Der gleitende Durchschnitt als Filter

Eine tägliche Zeitreihe, ein Durchschnitt über M aufeinanderfolgende Tage und was dieser Durchschnitt mit jedem Zyklus macht, den die Reihe enthalten könnte. Probier zuerst die echten Berichte aus. Ändere dann M um einen Tag und schau zu, wie das Wochenmuster zurückkehrt.

Rechenbeispiel — Der gleitende Durchschnitt als Filter

Verstärkung beim Wochenzyklus, 1/7 pro Tag	0,0000
Wochentagsschwankung in Reihe	70,5 Pkt.
Verbleibende Schwankung	0,8 Pkt.
Zyklus mit halber Leistung	15,66 Tage
Verzögerung der Ausgabe	0,0 Tage
Tage ohne Durchschnitt	3
Höchster Durchschnitt	25.851 pro Tag, 21. Dez. 2020
Gemeldete Fälle pro Tag (JHU CSSE)	7-Tage-Durchschnitt

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Ein M-Punkt gleitender Durchschnitt ersetzt jeden Wert einer Zeitreihe durch den Mittelwert von M aufeinanderfolgenden Werten. Es ist eine Faltung mit einer Box aus M Gewichten 1/M. Nach dem Faltungstheorem ist seine Wirkung auf einen Zyklus mit f Zyklen pro Abtastwert eine Multiplikation mit der Fourier-Transformierten der Box, der Verstärkung H(f) = sin(πfM)/(M sin πf). H ist null bei f = 1/M, 2/M, …, negativ zwischen der ersten und zweiten Nullstelle, und er ist reell, wenn jeder Durchschnitt in die Mitte seines Fensters gesetzt wird. Setzt man ihn an das Ende des Fensters, tragen dieselben Werte eine Verzögerung von (M − 1)/2 Abtastwerten.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

M: die Anzahl der Tage in jedem Durchschnitt
f: die Frequenz eines Zyklus, in Zyklen pro Tag, von 0 bis ½
H(f): die Verstärkung: womit der Durchschnitt einen Zyklus der Frequenz f multipliziert; negativ bedeutet invertiert

Setzt voraus: Ein Wert pro Tag ohne Lücken, damit das Fenster immer M Kalendertage umfasst. Die Auslöschung erfordert, dass sich die gemeldeten Werte selbst alle 7 Tage wiederholen. Eine stets gleiche Meldeverzögerung hält sie wöchentlich und ändert nichts. Ein fehlender Tag, ein Feiertag oder eine von Woche zu Woche variierende Verzögerung bricht dieses Muster.

Ein 7-Tage-Durchschnitt löscht den Wochenzyklus, egal in welcher Form 🖖

Klick auf Deutschland, 7 Tage. Diese Meldungen sacken zu Beginn jeder Woche ab und häufen sich später: Montage machen im Schnitt 60,1 % der sie umgebenden Woche aus, Donnerstage 130,7 %. Im 7-Tage-Durchschnitt beträgt die Wochentagsschwankung 0,8 Punkte. Jedes Fenster aus 7 aufeinanderfolgenden Tagen enthält exakt einen Montag, einen Dienstag und so weiter bis zum Sonntag. Jedes Muster, das sich wöchentlich wiederholt, fügt jedem Fenster den gleichen Betrag hinzu, ganz unabhängig von seiner Form. Im unteren Diagramm ist die Verstärkung sin(7πf)/(7 sin πf) exakt null bei 1/7, 2/7 und 3/7 Zyklen pro Tag, dem Wochenzyklus und den einzigen beiden Harmonischen, die eine Reihe täglicher Werte tragen kann. Diese 0,8 ist nicht null, da sich das reale Muster nicht exakt wiederholt. Klick auf Nur das Wochenmuster und sie wird 0,0. Feiertage brechen die Wiederholung komplett. Der Erste Weihnachtsfeiertag zeigt 0 und der nächste Tag 39.988, der höchste Wert der gesamten Reihe. Am 22. Dezember fällt der zentrierte Durchschnitt auf 21.025, da sein Fenster auf der Null endet. Einen Tag später, mit der 39.988 im Fenster, liegt er wieder bei 22.266. Ändere nun M um einen Tag. 8 Tage enthalten einen Wochentag doppelt und behalten ein Achtel der Schwankung, 8,8 Punkte von 70,7 in der synthetischen Woche. 6 Tage lassen einen Wochentag aus und behalten ein Sechstel, 11,8. 14 und 21 löschen sie wieder. Ein nachlaufender Durchschnitt meldet dieselben Zahlen an einem späteren Tag, er löscht den Wochenzyklus also genauso gut.

Einige Wellen kommen aus dem Durchschnitt invertiert heraus 🖖

Klick auf Eine 5-Tage-Welle: ein Kosinus mit einer Periode von 5 Tagen durch denselben 7-Tage-Durchschnitt. Glättung soll ein schnelles Zappeln verkleinern. Der gestrichelte Geist stellt diese Erwartung dar, die Welle kleiner, aber aufrecht. Der Durchschnitt kommt mit −0,2311 der Welle heraus: kleiner und invertiert. Seine Spitzen liegen an den Tagen, an denen die Eingabe Täler hat. Der Grund dafür passt in ein Fenster. Beliebige 5 aufeinanderfolgende Tage enthalten einen ganzen Zyklus, der sich zu null summiert. Ein 7-Tage-Fenster behält also nur seine beiden Endtage, 3 Tage auf jeder Seite der Mitte. 3 Tage sind sechs Zehntel eines Zyklus. Die beiden Tage, die so weit auf jeder Seite eines Punktes liegen, summieren sich auf 2 cos(6π/5) = −1,618 mal den Wert der Welle an dieser Stelle. Geteilt durch 7 ergibt das −0,2311. Im unteren Diagramm ist die Verstärkung für jede Periode zwischen 3,5 und 7 Tagen negativ, am negativsten bei −0,2330 nahe 4,86 Tagen, und positiv zwischen 2,33 und 3,5. Klick auf Tag an, Tag aus: Das schnellste Zappeln, das eine tägliche Reihe tragen kann, kommt mit −0,1429 durch, ein Siebtel seiner Größe. Steven W. Smiths DSP-Lehrbuch nennt den gleitenden Durchschnitt in einem Satz "einen außergewöhnlich guten Glättungsfilter" und "einen außergewöhnlich schlechten Tiefpassfilter". Diese Nebenkeulen sind der Grund dafür.

Ein nachlaufender Durchschnitt ist der zentrierte, drei Tage verspätet 🖖

Klick auf Wie bei Dashboards. Ein Dashboard kann keine Tage mitteln, die noch nicht passiert sind, also setzt es jeden 7-Tage-Durchschnitt auf den letzten Tag seines Fensters. Das sind dieselben 7 Zahlen und derselbe Mittelwert, ausgegeben 3 Tage nach der Mitte des Fensters. Die gestrichelte Linie ist der zentrierte Durchschnitt, und die durchgezogene Linie ist diese nach rechts verschobene Kurve. Der höchste 7-Tage-Durchschnitt in diesen Meldungen, 25.851 pro Tag, gehört zur Woche vom 18. bis 24. Dezember. Zentriert liegt er auf dem 21. Dezember. Nachlaufend liegt er auf dem 24. Dezember. Keine der Platzierungen ist umsonst zu haben. Der zentrierte Durchschnitt ist pünktlich und endet 3 Tage vor den Daten, da seine letzten Fenster noch nicht vollständig sind. Der nachlaufende Durchschnitt reicht bis heute und beschreibt eine Woche, deren Mitte 3 Tage in der Vergangenheit liegt. Bei einem geradlinigen Trend hinkt er um exakt 3 Tage an Änderung hinterher. Die Verstärkung bleibt unberührt, der Wochenzyklus verschwindet also immer noch. Nur der Zeitpunkt verschiebt sich, um dieselben 3 Tage bei jeder Frequenz. Für ein Fenster von M Tagen beträgt die Verzögerung (M − 1)/2 Tage. Ein nachlaufender 14-Tage-Durchschnitt liegt also 6,5 Tage zurück.

Den Durchschnitt mitteln 4 Schritte
Ein 7-Tage-Durchschnitt stellt ein 5-Tage-Zappeln auf den Kopf. Ein Kollege schlägt vor, den 7-Tage-Durchschnitt vom 7-Tage-Durchschnitt zu bilden. Was passiert nun mit der 5-Tage-Welle, was mit dem Wochenzyklus, und was kostet der zweite Durchgang? Klick zuerst auf Eine 5-Tage-Welle: Die Seite zeigt die Verstärkung eines Durchgangs.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Ein Durchgang, von der Seite:
  
  $H (\frac{1}{5}) = \frac{sin ( 7 π /5 )}{7 sin ( π /5 )} = - 0.2311$
2. Ein zweiter Durchgang multipliziert die Welle nochmals mit derselben Verstärkung, und negativ mal negativ ergibt positiv:
  
  $H_{7 \times 7} (\frac{1}{5}) = H (\frac{1}{5})^{2} = (- 0.2311)^{2} = 0.0534$
3. Beide Durchgänge zusammen ergeben einen Durchschnitt über 13 Tage mit dreieckigen Gewichten, die Box mit sich selbst gefaltet:
  
  $z_{t} = \frac{1}{49} (x_{t - 6} + 2 x_{t - 5} + \dots + 7 x_{t} + \dots + 2 x_{t + 5} + x_{t + 6})$
4. Sein Halbwertspunkt wandert nach außen, von H² = ½ für einen Durchgang zu H⁴ = ½ für zwei:
  
  $H (f)^{4} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{f} = 21.74 d (H (f)^{2} = \frac{1}{2} : 15.66 d)$
Antwort

Die 5-Tage-Welle kommt aufrecht heraus, mit 0,0534 ihrer Größe. Der Wochenzyklus wird weiterhin gelöscht, da 0 × 0 = 0. Der Preis ist ein Glätter, der auch langsamere Zyklen abschwächt: Die Periode, deren Leistung halbiert wird, verschiebt sich von 15,66 auf 21,74 Tage. Eine zentrierte Version benötigt 6 Tage auf jeder Seite anstatt 3 und endet somit 6 Tage vor den Daten. Hyndman und Athanasopoulos nennen so etwas einen gleitenden Durchschnitt eines gleitenden Durchschnitts, in ihrem Beispiel ein 3×3-MA. Hier ist es ein 7×7-MA.

$H_{7 \times 7} (\frac{1}{5}) = 0.0534 > 0, H_{7 \times 7} (\frac{1}{7}) = 0 \times 0 = 0$

Lernpfad

Quellen (3)

The source of the page's real series: the daily difference of Germany's cumulative confirmed cases in the JHU CSSE COVID-19 Data Repository, licensed CC BY 4.0, with the dashboard paper its terms of use ask users to cite: COVID-19 Data Repository by the Center for Systems Science and Engineering (CSSE) at Johns Hopkins University, time_series_covid19_confirmed_global.csv (archived 10 March 2023). E. Dong, H. Du and L. Gardner, An interactive web-based dashboard to track COVID-19 in real time. The Lancet Infectious Diseases 20(5), 533–534 (2020). doi:10.1016/S1473-3099(20)30120-1
The moving average as a convolution with a rectangular pulse, the centred and one-sided forms, and its frequency response H[f] = sin(πfM)/(M sin πf) (equation 15-2), with the verdict the second insight quotes: "an exceptionally good smoothing filter", "an exceptionally bad low-pass filter": S. W. Smith, The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing. California Technical Publishing (online edition, © 1997–2011). Chapter 15, Moving Average Filters.
The m-MA of a time series, why symmetric moving averages have odd order, the 2×m-MA for an even seasonal period, the statement that "a 7-MA can be used to estimate the trend-cycle of daily data with a weekly seasonality" while other orders leave the estimate contaminated by the seasonality, and moving averages of moving averages (the 3×3-MA), which the worked problem extends to 7×7: R. J. Hyndman and G. Athanasopoulos, Forecasting: Principles and Practice, 3rd edition. OTexts, Melbourne, 2021. Section 3.3, Moving averages.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.

Der gleitende Durchschnitt als Filter

Die Theorie — Der gleitende Durchschnitt als Filter

Was die einzelnen Symbole bedeuten

Ein 7-Tage-Durchschnitt löscht den Wochenzyklus, egal in welcher Form 🖖

Einige Wellen kommen aus dem Durchschnitt invertiert heraus 🖖

Ein nachlaufender Durchschnitt ist der zentrierte, drei Tage verspätet 🖖

Aufgabe vollständig gelöst

Die Fourier-Transformation in der Praxis