es ist 10²¹-mal schwerer als das Elektron und beginnt mit einer tausendmal größeren Breite. Beide Faktoren verlängern die Verdopplungszeit.

Zehnmal stärker eingeengt, später fast zehnmal breiter 🖖

Ein schmalerer Anfangszustand bringt eine größere Geschwindigkeitsstreuung mit sich. Nach genügend langer Zeit bestimmt sie die Breite. Klick auf Elektron, 1 nm und lies in den Ergebnissen die Zeile für die Breite ab: 100 fs nach dem Loslassen ist das Paket 5,874 nm breit. Klick dann auf Elektron, 0,1 nm. Anfangs war es zehnmal schmaler, nun ist es 57,88 nm breit. Zu jeder Zeit t gibt es eine optimale Anfangsbreite, √(ħt/2m). Für 100 fs beträgt sie 2,406 nm; anschließend ist das Paket um den Faktor √2 breiter, also 3,402 nm. Bei einer kleineren oder größeren Anfangsbreite ist das Paket nach 100 fs breiter. Die Staffel der Anfangsbreiten zeigt den Wendepunkt. Im Ausbreitungsdiagramm kreuzt die violette Kurve für den zehnmal schmaleren Anfangszustand die blaue bereits innerhalb der ersten Femtosekunden und bleibt danach über ihr. Eine stärkere Lokalisierung des Elektrons jetzt wird später mit einer größeren Ortsunschärfe bezahlt.

Aufgabe vollständig gelöst

Warum ein Atom seine Größe hat 5 Schritte
Ein Elektron wird durch die Anziehung eines Protons in dessen Nähe gehalten. Wenn die Unschärferelation seinen kleinsten Impuls vorgibt, wie groß ist dann das Atom, und wie stark ist das Elektron gebunden? Klick für den ersten Schritt auf Elektron, 0,1 nm.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Bei einer Lokalisierung auf Δx = 0,1 nm ist die kleinste mit der Schranke verträgliche Impulsstreuung ħ/2Δx. Für die Gaußfunktion zeigt die Seite:
  
  $Δ p = \frac{ℏ}{2 Δ x} = \frac{1 . 0546 \times 1 0 ^{- 34} J s}{2 \times 1 0 ^{- 10} m} = 5.273 \times 1 0^{- 25} kg m/s$
2. Allein diese Streuung kostet kinetische Energie:
  
  $E_{k} = \frac{Δ p ^{2}}{2 m _{e}} = \frac{( 5 . 273 \times 1 0 ^{- 25} ) ^{2}}{2 \times 9 . 109 \times 1 0 ^{- 31} kg} = 1.526 \times 1 0^{- 19} J = 0.9525 eV$
3. Bezeichne die räumliche Begrenzung nun mit r, setze den Impuls näherungsweise als ħ/r an und addiere die Anziehung durch das Proton. Die Gesamtenergie ist
  
  $E (r) = \frac{ℏ ^{2}}{2 m _{e} r ^{2}} - \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r}$
4. Ihr Minimum liegt dort, wo ihre Ableitung null ist:
  
  $\frac{d E}{d r} = - \frac{ℏ ^{2}}{m _{e} r ^{3}} + \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r ^{2}} = 0 \Rightarrow r = \frac{4 π ε _{0} ℏ ^{2}}{m _{e} e ^{2}} = 5.292 \times 1 0^{- 11} m$
5. und die minimale Energie beträgt
  
  $E (r) = - \frac{m _{e} e ^{4}}{2 ( 4 π ε _{0} ) ^{2} ℏ ^{2}} = - 2.180 \times 1 0^{- 18} J = - 13.61 eV$
Antwort

Die Abschätzung setzt den Abstand des Elektrons vom Proton auf 0,05292 nm und ergibt eine Bindungsenergie von 13,61 eV. Das ist der Bohrsche Radius; die Ionisierungsenergie des Wasserstoffs wird bis auf 0,1 % getroffen. Die Übereinstimmung ist zum Teil Zufall, denn p ≈ ħ/r ist eine gewählte Näherung. Mit ħ/2r ergäbe sich ein viermal kleinerer Radius. Dass ein Atom überhaupt eine Größe besitzt, ist hingegen kein Zufall. Wird das Elektron stärker eingeengt, steigt seine kinetische Energie wie 1/r², während die Anziehung nur wie 1/r zunimmt. Unterhalb eines bestimmten Radius kostet weiteres Einengen daher mehr Energie, als die Anziehung einbringt. Für ein klassisches Elektron gibt es keine solche Untergrenze; es würde in das Proton stürzen.

$r = 0.05292 nm = a_{0}, E = - 13.61 eV (hydrogen: - 13.598 eV)$

Lernpfad

Quantenmechanik: Materie als Wellen

Quellen (3)

A packet built from plane waves, how its width grows once released, σ²(t) = Δx² + α²t²/(4Δx²) with α = ħ/m, and Δx·Δk ≳ ½ from the same analysis: R. Fitzpatrick, "Evolution of Wave Packets" and "Heisenberg's Uncertainty Principle", in Quantum Mechanics (lecture notes), Department of Physics, University of Texas at Austin, 2010.
The mathematics of the inequality: Heisenberg's Δx·Δk ≥ ½ for any square-integrable function, with equality only for Gaussians, and its many variants: G. B. Folland and A. Sitaram, "The uncertainty principle: A mathematical survey", Journal of Fourier Analysis and Applications 3, 207–238 (1997).
The constants, ħ = h/2π, the electron and proton masses and ε₀, and the Bohr radius the worked problem lands on: E. Tiesinga, P. J. Mohr, D. B. Newell and B. N. Taylor, "CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018", Reviews of Modern Physics 93, 025010 (2021); values as printed on NIST's CODATA 2018 wall chart.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.