Der Arago-Fleck

Wähle eine undurchlässige Scheibe, ein rundes Loch oder eine Zonenplatte, die Wellenlänge und den Abstand zum Schirm. Die Seite berechnet das Licht auf dem Schirm durch Fresnel-Beugung, Ring für Ring, zeichnet die Fresnel-Zonen auf das Hindernis und hinterlässt das Ergebnis der Strahlenoptik als gestrichelten Umriss.

Rechenbeispiel — Der Arago-Fleck

Fresnel-Zonen, die das Hindernis verdeckt, N	3,160

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Lektion

Die Theorie — Der Arago-Fleck

Betrachtet man eine Ebene von einem Punkt im Abstand z dahinter, unterteilt sie sich in Fresnel-Zonen. Das sind Ringe mit Rändern bei r_n = √(nλz), wobei das Licht jedes Rings eine halbe Wellenlänge nach dem vorherigen eintrifft. Eine Scheibe oder ein Loch mit Radius a verdeckt N = a²/λz von ihnen. In Fresnels Theorie ist das Zentrum des Schattens einer undurchlässigen Scheibe für jedes N exakt so hell wie der ungestörte Strahl. Dies ist der Arago-Fleck, auch Poisson-Fleck genannt. Das Zentrum des Lichts eines Lochs ist das 4 sin²(πN/2)-Fache des ungestörten Strahls und ist immer schwarz, wenn N gerade ist. Eine Zonenplatte blockiert jede zweite Zone und fokussiert das Licht bei f = r₁²/λ.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

a: der Radius der Scheibe oder des Lochs
z: der Abstand davon zum Schirm
λ: die Wellenlänge
N: a²/λz, die Anzahl der Fresnel-Zonen, die von der Scheibe oder dem Loch verdeckt werden
r_n: der äußere Rand der n-ten Zone, √(nλz); auf einer Zonenplatte, r₁√n

Versagt, wenn: Fresnels Theorie geht davon aus, dass das Licht den Schirm in kleinen Winkeln erreicht. Die exakte skalare Theorie setzt das Zentrum des Schattens auf z²/(z² + a²) des ungestörten Strahls: 0,999996 für Aragos Schirm in einem halben Meter Entfernung, aber 0,8 bei z = 2a und auf die Hälfte bei z = a. Fresnel formulierte denselben Vorbehalt. Das Theorem gilt, „tant qu'il n'en résulte pas une trop grande obliquité“.

Das Zentrum eines Schattens ist hell 🖖

Klick auf Aragos 2 mm Scheibe. Die Strahlenoptik zeichnet einen schwarzen Kreis, den gestrichelten Umriss. Der berechnete Schatten ist dunkel und liegt vom Fleck aus bis zu neun Zehnteln des Weges zum Rand überall unter einem Fünftel des ungestörten Strahls, doch genau im Zentrum misst er 1,000: Er ist so hell, als wäre die Scheibe überhaupt nicht da. Poisson fand dies in den Integralen von Fresnels Abhandlung für den Preis der Académie im Jahr 1818 und führte es als Einwand an. Aragos Bericht, verlesen am 15. März 1819, besagt „l'observation a parfaitement confirmé le calcul“, und Fresnel schreibt Arago zu, den Fleck hinter einem 2 Millimeter großen Schirm gesehen zu haben. Die Einschubgrafik zeigt, warum das passiert. Vom Zentrum des Schirms aus betrachtet, teilt sich die Ebene der Scheibe in Fresnel-Zonen auf. Dies sind Ringe, deren Ränder √(nλz) entfernt liegen, wobei das Licht jedes Rings eine halbe Welle nach dem vorherigen eintrifft. Die Scheibe blockiert die ersten 3,160 von ihnen. Alles außerhalb summiert sich zu einem Licht, das exakt so hell ist wie der ungestörte Strahl, unabhängig von der Größe oder Entfernung der Scheibe, solange das Licht nur kleine Winkel durchläuft: Die Tabelle unten durchläuft Radien von 0,5 bis 5 mm bei 5 cm und bei 1 m, und das numerische Integral liefert jedes Mal 1,0000. Fresnel fügte hinzu, dass das Ergebnis nicht von der Wellenlänge abhängt, sodass der Fleck in weißem Licht weiß sein muss. Klick auf Dasselbe in weißem Licht: Seine Farbe weicht um Δu′v′ = 0,0000 von der des ungestörten Strahls ab. Ein Loch verhält sich anders, wie Poisson ebenfalls feststellte. Klick auf Poissons 2. Fall: Loch; dieses ist in rotem Licht in seinem Zentrum schwarz und in weißem Licht blau.

Der Fleck erfordert eine punktförmige Lichtquelle und einen makellosen Kreis 🖖

Klick auf Von der Sonne beleuchtet. Jeder Punkt einer Quelle wirft sein eigenes Muster, seitlich verschoben um z mal seinen Winkel, und die Seite summiert sie alle auf. Mit einer Quelle in der Größe der Sonne, 4,65 mrad im Radius, fällt die Helligkeit im Zentrum von 1,000 auf 0,018. Der Fleck ist ein kleines Abbild der Quelle, von einem einzelnen Punkt aus betrachtet mit einem Radius von etwa 0,383 λz/a. Eine Quelle, deren Winkelradius sich 0,383 λ/a nähert, verschmiert ihn völlig. Hinter der 2 mm Scheibe behält der Fleck nur dann seine halbe Höhe, wenn die Quelle unter 0,169 mrad im Radius bleibt. Das entspricht einer 0,34 mm großen Lochblende in einem Meter Entfernung, 27 mal kleiner als die Sonne. Maraldi ließ 1723 Sonnenlicht durch ein kleines Loch in einen dunklen Raum fallen und hängte eine Kugel von einer ligne Durchmesser, etwa 2,3 mm, in 25 pieds Entfernung auf, etwa 8 m. Er sah in ihrem Schatten „au milieu une aire circulaire fort claire“, die hinter kleineren Kugeln größer wurde, genau wie es 0,383 λz/a vorhersagt. Er erklärte dies damit, dass das Licht um die Kugel herumfließe. Der Rand ist genauso wichtig wie die Quelle. Das Licht vom Rand erreicht das Zentrum mit einer Phase von πr²/λz, sodass ein unregelmäßiger Rand es durcheinanderbringt. Wie stark dies geschieht, hängt von der Verteilung der Fehler ab. Bei Fehlern, die wie eine Glockenkurve mit dem quadratischen Mittelwert σ gestreut sind, fällt die Helligkeit des Flecks gemäß exp(−(2πaσ/λz)²). Für Aragos Schirm in einem halben Meter Entfernung halbiert sie sich bei σ = 42 µm. Hinter einer 60 µm großen Scheibe mit einer Rauigkeit von etwa 300 nm erzeugte ein Strahl aus Deuteriummolekülen einen Fleck, der etwa ein Hundertstel des ungestörten Strahls ausmachte.

Blockiere jede zweite Zone und der Schatten wird zur Linse 🖖

Klick auf Zonenplatte, roter Fokus. Für sich allein sendet eine Fresnel-Zone die doppelte Amplitude des ungestörten Strahls ins Zentrum, während benachbarte Zonen in entgegengesetzter Phase eintreffen. Aus diesem Grund liefert die gesamte offene Ebene nur die halbe Amplitude der ersten Zone allein. Blockiere die geraden Zonen, und die ungeraden treffen alle im gleichen Takt ein: Zehn offene Zonen ergeben das (2 × 10)² = 400-Fache des ungestörten Strahls, und das Integral liefert 399,999 bei 0,3949 m. Die Ränder r_n = r₁√n sind in die Platte geschnitten, sodass sie nur im Abstand f = r₁²/λ exakt mit den Fresnel-Zonen übereinstimmen. Dieser Abstand verhält sich umgekehrt proportional zur Wellenlänge: Er beträgt 0,3846 m für rotes 650 nm Licht und 0,5556 m für blaues 450 nm Licht, also 1,44 mal weiter. Eine Glaslinse bewirkt das Gegenteil und fokussiert Blau näher als Rot. Das untere Diagramm zeigt ebenso hohe Spitzen bei f/3, f/5 und f/7. Dort fasst jeder offene Ring drei, fünf oder sieben Fresnel-Zonen, und die ungeraden sind immer noch in der Überzahl. Stellst du λ auf 450, ohne den Schirm zu bewegen, fällt das Zentrum auf 0,127. Die Zonenplatte wird gewöhnlich J. L. Soret (1875) zugeschrieben. R. W. Woods Physical Optics druckt jedoch Rayleighs Notizbucheintrag vom 11. April 1871 ab, der eine solche Platte beschreibt.

Aufgabe vollständig gelöst

Eine 2 cm Scheibe, fünf Meter von der Wand entfernt 3 Schritte
Eine Scheibe von 2 cm Durchmesser steht 5 m von einer Wand entfernt und wird von einem 633 nm Laser beleuchtet. Wie viele Zonen verdeckt sie, wie breit ist der Fleck und wie glatt muss ihr Rand sein, wenn Fehler wie eine Glockenkurve gestreut sind, bevor der Fleck die Hälfte seiner Helligkeit einbüßt? Das Radius-Feld endet bei 5 mm, was für diese Scheibe nicht ausreicht. Klick zuerst auf Aragos 2 mm Scheibe: Dort wird das erste Minimum des Flecks, 0,1205 mm, für eine zehnmal kleinere Scheibe in einem Zehntel der Entfernung ausgegeben.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Die abgedeckten Zonen, N = a²/λz:
  
  $N = \frac{a ^{2}}{λ z} = \frac{( 0 . 01 m ) ^{2}}{633 \times 1 0 ^{- 9} m \times 5 m} = 31.6$
2. Tief im Schatten beträgt der Radius des Flecks bis zu seinem ersten Minimum 0,38274 λz/a, und λz/a ist derselbe Wert wie für die 2 mm Scheibe bei einem halben Meter:
  
  $ρ_{0} = 0.38274 \frac{λ z}{a} = 0.38274 \times \frac{633 \times 1 0 ^{- 9} \times 5}{0 . 01} m = 0.38274 \times 316.5 μ m = 0.1211 mm$
3. Der Randfehler, der den Fleck halbiert, löst die Gleichung exp(−(2πaσ/λz)²) = ½:
  
  $⟨ e^{i (2 π a / λ z) δ} ⟩^{2} = δ \sim N (0, σ^{2}) e^{- (2 π aσ / λ z)^{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow σ = \frac{ln 2}{2 π} \frac{λ z}{a} = 0.1325 \times 316.5 μ m = 41.9 μ m$
Antwort

31,6 Zonen, ein Fleck von 0,1211 mm Radius und ein auf 42 µm r.m.s. genauer Rand. Die Kernschatten-Formel liefert für die 2 mm Scheibe dieselben 0,1211 mm, weil sie von a und z nur über λz/a abhängt. Das vollständige Integral der Seite setzt das erste Minimum dieses Schirms auf 0,1205 mm, da 3,16 Zonen noch kein tiefer Schatten sind. Hinter der 2 cm Scheibe, mit zehnmal so vielen Zonen, stimmen das vollständige Integral und die Formel auf vier Stellen überein. Die Toleranz am Rand wird ebenfalls durch λz/a bestimmt. Sie ist also nicht strenger, obwohl der Schatten um den Fleck herum nun weitaus dunkler ist.

$N = 31.6, ρ_{0} = 0.1211 mm, σ_{1/2} = 41.9 μ m$

Lernpfad

Wellenoptik

Quellen (3)

Arago's report on the 1818 diffraction prize, read on 15 March 1819: “M. Poisson, avait déduit des intégrales rapportées par l'auteur le résultat singulier que le centre de l'ombre d'un écran circulaire opaque devait … être aussi éclairé que si l'écran n'existait pas … l'observation a parfaitement confirmé le calcul” (No. XIII, p. 236); and Fresnel's own note: the theorem holds whatever the screen's diameter and distance “tant qu'il n'en résulte pas une trop grande obliquité”, for every colour, so the point must be white in white light, and “M. Arago a vérifié [ce résultat] sur l'ombre d'un écran de 2 millimètres de diamètre” (No. XIV, Note I, p. 369): A. Fresnel, Œuvres complètes, tome I, ed. H. de Senarmont, É. Verdet and L. Fresnel. Imprimerie impériale, Paris, 1866. No. XIII (Arago's report, pp. 229–246) and No. XIV, Note I (pp. 365–369).
Why a real spot falls short: in the wave picture the spot “has intensity equal to the undisturbed wave front”, but “it is necessary to include disc-edge roughness to account for the intensity variation in experimental Poisson spot measurements”; their 2009 deuterium experiment used a disc of radius 30 µm with an edge roughness of about 300 nm and gave a spot “about a factor of 100 less than the undisturbed wave front”: T. Reisinger, G. Bracco and B. Holst, “Particle–wave discrimination in Poisson spot experiments”, New Journal of Physics 13, 065016 (2011).
The zone plate's history: “usually attributed to Soret, though Lord Rayleigh constructed one four years previously, as shown by an entry in his notebook”, with the entry of 11 April 1871 quoted (“The experiment of blocking out the odd Huygens zones so as to increase the light at centre succeeded very well”): R. W. Wood, Physical Optics, 3rd edition. Macmillan, New York, 1934. pp. 37–38.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.