Hookesches Gesetz & Federlabor

Erkunde in Echtzeit Kraft, Federkonstante, Auslenkung, gespeicherte elastische Energie sowie Reihen- und Parallelschaltungen von Federn.

Rechenbeispiel — Hookesches Gesetz & Federlabor

Federkonstante k	10 N/m
Federkonstante k₁	10 N/m
Federkonstante k₂	10 N/m
Masse m	0.1 kg
Dämpfungskonstante c	0.00 N·s/m
Auslenkung x	-0.45 m

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Jede stabile Mulde sieht aus der Nähe wie eine Feder aus 🖖

Das Hookesche Gesetz, F = -kx, beschreibt das linear-elastische Verhalten deformierter Materialien. Das negative Vorzeichen steht für die Rückstellkraft, die das System in das Gleichgewicht zurückdrückt. Auf atomarer Ebene ist es eine Näherung erster Ordnung des Lennard-Jones-Potenzials chemischer Bindungen. Nahe dem Minimum eines Potenzialtopfs ist die potenzielle Energie näherungsweise quadratisch: U = 1/2 kx². Diese quadratische Energieform führt dazu, dass jede kleine Schwingung eine einfache harmonische Schwingung auslöst, deren Frequenz unabhängig von der Schwingungsweite ist.

Steifigkeit – und wie Federn zusammenspielen 🖖

Das Hookesche Gesetz besagt nur, dass eine Feder mit einer Kraft zurückdrückt, die direkt proportional dazu ist, wie weit man sie dehnt oder staucht – die Federkonstante k ist einfach ihre Steifigkeit in Newton pro Meter. Der Systemmodus zeigt eine hübsche Überraschung: Zwei gleiche Federn nebeneinander (parallel) verdoppeln die Steifigkeit, dieselben beiden hintereinander (in Reihe) werden hingegen nur halb so steif. Federn zu verketten macht sie weicher, nicht stärker.

Hooke versteckte sein Gesetz in einem Anagramm 🖖

1676 wollte Robert Hooke seine Entdeckung noch nicht preisgeben und veröffentlichte sie als verwürfeltes lateinisches Anagramm: ceiiinosssttuv. Zwei Jahre später löste er es auf – ut tensio, sic vis, „wie die Dehnung, so die Kraft“. Er sicherte sich die Priorität, während er an federgetriebenen Uhren arbeitete. Dasselbe lineare Gesetz steckt heute in Küchenwaagen, Autofederungen und im Klicken eines Druckkugelschreibers.

HOOKESCHES GESETZ — WELCHE FRAGE, UND WIE SIND DIE FEDERN ANGEORDNET?

In welchem Federfall bist du?

Eine Feder trägt eine einzige Zahl, ihre Steifigkeit k, und alles Weitere ergibt sich daraus, was du von ihr willst. Ziehst du daran, ist die Kraft kx. Hältst du sie dort, beträgt die gespeicherte Energie ½kx² — sie wächst mit dem Quadrat der Dehnung, nicht im gleichen Schritt. Lässt du los, wird dasselbe k zur Uhr. Und wirken zwei Federn zusammen, hängt es ganz von der Verbindung ab, ob sich ihre Steifigkeiten addieren oder ihre Nachgiebigkeiten.

Du willst die Kraft — eine Gerade durch den Ursprung F = kx

Du willst die gespeicherte Energie — eine Parabel, also quadratisches Wachstum E = ½kx²

Du lässt los — die Feder wird zur Uhr ω₀ = √(k/m)

Zwei Federn nebeneinander — die Steifigkeiten addieren sich k_eq = k₁ + k₂

Zwei Federn hintereinander — das Paar ist weicher als jede einzelne 1/k_eq = 1/k₁ + 1/k₂

Du willst die Kraft — eine Gerade durch den Ursprung

Was du weißt: Eine Feder, eine Auslenkung. F = kx: Die Kraft ist proportional dazu, wie weit das Ende aus der Ruhelage bewegt wurde, und sie zieht dorthin zurück.

Beziehung: F = kx

Rechenbeispiel: k = 100 N/m, gedehnt um x = 0,3 m → F = 100 × 0,3 = 30 N

Diesen Fall öffnen: Kraft vs. Auslenkung

Du willst die Kraft — eine Gerade durch den Ursprung. Kraft über Auslenkung ist eine Gerade, deren Steigung die Steifigkeit ist. Eine Feder, eine Auslenkung. F = kx: Die Kraft ist proportional dazu, wie weit das Ende aus der Ruhelage bewegt wurde, und sie zieht dorthin zurück. — Kraft über Auslenkung ist eine Gerade, deren Steigung die Steifigkeit ist.

Du willst die gespeicherte Energie — eine Parabel, also quadratisches Wachstum

Was du weißt: Die Arbeit gegen eine linear wachsende Kraft ist die Fläche unter dieser Geraden, und die beträgt ½kx². Doppelte Dehnung speichert die vierfache Energie.

Beziehung: E = ½kx²

Rechenbeispiel: k = 150 N/m, gehalten bei x = −0,4 m → E = ½ × 150 × 0,16 = 12 J; bei halber Auslenkung nur 3 J

Diesen Fall öffnen: Federenergie

Du willst die gespeicherte Energie — eine Parabel, also quadratisches Wachstum. Die gespeicherte Energie ist die Fläche unter der Kraftgeraden: eine Parabel in der Auslenkung. Die Arbeit gegen eine linear wachsende Kraft ist die Fläche unter dieser Geraden, und die beträgt ½kx². Doppelte Dehnung speichert die vierfache Energie. — Die gespeicherte Energie ist die Fläche unter der Kraftgeraden: eine Parabel in der Auslenkung.

Du lässt los — die Feder wird zur Uhr

Was du weißt: Aus der Ruhe losgelassen schwingt die Masse mit ω₀ = √(k/m), unabhängig davon, wie weit du gezogen hast. Die Dämpfung c bestimmt nur, wie schnell die Schwingung abklingt.

Beziehung: ω₀ = √(k/m)

Rechenbeispiel: k = 120 N/m bei m = 1,5 kg → ω₀ = 8,944 rad/s, also T = 0,702 s und f = 1,42 Hz. Mit c = 0,3 ist das Dämpfungsmaß ζ = 0,011 — kaum gedämpft.

Diesen Fall öffnen: Gedämpfte Schwingung

Du lässt los — die Feder wird zur Uhr. Die Masse schwingt mit einer allein von k und m bestimmten Rate; die Dämpfung schrumpft nur die Hüllkurve. Aus der Ruhe losgelassen schwingt die Masse mit ω₀ = √(k/m), unabhängig davon, wie weit du gezogen hast. Die Dämpfung c bestimmt nur, wie schnell die Schwingung abklingt. — Die Masse schwingt mit einer allein von k und m bestimmten Rate; die Dämpfung schrumpft nur die Hüllkurve.

Zwei Federn nebeneinander — die Steifigkeiten addieren sich

Was du weißt: Beide Federn überbrücken denselben Spalt, dehnen sich also um dasselbe x und steuern je ihre eigene Kraft bei. Das Paar verhält sich wie eine einzige Feder mit k₁ + k₂.

Beziehung: k_eq = k₁ + k₂

Rechenbeispiel: k₁ = 80 N/m und k₂ = 120 N/m parallel → the pair acts as 200 N/m, für 0,25 m Dehnung braucht es also 50 N

Diesen Fall öffnen: Parallelfedern

Zwei Federn nebeneinander — die Steifigkeiten addieren sich. Beide Federn dehnen sich gleich weit, also addieren sich bei jedem x ihre Kräfte. Beide Federn überbrücken denselben Spalt, dehnen sich also um dasselbe x und steuern je ihre eigene Kraft bei. Das Paar verhält sich wie eine einzige Feder mit k₁ + k₂. — Beide Federn dehnen sich gleich weit, also addieren sich bei jedem x ihre Kräfte.

Zwei Federn hintereinander — das Paar ist weicher als jede einzelne

Was du weißt: Dieselbe Kraft durchläuft beide Federn, jede dehnt sich also um ihren eigenen Betrag, und die beiden Dehnungen addieren sich. Addiert werden die Kehrwerte der Steifigkeiten.

Beziehung: 1/k_eq = 1/k₁ + 1/k₂

Rechenbeispiel: Zwei Federn mit je 150 N/m in Reihe → 150 × 150 / 300 = 75 N/m for the pair. Bei 0,25 m Gesamtdehnung dehnt sich jede um 0,125 m, die Kraft beträgt 18,75 N.

Diesen Fall öffnen: Reihenfedern

Zwei Federn hintereinander — das Paar ist weicher als jede einzelne. Dieselbe Kraft durchläuft beide, also addieren sich die Dehnungen und das Paar wird weicher. Dieselbe Kraft durchläuft beide Federn, jede dehnt sich also um ihren eigenen Betrag, und die beiden Dehnungen addieren sich. Addiert werden die Kehrwerte der Steifigkeiten. — Dieselbe Kraft durchläuft beide, also addieren sich die Dehnungen und das Paar wird weicher.

Quellen (1)

Insight block 3 — the anagram, and the law it concealed: R. Hooke, Lectures de Potentia Restitutiva, or of Spring. London, 1678 — where "ceiiinosssttuv" is unscrambled to "ut tensio, sic vis".

Aufgabe vollständig gelöst

Zwei hintereinandergeschaltete 150 N/m Federn, insgesamt um 0,25 m gedehnt 5 Schritte
Zwei hintereinander geschaltete Federn mit je 150 N/m, insgesamt um 0,25 m gedehnt. Bestimmen Sie die Steifigkeit des Paares, die Zugkraft und die gespeicherte Energie. Dies entspricht Mehrere Federn in der Konfiguration Federn in Reihe mit k₁ = k₂ = 150 N/m und einer Masse von 0,1 kg.
1. Man geht von dem aus, was beide Federn gemeinsam haben. Eine gedehnte Feder zieht an beiden Enden mit der gleichen Kraft. Die Zugkraft, die die erste Feder an die zweite weitergibt, ist daher dieselbe Zugkraft, die auf die Wand wirkt. Die Kraft ist beiden Federn gemeinsam; die Dehnung ist es nicht.
  
  $F = k_{1} x_{1} = k_{2} x_{2}$
2. Die Dehnungen addieren sich, denn die Gesamtdehnung ergibt sich aus den beiden aneinandergereihten Einzeldehnungen. Dividiert man die gemeinsame Kraft heraus, addieren sich die Kehrwerte; und genau diese Addition der Kehrwerte ist der Grund, warum das Paar weicher ausfällt als jede einzelne Feder für sich.
  
  $x = x_{1} + x_{2} = \frac{F}{k _{1}} + \frac{F}{k _{2}} ⟹ \frac{1}{k _{e q}} = \frac{1}{150} + \frac{1}{150}, k_{e q} = 75 N/m$
3. Das Paar verhält sich nun bei den angegebenen 0,25 m wie eine einzelne Feder mit 75 N/m. Jede Feder bringt die volle Kraft auf, übernimmt aber nur die Hälfte der Dehnung — die Anzeige rundet die 18,75 N auf 18,8 N.
  
  $F = k_{e q} x = 75 \times 0.25 = 18.75 N, x_{1} = x_{2} = \frac{18.75}{150} = 0.125 m$
4. Die Energie entspricht der Fläche unter der Kraft-Dehnungs-Linie und folgt k_eq somit exakt so wie die Kraft. Aufgeteilt auf die beiden Federn ergibt dies zwei gleiche Anteile von je 1,172 J. Eine einzelne Feder mit 150 N/m, die auf dieselben 0,25 m gedehnt wird, würde 4,688 J speichern — doppelt so viel, weil das Erreichen dieser Dehnung die doppelte Kraft erfordert.
  
  $P E = \frac{1}{2} k_{e q} x^{2} = \frac{1}{2} (75) (0.25)^{2} = 2.344 J = 2 \times \frac{1}{2} (150) (0.125)^{2}$
5. Eine Halbierung der Steifigkeit halbiert nicht die Schwingungsdauer. Die Steifigkeit steht unter einer Quadratwurzel, daher benötigt das Paar das √2-Fache der 0,162 s, die dieselbe Masse an einer einzelnen Feder benötigen würde.
  
  $T = 2 π \frac{m}{k _{e q}} = 2 π \frac{0.1}{75} = 0.229 s = 2 \times 0.162 s$
Antwort

Das Werkzeug zeigt k_eq = 75,0 N/m, eine Rückstellkraft von 18,8 N, 2,344 J gespeicherte Energie und eine Schwingungsdauer von 0,229 s an. Liest man die Regel für die Reihenschaltung rückwärts, sagt das etwas über eine einzelne Feder aus: Jede Feder besteht aus ihren eigenen zwei Hälften in Reihe, sodass jede Hälfte doppelt so steif sein muss wie das Ganze. Die Steifigkeit ist umgekehrt proportional zur ungespannten Länge, und eine in der Mitte durchgeschnittene Feder ist keine schwächere Feder, sondern eine steifere — was sowohl der billige Weg ist, ein Fahrwerk zu straffen, als auch der übliche Weg, es zu ruinieren. Dies liefert auch Schritt 2 ohne Algebra: Zwei identische Federn hintereinander zu schalten ist nichts anderes als das Bauen einer Feder von doppelter Länge.

$\frac{1}{k _{e q}} = i \sum \frac{1}{k _{i}} ⟹ k \propto \frac{1}{L}$

Lernpfad

Von einer Feder zur stehenden Welle

Führt zu Resonanz

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-17

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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