De-Broglie-Wellenlänge und Materiewellen

Wähle ein Teilchen und seine kinetische Energie – bei einem Elektron oder Proton kannst du auch die Beschleunigungsspannung angeben – oder gib dem Ball eine Geschwindigkeit. Die Seite berechnet die Wellenlänge aus dem Impuls: einmal exakt, einmal mit der Lehrbuchformel. Außerdem erhältst du den Winkel, unter dem die Oberfläche eines Nickelkristalls den Strahl beugen würde.

Rechenbeispiel — De-Broglie-Wellenlänge und Materiewellen

Ruheenergie	511,0 keV
Impuls, als pc	7,429 keV
Wellenlänge	0,1669 nm
Wellenlänge nach nichtrelativistischer Formel	0,1669 nm
Überschätzung durch diese Formel	0,00264%
Geschwindigkeit als Anteil von c	0,01454
Erster Strahl an Nickelreihen	50,66°

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Lektion

Die Theorie — De-Broglie-Wellenlänge und Materiewellen

Ein bewegtes Teilchen besitzt eine Wellenlänge, die de-Broglie-Wellenlänge λ = h/p. Dabei bezeichnet p seinen Impuls und h die Planck-Konstante. Ein Teilchenstrahl wird deshalb wie Licht an einem Gitter gebeugt, dessen Gitterabstand mit λ vergleichbar ist. Für ein Teilchen der Masse m und der kinetischen Energie K gilt für den Impuls pc = √(K² + 2K·mc²). Ist K viel kleiner als die Ruheenergie mc², geht dies in die vertraute Beziehung p = √(2mK) über. Ein Elektron oder Proton, das aus der Ruhe durch eine Spannung von V Volt beschleunigt wird, hat die kinetische Energie K = eV.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

λ: die de-Broglie-Wellenlänge des Teilchens
h: die Planck-Konstante, exakt 6,62607015×10⁻³⁴ J·s
p: der Impuls des Teilchens; pc ist dieselbe Größe, ausgedrückt als Energie
K: die kinetische Energie; für eine Elementarladung, die durch eine Spannung von V Volt beschleunigt wird, gilt K = eV
mc²: die Ruheenergie, 511,0 keV für ein Elektron und 938,3 MeV für ein Proton
d: der Abstand der Atomreihen auf der (111)-Fläche des Nickels, 0,2158 nm
φ: der Winkel zwischen dem einfallenden und dem ersten gebeugten Strahl, bestimmt durch sin φ = λ/d

Setzt voraus: Alle Teilchen im Strahl haben dieselbe Energie. Für eine Ladung, die aus der Ruhe beschleunigt wird, gilt außerhalb des Kristalls K = eV. Der Strahl trifft senkrecht auf die Nickeloberfläche. Diese wird als Reflexionsgitter aus Atomreihen mit einem Abstand von 0,2158 nm behandelt, sodass nur die oberste Schicht berücksichtigt wird. Der Abstand im Nickel wird aus seiner Gitterkonstante von 0,352387 nm berechnet. Für den Ball wird eine Masse von 145 g angenommen, ungefähr die Masse eines Baseballs.
Versagt, wenn: Im Metall wird ein Elektron vom Kristall angezogen und bewegt sich daher schneller als außerhalb; seine Wellenlänge ist dort kürzer. Davisson und Germer berichteten 1928, dass ihre Strahlen an den Schichten unterhalb der Oberfläche nicht dem Braggschen Gesetz folgten. Einer Anregung von Carl Eckart folgend führten sie dies auf Brechung zurück. Die hier verwendete Formel für die Oberflächenreihen bleibt davon unberührt, weil die Kraft senkrecht zur Oberfläche wirkt und die zu ihr parallele Impulskomponente nicht verändert. Die Formel selbst gilt für jedes Teilchen, unabhängig von seiner Ladung. Immanuel Estermann und Otto Stern richteten 1930 Strahlen aus Heliumatomen und Wasserstoffmolekülen auf einen Lithiumfluoridkristall und beobachteten ihre Beugung.

Ein 54-Volt-Elektron passt in den Abstand zwischen zwei Atomen 🖖

Wähle Davisson und Germers 54 V. Das Elektron hat eine Wellenlänge von 0,1669 nm. Auf der (111)-Fläche eines Nickelkristalls liegen die Atomreihen im Abstand von 0,2158 nm. Die Oberfläche bildet somit ein Reflexionsgitter, dessen Gitterabstand nur wenig größer als die Wellenlänge ist. Der erste gebeugte Strahl tritt dort aus, wo sin φ = λ/d gilt: unter einem Winkel von 50,66° zum einfallenden Strahl. Clinton Davisson und Lester Germer richteten 1927 in den Bell Telephone Laboratories in New York Elektronen mit 54 V senkrecht auf eine solche Fläche und beobachteten bei 50° einen scharf gebündelten Strahl. Ursprünglich wollten sie untersuchen, wie Metalle Elektronen streuen. Erst im Sommer 1926 wurde daraus eine Prüfung von de Broglies Idee. Wähle Vierfache Spannung: λ halbiert sich nahezu auf 0,08344 nm, und der Strahl rückt auf 22,75° nach innen. Unterhalb von 32,30 V ist die Welle länger als der Abstand der Atomreihen; dann entsteht überhaupt kein gebeugter Strahl. Eine entsprechende Grenze setzt das <a href="/phy/braggs-law">Braggsche Gesetz</a> für Röntgenstrahlen.

Schon bei Raumtemperatur hat ein Neutron eine kristalltypische Wellenlänge 🖖

Klick auf Neutron bei Raumtemperatur. Seine Energie beträgt 0,0253 eV, also kT bei 20 °C. Das ist die typische Energie eines Neutrons, das oft genug mit den Atomen eines Reaktormoderators zusammengestoßen ist, um deren Temperatur anzunehmen. Mehr braucht es nicht: Seine Wellenlänge beträgt 0,1798 nm und ist damit größer als die des 54-V-Elektrons. Ein Elektron benötigt 46,52 eV, um dieselbe Wellenlänge zu erreichen – das 1.839-Fache, entsprechend dem Verhältnis der beiden Massen. Maßgeblich für die Wellenlänge ist der Impuls, nicht die Energie. Bei gleicher Energie wächst der Impuls mit √m, sodass das schwerere Teilchen die kürzere Welle besitzt. In der zweiten Tabelle hat ein Elektron mit derselben Energie von 0,0253 eV eine Wellenlänge von 7,710 nm, also eine 42,9-mal größere. Genau deshalb leitete man langsame Neutronen aus den ersten Forschungsreaktoren durch Kristalle. Clifford Shull erhielt für die Entwicklung der Neutronenbeugung 1994 einen Anteil am Nobelpreis für Physik.

Bei 100 kV im Mikroskop liegt die Lehrbuchformel um 4,78 % zu hoch 🖖

Klick auf Mikroskop, 100 kV. Die häufig gelehrte Formel λ = h/√(2meV) ergibt 3,878 pm. Das Elektron bewegt sich jedoch bereits mit 0,548c, und sein Impuls ist nicht mehr √(2mK). Die exakte Beziehung (pc)² = K² + 2K·mc² liefert eine Wellenlänge von 3,701 pm; der Lehrbuchwert ist damit um 4,78 % zu groß. In der Spannungsreihe wächst der Fehler deutlich: 0,00264 % bei 54 V, 0,488 % bei 10 kV und 18,0 % bei 400 kV. Auch die 1/√V-Regel, der die ersten beiden Voreinstellungen folgen, gilt relativistisch nicht mehr. Von 100 kV auf 400 kV vervierfacht sich die Spannung, doch λ fällt nur von 3,701 auf 1,644 pm: um den Faktor 2,25 statt 2. Sobald K einen merklichen Anteil der Ruheenergie von 511 keV erreicht, wächst der Impuls schneller als √K. Im Diagramm löst sich die exakte Kurve in der Nähe von mₑc² von der gestrichelten und wird steiler; schließlich nähert sie sich λ ∝ 1/K.

Aufgabe vollständig gelöst

Ein Elektron und ein Röntgenquant mit derselben Wellenlänge 5 Schritte
Die Kα-Röntgenstrahlung von Kupfer mit 0,154184 nm wird im Bragg-Gesetz zur Vermessung von Kristallen verwendet. Bei welcher Spannung hat ein Elektron dieselbe Wellenlänge? Wie viel Energie trägt ein einzelnes Röntgenquant, und wie verändert sich der Vergleich bei längeren Wellen? Wähle zunächst Davisson/Germer: 54 V.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Bei 54 V zeigt die Seite für die Wellenlänge des Elektrons:
  
  $λ_{54 V} = 0.1669 nm$
2. Weit unterhalb von mc² gilt λ ∝ 1/√V. Für die kürzere Welle skaliert die Spannung daher mit dem Quadrat des Wellenlängenverhältnisses:
  
  $V = 54 V \times (\frac{0 . 16689 nm}{0 . 154184 nm})^{2} = 63.27 V$
3. Für die Energie eines Photons gilt hc/λ mit hc = 1239,84 eV·nm:
  
  $E_{γ} = \frac{h c}{λ} = \frac{1239 . 84 eV nm}{0 . 154184 nm} = 8, 041 eV$
4. Das Photon trägt das 127-Fache der Elektronenenergie:
  
  $\frac{E _{γ}}{K} = \frac{8 , 041 eV}{63 . 27 eV} = 127.1$
5. Für ein langsames Elektron gilt K = h²/(2mλ²), für die Photonenenergie hc/λ. Ihr Verhältnis beträgt daher 2mcλ/h: das Doppelte des Verhältnisses zwischen der Wellenlänge und der Compton-Wellenlänge des Elektrons, h/mₑc = 2,4263 pm.
  
  $\frac{E _{γ}}{K} = \frac{h c / λ}{h ^{2} / ( 2 m _{e} λ ^{2} )} = \frac{2 λ}{h / ( m _{e} c )} = \frac{2 \times 154 . 184 pm}{2 . 4263 pm} = 127.1$
Antwort

Bei 63,27 V besitzt ein Elektron die Wellenlänge 0,154184 nm der Kupfer-Kα-Strahlung. Ein Photon derselben Wellenlänge trägt 8.041 eV, also das 127,1-Fache. Da das Verhältnis 2λ/λ_C beträgt, wächst es proportional zur Wellenlänge. Im für Kristalle maßgeblichen Größenbereich erreicht ein massives Teilchen diese Wellenlängen mit einem kleinen Bruchteil der Energie, die Licht dafür benötigt; mit zunehmender Teilchenmasse wird dieser Anteil noch kleiner. Das zeigt die dritte Voreinstellung mit dem Neutron. Erst bei Wellenlängen weit unterhalb von λ_C nähert sich das Verhältnis dem Wert 1. Dann ist das Elektron so schnell, dass seine Energie wie die des Photons näherungsweise pc beträgt.

$K = 63.27 eV, E_{γ} = 8, 041 eV, \frac{E _{γ}}{K} \approx \frac{2 λ}{λ _{C}}$

Lernpfad

Quantenmechanik: Materie als Wellen

Quellen (4)

Davisson's own account of the experiment: a 54-volt beam aimed at the (111) face of a nickel crystal, how the work began as a study of electron scattering and became a test of de Broglie only in 1926, and the check of λ = h/p against λ = 12.25/√V Å for nineteen beams: C. J. Davisson, "The discovery of electron waves." Nobel Lecture, 13 December 1937.
Diffraction is not special to electrons: Stern's account of sending helium atoms and hydrogen molecules at a lithium fluoride crystal, and checking de Broglie's formula to about 2%: O. Stern, "The method of molecular rays." Nobel Lecture, 12 December 1946.
The 54 V, 50° peak itself, and its reading as Bragg reflection from planes inside the crystal: R. Nave, "Davisson-Germer Experiment." HyperPhysics, Department of Physics and Astronomy, Georgia State University.
Neutrons from a reactor, slowed to thermal speeds and reflected by a crystal because of their wave nature, as the basis of neutron diffraction: The Royal Swedish Academy of Sciences, "The Nobel Prize in Physics 1994." Press release, 12 October 1994.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.