Spektrogramm

Vier kurze Stücke aus reinen Tönen, ihr Spektrogramm und ein Schnitt durch dieses. Ändere die Fensterlänge und beobachte, wie sich nahe Töne trennen, während die Zeit verschwimmt, oder umgekehrt. Die gestrichelten Balken sind die Partitur: Sie zeigen, wo die Noten wirklich liegen.

Rechenbeispiel — Spektrogramm

Halbton über dem tiefsten Ton	26,16 Hz
Eine Schwebung dieses Halbtons	38,2 ms
Fenster, das sie immer trennt	50,6 ms
Dieses Fenster in Sechzehnteln bei 120 bpm	0,31
Hauptkeule, Mitte bis Nullstelle	26,2 Hz
Spitzen innerhalb 6 dB bei 1,06 s	zwei
Schnitte mit zwei Spitzenwerten	61,9%

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Spektrogramm

Ein Spektrogramm zeigt, wie sich das Spektrum eines Signals im Laufe der Zeit verändert. Das Signal wird in überlappende Abschnitte geschnitten. Jeder Abschnitt wird mit einem Fenster der Länge T multipliziert und Fourier-transformiert (die Kurzzeit-Fourier-Transformation). Die Amplituden werden dann nebeneinandergelegt. Ein T langes Fenster verwischt die Zeit um etwa T und die Tonhöhe um etwa 1/T. Keine einzige Länge kann also eng beieinanderliegende Tonhöhen und schnelle Veränderungen gleichzeitig abbilden. Zwei Tonhöhen im Halbtonabstand unterscheiden sich um Δf = f(2^1/12 − 1), und sie schweben einmal alle 1/Δf.

Setzt voraus: Reine Sinustöne von gleicher Lautstärke. Wenn eine echte Note Harmonische besitzt, sind die n-ten Harmonischen zweier Noten im Halbtonabstand n-mal weiter voneinander entfernt als die Noten selbst. Ein Spektrogramm trennt diese Harmonischen daher mit kürzeren Fenstern, als die Grundtöne verlangen. Wie viel von einem Bassklang in seinen Harmonischen sitzt, hängt vom Instrument ab.

Zwei Töne im Halbtonabstand brauchen ein Fenster, das länger als eine Schwebung ist 🖖

Klick auf Eine Schwebung, Rechteck. A4 und A♯4 liegen 26,16 Hz auseinander. Zusammen schweben sie also 26,16 Mal pro Sekunde, einmal alle 38,2 ms. Ein Fenster von genau dieser Länge ist die übliche Faustregel: Die Frequenzauflösung entspricht dem Kehrwert der Fensterlänge. Die Seite zählt die Schnitte, und nur 61,9 % zeigen zwei Spitzenwerte. Diejenigen, die versagen, sind die Momente, in denen die zwei Töne in Phase sind und sich genau zwischen ihren Tonhöhen zu einem einzigen Buckel addieren. Eine Schwebung später sind sie wieder in Phase. Jeder Schnitt trennt die Töne erst, wenn das Fenster 1,33 Schwebungen umfasst. Das sind 50,6 ms für ein Rechteckfenster oder 1,88 Schwebungen, 72,0 ms, für Hann, dessen abgeschwächte Ränder dazu führen, dass es für eine kürzere Zeitspanne zuhört, als es lang ist. Klick auf Lang genug: Bei 80 ms zeigt jeder Schnitt beide Töne. Julius Smiths Regel in Spectral Audio Signal Processing, zwei Schwebungen für Rechteck und vier für Hann, ist sicherer, als dieser Test verlangt, denn sie fordert, dass sich die beiden Hauptkeulen überhaupt nicht überschneiden.

Eine Basslinie braucht einen langsameren Takt als eine Melodie 🖖

Ein Halbton ist ein festes Verhältnis, 2^1/12. Seine Breite in Hertz schrumpft also mit der Tonhöhe: 52,33 Hz bei A5, aber nur 3,27 Hz bei A1, vier Oktaven tiefer. Das Fenster muss passend dazu wachsen. Die Tabelle unter den Ergebnissen zeigt die Abstufung: Ein Hann-Fenster braucht 36,0 ms, um einen Halbton bei A5 zu trennen. Bei A1 sind es 576,2 ms, mehr als viereinhalb Sechzehntelnoten bei 120 Schlägen pro Minute. Klick auf Melodietriller: A5 und A♯5 wechseln sich in Sechzehnteln ab, und ein 36 ms langes Fenster zeigt in 95,0 % der Schnitte, welcher Ton gerade spielt. Klick auf Basstriller, denselben Triller vier Oktaven tiefer, durch ein Fenster von der Länge einer einzigen Note, 125 ms: 1,2 %. Zieh nun am Regler für das Fenster. Ist es zu kurz, fehlt ihm die Schärfe, um 55 Hz von 58,27 Hz zu unterscheiden. Ist es lang genug dafür, überspannt es vier oder fünf Noten und hört beide gleichzeitig. Kein Fenster von 10 ms bis zu einer Sekunde zeigt in auch nur einem Viertel der Schnitte, welcher Basston gerade spielt. Für Musik gebaute Analysatoren lösen dies, indem sie jeder Tonhöhe ihr eigenes Fenster geben: Bei Judith Browns Constant-Q-Transformation von 1991 verhält sich die Fensterlänge umgekehrt proportional zur Frequenz, lang für den Bass und kurz für den Diskant.

Ein gleitender Ton hat ein optimales Fenster, und ein längeres verwischt ihn 🖖

Klick auf Ein Glissando: Ein Ton gleitet in zwei Sekunden von 440 Hz auf 880 Hz, 220 Hz jede Sekunde. Durch ein 140 ms langes Hann-Fenster ist seine Linie in der Mitte 18,2 Hz breit. Halbiere das Fenster auf 70 ms, und die Linie verbreitert sich auf 29,0 Hz, ganz wie es bei einem kürzeren Fenster sein sollte. Verdopple es auf 280 ms, und sie verbreitert sich ebenfalls, auf 30,8 Hz. Ein längeres Fenster hat eine schmalere Hauptkeule, aber die Tonhöhe bewegt sich, während es zuhört. In 280 ms überstreicht das Glissando 61,6 Hz. Das Fenster verschmiert diese gesamte Spanne zu einer einzigen Linie. Die beiden Unschärfen ziehen in entgegengesetzte Richtungen. Für dieses Glissando ist die Linie nahe 140 ms am schmalsten. Ein gehaltener Akkord besitzt keine solche optimale Länge: Jenseits von 72,0 ms trennt sich jeder Hann-Schnitt, und ein längeres Fenster verschmälert lediglich die Keulen. Unter beidem liegt eine fundamentale Grenze dafür, wie klein das Produkt aus der zeitlichen Ausdehnung eines Fensters und seiner Ausdehnung in der Tonhöhe sein kann. Genau darum geht es auf der Seite über Wellenpakete.

Aufgabe vollständig gelöst

Der tiefste Ton des Klaviers 4 Schritte
Das tiefste A auf einem Klavier ist A0, 27,5 Hz. Wie lang muss ein Hann-Fenster in einem Spektrogramm sein, um A0 und A♯0 in jedem Schnitt als zwei Spitzenwerte zu zeigen, und wie verhält sich das zu einer Sechzehntelnote bei 120 Schlägen pro Minute? Welches Fenster nutzt ein Constant-Q-Analysator wie der von Judith Brown dort? Klick zuerst auf Basstriller: Die Seite liefert die Zahlen für A1, eine Oktave höher.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Der Halbton über A0:
  
  $Δ f = 27.5 Hz \times (2^{1/12} - 1) = 27.5 \times 0.05946 = 1.635 Hz$
2. Ein Hann-Fenster braucht 1,8845 Schwebungen. Eine Oktave unter A1 halbiert sich der Abstand, also verdoppelt das Fenster die 576,2 ms der Seite:
  
  $T = \frac{1 . 8845}{1 . 635 Hz} = 1.152 s = 2 \times 576.2 ms$
3. In Sechzehntelnoten bei 120 Schlägen pro Minute, jeweils 125 ms:
  
  $\frac{1 , 152 ms}{125 ms} = 9.2$
4. Browns Constant-Q-Fenster umfassen Q = 34 Zyklen der analysierten Tonhöhe (Hamming-geformt, für Vierteltonauflösung). Ihre Länge ist also Q/f:
  
  $T_{Q} = \frac{Q}{f} = \frac{34}{27 . 5 Hz} = 1.236 s; \frac{34}{440 Hz} = 77.3 ms$
Antwort

Etwa 1,15 s, mehr als neun Sechzehntelnoten. Bei dieser Länge überspannt ein Fenster mehr als neun Noten einer schnellen Passage in der untersten Oktave des Klaviers. Browns Fenster bei A0, 1,24 s, ist sogar noch länger. Bei A4 landen seine 77,3 ms nahe den 72,0 ms der Seite für Hann, resultierend aus einem anderen Kriterium.

$T \approx 1.15 s > 9 \times 125 ms$

Lernpfad

Die Fourier-Transformation in der Praxis

Quellen (2)

How long a window must be to resolve two sinusoids Δf apart: M ≥ K fₛ/|f₂ − f₁|, “the window length M must span at least K periods of the difference frequency”, with K = 2 for the rectangular window and 4 for Hann, a sharper empirical K* of 1.44 and 2.36, and the summary that “the window must ‘see’ at least 1.5 cycles of the minimum difference frequency”: J. O. Smith III, Spectral Audio Signal Processing, W3K Publishing (2011), “Resolving Sinusoids”, “Simple Sufficient Condition for Peak Resolution” and “Summary”.
The constant-Q transform, built because the DFT's fixed resolution does not suit musical pitch: “for the ratio of frequency to bandwidth to be a constant (constant Q), then the window size must vary inversely with frequency”, with Q = f/δf = f/0.029f = 34 for quarter-tone resolution and window length N[k] = (S/fₖ)Q samples (p. 427): J. C. Brown, “Calculation of a constant Q spectral transform”, Journal of the Acoustical Society of America, vol. 89, no. 1, pp. 425–434 (1991).

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.