SHM-Resonanzlabor

Stelle Masse, Federkonstante, Dämpfung und Anregungsfrequenz ein, um Resonanz, Phasenverschiebung und Amplitudenüberhöhung live zu beobachten.

Rechenbeispiel — SHM-Resonanzlabor

Phasenverschiebung φ	1.5708 rad≈90.0∘

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Eine Zahl bestimmt sowohl die Größe als auch die Dauer 🖖

Die beiden Vorgaben für die erzwungene Schwingung unterscheiden sich nur im Takt: Masse, Feder, Dämpfung und Erregerkraft von 1,2 sind gleich. Lediglich die Kreisfrequenz der Erregung ändert sich, von 4,00 auf 2,2 rad/s. Dadurch sinkt die angezeigte Vergrößerung M von 6,667 auf 1,424, also um den Faktor 4,68. Bei Resonanz ist M genau 1/(2ζ). Eine statische Auslenkung von 0,0750 m wird hier somit zu einer Schwingungsamplitude von 0,5000 m. Derselbe Ausdruck 1/(2ζ) bestimmt auch die Wartezeit. Die Hüllkurve wächst mit einer Zeitkonstanten von 3,333 s an, während die Periodendauer 1,571 s beträgt. Bis 95 % der vollen Amplitude erreicht sind, vergehen daher etwa 6,4 Perioden, nahezu derselbe Wert wie 6,667. Eine Resonanz, die hundertfach verstärkt, braucht ungefähr hundert Perioden, um sich aufzubauen. Deshalb muss ein Weinglas gleichmäßig und anhaltend angesungen werden; ein kurzer Schrei genügt nicht.

Resonanz ist einfach gutes Timing 🖖

Bei diesem Werkzeug geht es im Kern um Timing. Jede Masse an einer Feder hat eine Eigenfrequenz ω₀, mit der sie am liebsten schwingt. Regt man sie in genau diesem Rhythmus an — wie beim Anschwingen einer Schaukel im richtigen Moment — fügt jeder kleine Stoß Energie hinzu, und die Amplitude X wächst weit über das hinaus, was eine konstante Kraft bewirken würde. Die Vergrößerung M misst diesen Zuwachs; nur die Dämpfung verhindert, dass er außer Kontrolle gerät. In Resonanz hinkt die Bewegung der Kraft um genau 90° hinterher.

Der Gipfel liegt unter der Eigenfrequenz 🖖

Zeichnet man die Resonanzkurve, erwartet man ihren höchsten Punkt bei ω = ω₀. Doch das stimmt nicht: Die Auslenkungsamplitude erreicht ihr Maximum etwas tiefer, bei ω_r = ω₀√(1 − 2ζ²). Noch erstaunlicher: Überschreitet der Dämpfungsgrad ζ = 1/√2 ≈ 0,707 — also lange vor der kritischen Dämpfung bei ζ = 1 — verschwindet dieser Gipfel ganz, und die Kurve fällt nur noch ab. Ein System kann also schwach gedämpft sein und trotzdem keine Resonanzspitze besitzen.

SCHWINGER — WIE VIEL DÄMPFUNG, UND TREIBST DU IHN IN SEINER EIGENFREQUENZ?

Welcher Schwingungsfall ist deiner?

Zwei Fragen entscheiden über das Verhalten jeder Masse an einer Feder. Erstens: Wie verhält sich die Dämpfung c zum kritischen Wert 2√(mk)? Darunter schwingt das System nach, genau darauf kehrt es am schnellsten ohne Überschwingen zurück, darüber kriecht es zurück. Zweitens: Treibt etwas an? Ein erzwungen schwingendes System hat seine eigene Antwort, und die hängt daran, wie nah die Erregerfrequenz an ω₀ = √(k/m) liegt.

Keine Dämpfung — es schwingt ewig c = 0, ω₀ = √(k/m)

Kritische Dämpfung — am schnellsten zurück, ohne Überschwingen c = 2√(mk)

Überdämpft — keine Schwingung, aber langsam c > 2√(mk)

Erregung in Resonanz — kleiner Anstoß, große Amplitude ω = ω₀, A = F₀/(cω)

Erregung neben der Resonanz — dieselbe Kraft bewirkt viel weniger ω ≠ ω₀

Keine Dämpfung — es schwingt ewig

Was du weißt: c = 0 und nichts treibt an. Energie pendelt nur zwischen Feder und Masse, die Amplitude ändert sich nie.

Dämpfung: c = 0, ω₀ = √(k/m)

Rechenbeispiel: m = 1 kg, k = 16 N/m → ω₀ = √(k/m) = 4 rad/s, Periode 1,57 s, und bei jedem Durchgang dieselbe Amplitude

Diesen Fall öffnen: Ungedämpft, frei

Keine Dämpfung — es schwingt ewig. Ungedämpft: eine reine Sinuskurve bei ω₀, von Zyklus zu Zyklus unverändert. c = 0 und nichts treibt an. Energie pendelt nur zwischen Feder und Masse, die Amplitude ändert sich nie. — Ungedämpft: eine reine Sinuskurve bei ω₀, von Zyklus zu Zyklus unverändert.

Kritische Dämpfung — am schnellsten zurück, ohne Überschwingen

Was du weißt: c ist exakt 2√(mk). Das System kehrt in kürzestmöglicher Zeit ins Gleichgewicht zurück und überschreitet es nie.

Dämpfung: c = 2√(mk)

Rechenbeispiel: m = 1, k = 16 → kritisches c = 2√16 = 8 N·s/m. Bei c = 8 klingt die Auslenkung ohne eine einzige Schwingung auf null ab

Diesen Fall öffnen: Kritische Dämpfung

Kritische Dämpfung — am schnellsten zurück, ohne Überschwingen. Kritisch gedämpft: die kürzeste Rückkehr, die die Linie nie überschreitet. c ist exakt 2√(mk). Das System kehrt in kürzestmöglicher Zeit ins Gleichgewicht zurück und überschreitet es nie. — Kritisch gedämpft: die kürzeste Rückkehr, die die Linie nie überschreitet.

Überdämpft — keine Schwingung, aber langsam

Was du weißt: c ist größer als 2√(mk). Beide Lösungen klingen exponentiell ab, und die langsamere von beiden bestimmt die Rückkehr.

Dämpfung: c > 2√(mk)

Rechenbeispiel: Erhöhe c bei m = 1 und k = 16 über 8: Bei c = 20 braucht das System ein Vielfaches der Zeit, die es bei c = 8 brauchte

Den kritischen Fall öffnen und c über 8 erhöhen

Überdämpft — keine Schwingung, aber langsam. Überdämpft: kein Überschreiten, aber die Rückkehr zieht sich weit über den kritischen Fall hinaus. c ist größer als 2√(mk). Beide Lösungen klingen exponentiell ab, und die langsamere von beiden bestimmt die Rückkehr. — Überdämpft: kein Überschreiten, aber die Rückkehr zieht sich weit über den kritischen Fall hinaus.

Erregung in Resonanz — kleiner Anstoß, große Amplitude

Was du weißt: Eine periodische Kraft bei ω ≈ ω₀ mit geringer Dämpfung. Die stationäre Amplitude bestimmt allein die Dämpfung, nicht die Steifigkeit.

Dämpfung: ω = ω₀, A = F₀/(cω)

Rechenbeispiel: F₀ = 1,2 N bei ω = 4 rad/s mit c = 0,6 → Amplitude 0,50 m gegenüber einer statischen Auslenkung F₀/k = 0,075 m: Verstärkung 6,7

Diesen Fall öffnen: Nahe Resonanz

Erregung in Resonanz — kleiner Anstoß, große Amplitude. Bei ω = ω₀ überragt die Antwort die statische Auslenkung um ein Vielfaches. Eine periodische Kraft bei ω ≈ ω₀ mit geringer Dämpfung. Die stationäre Amplitude bestimmt allein die Dämpfung, nicht die Steifigkeit. — Bei ω = ω₀ überragt die Antwort die statische Auslenkung um ein Vielfaches.

Erregung neben der Resonanz — dieselbe Kraft bewirkt viel weniger

Was du weißt: Gleiche Kraft, gleiche Dämpfung, aber die Erregerfrequenz liegt abseits von ω₀. Die Antwort fällt beidseitig steil ab.

Dämpfung: ω ≠ ω₀

Rechenbeispiel: Dieselben F₀ = 1,2 N bei ω = 2,2 statt 4 → Amplitude 0,107 m, etwa ein Fünftel der Resonanzantwort

Diesen Fall öffnen: Außerhalb der Resonanz

Erregung neben der Resonanz — dieselbe Kraft bewirkt viel weniger. Weg von ω₀ erzeugt dieselbe Kraft nur einen Bruchteil der Bewegung. Gleiche Kraft, gleiche Dämpfung, aber die Erregerfrequenz liegt abseits von ω₀. Die Antwort fällt beidseitig steil ab. — Weg von ω₀ erzeugt dieselbe Kraft nur einen Bruchteil der Bewegung.

Aufgaben vollständig gelöst

1 kg an einer 16 N/m Feder, angetrieben mit 4 rad/s 5 Schritte
1 kg an einer 16 N/m-Feder mit einem Dämpfer von 0,6 N·s/m, angetrieben durch eine Kraft von 1,2 N bei 4 rad/s. Bestimmen Sie die stationäre Amplitude und die Phasenverschiebung — und geben Sie dann an, welcher der vier Eingabewerte die Antwort tatsächlich bestimmt.
1. Zwei der fünf Eingabewerte legen die Frequenz fest, die dieses System anstrebt. Der Antrieb liegt zufällig genau auf dieser Frequenz, sodass das Verhältnis r exakt 1 beträgt, und genau dieser eine Zufall führt dazu, dass sich im Folgenden alles ungewöhnlich verhält.
  
  $ω_{0} = \frac{k}{m} = \frac{16}{1} = 4 rad/s; r = \frac{ω}{ω _{0}} = \frac{4}{4} = 1$
2. Das Dämpfungsverhältnis vergleicht c mit dem kritischen Wert 2√(km) = 8 N·s/m. Bei 0,6 arbeitet das System bei 7,5 % des kritischen Werts: schwach gedämpft und frei schwingend.
  
  $ζ = \frac{c}{2 k m} = \frac{0.6}{2 16} = \frac{0.6}{8} = 0.075$
3. Die Vergrößerungsfunktion enthält zwei Terme unter der Wurzel — einen Steifigkeitsterm und einen Dämpfungsterm. Bei r = 1 ist der Steifigkeitsterm genau null, da sich Federkraft und Trägheitskraft gegenseitig vollständig aufheben. Dem Antrieb wirkt nur noch der Dämpfer entgegen.
  
  $M = \frac{1}{( 1 - r ^{2} ) ^{2} + ( 2 ζ r ) ^{2}} r = 1 \frac{1}{2 ζ} = \frac{1}{0.15} = 6.667$
4. Skalieren Sie die statische Auslenkung F₀/k = 0,075 m mit diesem Faktor.
  
  $X = \frac{F _{0}}{k} M = \frac{1.2}{16} \times 6.667 = 0.075 \times 6.667 = 0.5 m$
5. Die Phasenverschiebung ergibt sich aus denselben zwei Termen, gelesen als Winkel statt als Länge. Da der Steifigkeitsterm null ist, führt der Arkustangens unabhängig von ζ zu einer Vierteldrehung: Ein stark gedämpftes und ein kaum gedämpftes System weisen hier eine Phasenverzögerung von genau 90° auf.
  
  $ϕ = atan2 (2 ζ r, 1 - r^{2}) = atan2 (0.15, 0) = \frac{π}{2} = 1.5708 rad = 90. 0^{\circ}$
Antwort

X = 0,5 m, eine Viertelperiode hinter der Kraft, und der Eingabewert, der die gesamte Antwort bestimmt, ist c. Formuliert man die Amplitude bei Resonanz um, kürzen sich sowohl k als auch m heraus: X = F₀/(cω₀) = 1,2/(0,6 × 4) = 0,5 m. Feder und Masse tauschen kontinuierlich Energie miteinander aus, und keine von beiden bestimmt, wie weit das System ausschlägt. Die Ursache dafür ist die Phasenverzögerung von 90°. Eine Kraft, die in Phase mit der Geschwindigkeit ist, führt kontinuierlich Leistung zu. Der eingeschwungene Zustand stellt sich daher dort ein, wo der Dämpfer exakt so schnell Energie verbrennt, wie der Antrieb sie zuführt: mittlere Zufuhr F₀ωX/2 = 1,2 W gegenüber mittlerer Dämpfung cω²X²/2 = 1,2 W, und diese beiden sind nur bei X = 0,5 m gleich. Betrachtet man dieselbe Bilanz pro Schwingungsdauer, taucht 6,667 aus einer unabhängigen Definition wieder auf — das System speichert kX²/2 = 2 J und verliert in jeder Periode 1,885 J, und 2π × 2/1,885 = 6,667. Vergrößerungsfaktor und Gütefaktor sind eine Zahl unter zwei Namen.

$X = \frac{F _{0}}{k} \cdot \frac{1}{2 ζ} = \frac{F _{0}}{c ω _{0}} = \frac{1.2}{0.6 \times 4} = 0.5 m$
Gleiche Masse und gleiche Feder, angetrieben mit 2,2 rad/s anstatt 4 5 Schritte
Gleiche Masse, gleiche Feder, gleicher Dämpfer, gleiche Kraft von 1,2 N — angetrieben mit 2,2 rad/s statt 4. Bestimmen Sie die Amplitude und die Phasenverschiebung und entscheiden Sie dann, ob der Dämpfer noch eine Rolle spielt.
1. Nur die Antriebsfrequenz hat sich verändert, somit bleibt ζ unverändert und r fällt auf 0,55.
  
  $r = \frac{ω}{ω _{0}} = \frac{2.2}{4} = 0.55, ζ = \frac{0.6}{8} = 0.075$
2. Schreiben Sie die beiden Terme unter der Wurzel separat auf, da ihre relativen Größen die Antwort auf die Frage liefern. Der Dämpfungsterm trägt 0,00681 gegenüber 0,48651 bei — 1,4 % des Gesamtwerts.
  
  $(1 - r^{2})^{2} = (1 - 0.3025)^{2} = 0.697 5^{2} = 0.48651; (2 ζ r)^{2} = 0.082 5^{2} = 0.00681$
3. Addieren Sie diese und bilden Sie den Kehrwert.
  
  $M = \frac{1}{0.48651 + 0.00681} = \frac{1}{0.49331} = \frac{1}{0.70236} = 1.424$
4. Gleiche statische Auslenkung, weit geringere Vergrößerung.
  
  $X = \frac{F _{0}}{k} M = 0.075 \times 1.424 = 0.1068 m$
5. Die Phasenverzögerung folgt denselben zwei Termen, und da der Steifigkeitsterm wieder dominiert, bricht sie von 90° auf 6,7° ein: Die Masse bewegt sich nun nahezu synchron mit der Kraft statt eine Viertelperiode hinter ihr.
  
  $ϕ = atan2 (0.0825, 0.6975) = 0.1177 rad = 6. 7^{\circ}$
Antwort

0,1068 m, 6,7° hinter der Kraft — und nein, der Dämpfer spielt keine Rolle mehr. Vernachlässigen Sie ihn: Setzt man c = 0, wird M zu 1/(1 - r²) = 1,4337, was 0,1075 m ergibt. Das entspricht einem Fehler von 0,7 mm bei einer Schwingungsweite von 107 mm oder 0,7 %. Die Größe, die bei 4 rad/s die gesamte Antwort bestimmte, ist bei 2,2 nur noch ein Rundungsfehler — und bei r = 1 hätte dieselbe Vernachlässigung die Amplitude gegen unendlich streben lassen. Stattdessen ist nun der Steifigkeitsterm bestimmend, und es lohnt sich genau zu sein, was das bedeutet: Die statische Auslenkung F₀/k = 0,075 m liegt 30 % unter dem tatsächlichen Ausschlag der Masse. Langsames Anregen ist nicht dasselbe wie statisches Anregen. Damit 1/(1 - r²) innerhalb von 5 % von 1 liegt, muss r unter 0,22 liegen, was bei dieser Feder bedeutet, den Antrieb unter 0,873 rad/s zu halten — und nur dort bestimmt die Feder allein die Antwort.

$M (c = 0) = \frac{1}{1 - r ^{2}} = \frac{1}{0.6975} = 1.4337 (+ 0.7%); r = 1 : M (c = 0) \to \infty$

Lernpfad

Von einer Feder zur stehenden Welle

Führt zu Interferenz das Wissen darüber, was diese beiden Größen mit einer Uhr machen.

Quellen (2)

The textbook example of resonance that is not resonance: K. Y. Billah and R. H. Scanlan, "Resonance, Tacoma Narrows bridge failure, and undergraduate physics textbooks." American Journal of Physics 59(2), 118–124, 1991 — the bridge failed by aeroelastic flutter, a self-excited instability, not by a periodic gust matching a natural frequency.
The driven oscillator, its phase lag and its Q, worked through: A. P. French, Vibrations and Waves, Chapter 4: Forced vibrations and resonance. W. W. Norton, 1971.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-29

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

Ungedämpft, frei - Ganz ohne Dämpfung gilt ζ = 0, und die Schwingung mit ω₀ = 4 rad/s klingt niemals ab. Ihre Periodendauer beträgt 1,571 s; die Energie wechselt fortwährend zwischen Feder und Masse.
Kritische Dämpfung - c = 8 ist genau 2√(km), also gilt ζ = 1: Der Fall ist kritisch gedämpft. Das System kehrt ohne Überschwingen in der kürzestmöglichen Zeit zur Ruhelage zurück; die Zeitkonstante beträgt 0,250 s.
Nahe Resonanz - Die Erregung erfolgt genau mit ω₀ = 4 rad/s bei ζ = 0,075. Damit ist M = 6,667, also 1/(2ζ). Aus einer statischen Auslenkung von 0,0750 m wird eine Schwingungsamplitude von 0,5000 m, die der Kraft um 90° nacheilt.
Außerhalb der Resonanz - Dasselbe System wird mit 2,2 rad/s statt mit 4 angeregt: M sinkt von 6,667 auf 1,424, die Phasenverschiebung von 90° auf 6,7°. Geändert hat sich nur der Takt.