Aufgabe vollständig gelöst
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Zwei Quellen im Abstand von 2 Einheiten mit einer Wellenlänge von 0,5 5 Schritte
Zwei Quellen im Abstand von 2 Einheiten, Wellenlänge 0,5. Bestimmen Sie die Richtungen der Maxima und Minima zweiter Ordnung und zählen Sie anschließend, wie viele helle Streifen insgesamt existieren.
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Alles ergibt sich aus einer einzigen geometrischen Tatsache: Bei einem Winkel θ beträgt der zusätzliche Weg, den die Welle der entfernteren Quelle zurücklegen muss, d sin θ. Ob diese gleichphasig oder gegenphasig eintrifft, ist bereits das gesamte Thema.
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Ist der zusätzliche Weg ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge, treffen die Wellenberge aufeinander. Für die 2. Ordnung braucht es eine volle Einheit Wegdifferenz; bei diesem Abstand beträgt der Sinus ein halb.
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Um eine halbe Wellenlänge verschoben treffen Wellenberge auf Wellentäler. Die 2,5 ist kein Tippfehler – das dunkle Minimum n liegt zwischen dem hellen Maximum n und dem hellen Maximum n+1.
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Nun zur Begrenzung. Der Sinus kann 1 nicht überschreiten, daher begrenzt das Verhältnis d/λ die Ordnung, und die Streifen existieren auf beiden Seiten des Zentrums sowie im Zentrum selbst.
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Nimmt man diese Grenze ernst, wird sie zu einer Entwurfsregel. Bei einem Abstand von weniger als einer Wellenlänge gibt es nichts außer der Hauptkeule, und bei einer halben Wellenlänge existiert genau eine.
Antwort
30° und 38,68°, mit insgesamt neun hellen Streifen. Interessant ist hierbei die Anzahl, und sie ergibt sich aus einer Nebenbedingung statt aus einer Rechnung: sin θ kann niemals 1 überschreiten, sodass für keine Ordnung jenseits von d/λ = 4 noch Platz ist. Verringert man den Abstand auf unter eine Wellenlänge, verschwindet jede Ordnung außer der zentralen – das Muster zieht sich zu einer einzigen Hauptkeule zusammen. Diese eine Tatsache erklärt eine Lücke und ein Ärgernis in zwei verschiedenen Fachgebieten zugleich. Sie ist der Grund dafür, warum eine Öffnung, die schmaler als eine Wellenlänge ist, nahezu gleichmäßig in alle Richtungen abstrahlt, und warum ein Phased Array im Abstand einer halben Wellenlänge gebaut wird: bei d = λ/2 wird die erste Nebenordnung nach sin θ = 2 verschoben, was nicht existiert, und das Array schwenkt seinen Strahl, ohne Kopien davon in den Himmel zu senden.
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Lernpfad
Von einer Feder zur stehenden Welle
Quellen (2)
- Superposition, the cos²(δ/2) intensity and thin-film coatings: Eugene Hecht, Optics, 5th edition, ch. 7 and 9. Pearson, 2017. ISBN 978-0-13-397722-6.
- The single-electron double slit in the third block: A. Tonomura, J. Endo, T. Matsuda, T. Kawasaki and H. Ezawa, "Demonstration of single-electron buildup of an interference pattern." American Journal of Physics 57(2), 117–120, 1989.