Signalabtastung & Nyquist-Theorem

Lege Signalfrequenz und Abtastrate fest, um zu sehen, ob das Signal originalgetreu erfasst oder verfälscht (Aliasing) wird.

Rechenbeispiel — Signalabtastung & Nyquist-Theorem

Quantisierungs-SNR	49.92dB

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Zwei verschiedene Frequenzen können identische Messpunkte hinterlassen 🖖

Abtastung funktioniert nur, wenn die Abtastrate die schnellste vorkommende Schwingung erfasst. Wenn f_s < 2 f_signal, erzeugen unterschiedliche kontinuierliche Frequenzen identische Abtastwerte, sodass die Rekonstruktion auf eine falsche, niedrigere Alias-Frequenz einrastet.

Mindestens zwei Punkte pro Welle 🖖

Um eine Welle festzunageln, muss man sie beim Ansteigen und beim Absinken erwischen — mindestens zwei Abtastwerte pro Schwingung. Mit weniger könnten dieselben Punkte zu vielen verschiedenen Wellen gehören, und die digitale Kopie rät falsch. CD-Audio verwendet 44,100 Abtastwerte pro Sekunde, weil das menschliche Gehör bei etwa 20 kHz endet und 2 × 20 kHz bequemen Spielraum lässt.

Warum Räder im Film rückwärts drehen 🖖

Der Wagenrad-Effekt ist Nyquist in der sichtbaren Welt. Eine Filmkamera tastet Bewegung mit 24 Bildern pro Sekunde ab; dreht sich ein Speichenrad zwischen zwei Bildern etwas weniger als eine Speichenlücke weiter, landet jede Aufnahme knapp vor der letzten, und das Auge sieht das Rad langsam rückwärts drehen. Dieselbe Mathematik wie beim Audio-Aliasing — die Bildrate ist die Abtastrate, und schnelle Rotation faltet sich in eine falsche langsame.

Aufgaben vollständig gelöst

Die 6 dB-pro-Bit-Regel und der 1,76-Zusatz für einen 8-Bit-Wandler 5 Schritte
Leiten Sie die 6-dB-pro-Bit-Regel für einen 8-Bit-Wandler von Grund auf ab — woher stammt die isolierte 1,76? — und geben Sie dann an, was sie nicht verspricht.
1. Das Runden auf die nächstgelegene Stufe hinterlässt einen Fehler, der nicht größer als eine halbe Stufe ist, und bei einem dynamischen Signal verteilt sich dieser Fehler gleichmäßig über das Intervall. Seine Varianz ist das Integral von e² über eine Gleichverteilung.
  
  $Δ = \frac{V _{F S}}{2 ^{N}}, e \sim U (- \frac{Δ}{2}, \frac{Δ}{2}), σ_{e}^{2} = \frac{1}{Δ} \int_{- Δ/2}^{Δ/2} e^{2} d e = \frac{Δ ^{2}}{12}$
2. Das Referenzsignal ist ein Sinus, der den gesamten Eingangsbereich ausnutzt, sodass seine Leistung der Hälfte des Quadrats seiner Amplitude entspricht.
  
  $P_{sig} = \frac{( V _{F S} /2 ) ^{2}}{2} = \frac{V _{F S}^{2}}{8}$
3. Dividieren Sie die beiden Werte. Der Vollaussteuerungsbereich kürzt sich heraus; dies ist der Grund, warum das Ergebnis eine reine Funktion der Bitanzahl und nicht der Spannung ist.
  
  $SNR = \frac{V _{F S}^{2} /8}{Δ ^{2} /12} = \frac{12}{8} (\frac{V _{F S}}{Δ})^{2} = \frac{3}{2} \cdot 2^{2 N}$
4. Bilden Sie die Logarithmen. Die 6,02 ist 20 log₁₀2 — ein Bit verdoppelt die Anzahl der Stufen — und die 1,76 ist die verbleibende 3/2 aus der vorherigen Zeile.
  
  $SN R_{dB} = 10 lo g_{10} \frac{3}{2} + 20 N lo g_{10} 2 = 1.76 + 6.02 N$
5. Werten Sie das Ergebnis für 8 Bit aus, danach für 16. Jedes zusätzliche Bit bringt etwas mehr als 6 dB, sodass die acht zusätzlichen Bits der Audio-CD 48 dB einbringen.
  
  $N = 8 : 6.02 (8) + 1.76 = 49.92 dB; N = 16 : 98.08 dB$
Antwort

49,92 dB, und die 1,76 ist 10 log₁₀(3/2). Es ist das Verhältnis zwischen dem quadratischen Mittelwert eines Sinussignals und der Varianz des gleichverteilten Quantisierungsfehlers, und es ist der einzige Teil der Formel, der nicht bloß Bits zählt. Beachten Sie, was niemals auftaucht: die Abtastrate. Ein 24-Bit-Wandler, der mit 8 kHz arbeitet, bietet eine Amplitudenauflösung von 146 dB und kann dennoch keinen 5-kHz-Ton darstellen — Bits kaufen vertikale Präzision, die Abtastrate kauft Bandbreite, und keine Menge der einen ersetzt die andere. Deshalb sind die beiden Schieberegler auf dieser Seite echte unabhängige Achsen und nicht zwei Möglichkeiten, "Qualität" zu sagen.

$SN R_{dB} = 6.02 N + 1.76 = 49.92 dB (N = 8)$
Ein 30-kHz-Ton auf einer CD und wo er wiederkehrt 7 Schritte
Ein Mikrofon erfasst einen 30-kHz-Signalanteil, weit oberhalb der menschlichen Hörgrenze. Dieser erreicht völlig ungefiltert einen 44,1-kHz-Wandler. Was landet letztendlich in der Aufnahme, und von welchen anderen Tönen kannst du das Signal nicht mehr unterscheiden?

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1. Beginne mit der Obergrenze. Ein Wandler, der mit 44.100 Abtastwerten pro Sekunde läuft, kann alles unterhalb der halben Rate unverfälscht darstellen. Unser Ton liegt über dieser Grenze; wie auch immer die Abtastwerte danach aussehen, sie können nicht das bedeuten, was sie zu bedeuten scheinen.
  
  $f_{N y q u i s t} = \frac{f _{s}}{2} = \frac{44 100}{2} = 22050 Hz 30000 > 22050$
2. Schreibe auf, was der Wandler tatsächlich speichert. Er sieht die Welle nie. Er sieht den Wert der Welle einmal alle 1/44.100 einer Sekunde und sonst nichts.
  
  $x [n] = sin (2 π f \frac{n}{f _{s}}) = sin (2 π \cdot \frac{30 000}{44 100} n)$
3. Füge nun eine ganze Zahl von Schwingungszyklen zwischen einem Abtastwert und dem nächsten hinzu. Jeder Abtastwert gewinnt eine zusätzliche Phase von 2πk, und eine Sinusschwingung bleibt bei vollen Umdrehungen unverändert. Die gespeicherten Zahlen fallen Ziffer für Ziffer identisch aus.
  
  $sin (2 π \frac{f + k f _{s}}{f _{s}} n) = sin (2 π \frac{f}{f _{s}} n + 2 π k n) = sin (2 π \frac{f}{f _{s}} n) k \in Z$
4. Die Abtastwerte bestimmen also keine Frequenz. Sie bestimmen eine Familie, und die Wiedergabe muss ein Mitglied daraus wählen. Sie wählt dasjenige, das der Null am nächsten liegt – also den Abstand von 30.000 Hz zum nächstgelegenen Vielfachen der Abtastrate.
  
  $k = round (\frac{30 000}{44 100}) = 1, f_{a l ia s} = ∣ 30000 - 1 \cdot 44100 ∣ = 14100 Hz$
5. Das ist der Wert, den das Werkzeug anzeigt. 14.100 Hz ist ein dünnes, hohes Pfeifen, für die meisten jungen Hörer wahrnehmbar und eines der ersten Dinge, die mit dem Alter verloren gehen – und es war nicht im Raum: Ein unhörbarer Signalanteil wurde allein durch den Vorgang der Aufnahme in einen hörbaren verwandelt.
  
  $OSR = \frac{f _{s}}{2 f _{s i g na l}} = \frac{44 100}{2 \cdot 30 000} = 0.735 < 1$
6. Welche anderen Töne landen an genau derselben Stelle? Jedes Mitglied der Familie. Es gibt unendlich viele davon. Diejenigen, die um eine ganze Abtastrate höher liegen, tauchen Ziffer für Ziffer identisch wieder auf. Die gespiegelten Töne liefern durchgehend negierte Abtastwerte, was demselben Ton mit umgekehrter Phase entspricht. In jedem Fall speichert die Aufnahme pro Abtastzeitpunkt nur eine einzige Zahl. Sie hält nicht fest, von welchem Ton diese stammt.
  
  $∣ k f_{s} \pm 14100 ∣ = {14100, 30000, 58200, 74100, 102300, \dots}$
7. Deshalb muss das Filter analog sein und vor dem Wandler sitzen, und daraus ergibt sich, wie steilflankig es sein muss: Durchlass bis 20 kHz, Sperrung bei 22.050 Hz – eine Lücke von etwa einer siebtel Oktave. Das in analoger Elektronik aufzubauen ist schwer, was der praktische Grund dafür ist, dass Überabtastungswandler existieren. Taste schneller ab, das Schutzband wird breiter, das analoge Filter kann flach abfallen, und der steile Teil der Aufgabe wandert in die Arithmetik, wo er billig ist.
  
  $lo g_{2} \frac{22 050}{20 000} = 0.141 octave$
Antwort

14.100 Hz, in voller Stärke. Ein mit 44,1 kHz abgetasteter 30-kHz-Ton ist nicht von einem 14.100-Hz-Ton zu unterscheiden, und ebenso wenig 58.200 Hz, 74.100 Hz und jedes andere Mitglied von |k·f_s ± 14.100|. Aliasing zerstört Information im Moment der Abtastung, sodass keine nachträgliche Verarbeitung die gefalteten Töne wieder voneinander trennen kann. Der einzige Ort, dies zu verhindern, ist vor dem Wandler.

$f_{a l ia s} = f - f_{s} round (\frac{f}{f _{s}}) = 14100 Hz$

Quellen (2)

Where the sampling theorem is stated: C. E. Shannon, "Communication in the Presence of Noise." Proceedings of the IRE 37, 10–21, 1949.
And the information-theoretic frame it sits in: C. E. Shannon, "A Mathematical Theory of Communication." Bell System Technical Journal 27, 379–423, 1948.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.