Linsen- und Abbildungsstudio

Erkunde Vorzeichenkonventionen, Abbildungsmaßstab und Bildorientierung, indem du Entfernung und Brennweite änderst.

Rechenbeispiel — Linsen- und Abbildungsstudio

Gegebene Objektentfernung do	30
Gegebene Objekthöhe ho	4
Berechnete Bildentfernung di	15
Berechneter Abbildungsmaßstab m	-0.5
Berechnete Bildhöhe hi	-2
Berechnete Bildart	Reell
Berechnete Ausrichtung	Umgekehrt

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

Interaktive Simulation wird geladen...

Diese Linse ist besser als jedes echte Stück Glas 🖖

Jeder Strahl in diesem Werkzeug gehorcht genau 1/f = 1/d_o + 1/d_i, also landet das Bild als sauberer Punkt und die Brennweite ist eine einzige Zahl. Echtes sphärisches Glas spielt nicht mit. Strahlen nahe dem Rand einer Kugelfläche werden näher gebündelt als Strahlen nahe der Achse, eine echte Einzellinse hat also überhaupt keinen einen Brennpunkt — sie hat einen verschmierten Bereich davon, die sphärische Aberration, und sie wird schlimmer, je weiter die Linse geöffnet ist. Deshalb ist ein Kameraobjektiv ein Stapel aus sechs bis zwölf Elementen statt eines Glasstücks: die zusätzlichen Flächen sind da, um die Fehler der anderen aufzuheben. Die Linsengleichung beschreibt, was Linsen täten, wenn sie perfekt wären, und sie ist achsennah nah genug dran, um sie zuerst zu lernen.

Ein Brennpunkt entscheidet über alles 🖖

Dieses Tool beruht auf einer einzigen Beziehung — der Linsengleichung 1/f = 1/d_o + 1/d_i —, doch das gesamte Verhalten hängt von einer Sache ab: davon, wo das Objekt relativ zum Brennpunkt F liegt. Steht es jenseits von F, wirft eine Sammellinse ein reelles, umgekehrtes Bild, das man wie bei Kamera oder Projektor auf einem Schirm auffangen kann. Rückt es innerhalb von F, liefert dieselbe Linse ein virtuelles, aufrechtes, vergrößertes Bild — genau wie eine Lupe.

Im Wasser versagt eine Glaslinse fast 🖖

Eine Linse bricht Licht nur wegen des Brechungsindexunterschieds an ihren Flächen, ihre Brechkraft hängt also vom umgebenden Medium ab, nicht vom Glas allein. Bringt man eine typische Linse mit n = 1.5 aus Luft in Wasser (n = 1.33), zeigt die Linsenmachergleichung, dass ihre Brechkraft auf etwa ein Viertel sinkt — die hier eingestellte Brennweite würde sich fast vervierfachen. Derselbe Effekt lähmt unter Wasser die Hornhaut des Auges, weshalb eine Taucherbrille (die einen Luftspalt wiederherstellt) die Welt wieder scharf macht.

DÜNNE LINSEN — WO DAS BILD LANDET UND OB EIN SCHIRM ES AUFFÄNGT

In welchem Abbildungsfall liegt dein Gegenstand?

Eine Gleichung deckt jede dünne Linse ab, 1/f = 1/dₒ + 1/dᵢ, aber der Charakter der Antwort ändert sich, während du den Gegenstand heranschiebst. Der Brennpunkt ist der Schalter: außerhalb wirft eine Sammellinse ein reelles, umgekehrtes Bild, das ein Schirm auffangen kann; innerhalb wird dieselbe Linse zur Lupe und das Bild virtuell. Eine Zerstreuungslinse hat diese Wahl nie.

Gegenstand jenseits von 2f — reell, umgekehrt, kleiner dₒ > 2f ⇒ f < dᵢ < 2f

Gegenstand bei 2f — reell, umgekehrt, gleich groß dₒ = 2f ⇒ m = −1

Gegenstand zwischen f und 2f — reell, umgekehrt, vergrößert f < dₒ < 2f ⇒ dᵢ > 2f

Gegenstand innerhalb von f — virtuell, aufrecht, vergrößert dₒ < f ⇒ dᵢ < 0

Zerstreuungslinse — immer virtuell, aufrecht, kleiner f < 0 ⇒ dᵢ < 0

Gegenstand jenseits von 2f — reell, umgekehrt, kleiner

Was du weißt: Eine Sammellinse, der Gegenstand weiter entfernt als die doppelte Brennweite. Das Bild landet auf der anderen Seite zwischen f und 2f.

Linsengleichung: dₒ > 2f ⇒ f < dᵢ < 2f

Rechenbeispiel: f = 10 cm, dₒ = 30 cm → dᵢ = 15 cm und m = −dᵢ/dₒ = −0,5: reell, umgekehrt, halb so groß

Diesen Fall öffnen: Objekt jenseits von 2f

Gegenstand jenseits von 2f — reell, umgekehrt, kleiner. Gegenstand außerhalb von 2f: Das reelle Bild entsteht zwischen f und 2f, umgekehrt und verkleinert. Eine Sammellinse, der Gegenstand weiter entfernt als die doppelte Brennweite. Das Bild landet auf der anderen Seite zwischen f und 2f. — Gegenstand außerhalb von 2f: Das reelle Bild entsteht zwischen f und 2f, umgekehrt und verkleinert.

Gegenstand bei 2f — reell, umgekehrt, gleich groß

Was du weißt: Eine Sammellinse, der Gegenstand genau bei der doppelten Brennweite. Gegenstands- und Bildweite kommen gleich heraus.

Linsengleichung: dₒ = 2f ⇒ m = −1

Rechenbeispiel: f = 10 cm, dₒ = 20 cm → dᵢ = 20 cm und m = −1: reell, umgekehrt, exakt in Originalgröße

Diesen Fall öffnen: Objekt bei 2f

Gegenstand bei 2f — reell, umgekehrt, gleich groß. Gegenstand bei 2f: Das Bild sitzt bei 2f auf der anderen Seite, umgekehrt und gleich groß. Eine Sammellinse, der Gegenstand genau bei der doppelten Brennweite. Gegenstands- und Bildweite kommen gleich heraus. — Gegenstand bei 2f: Das Bild sitzt bei 2f auf der anderen Seite, umgekehrt und gleich groß.

Gegenstand zwischen f und 2f — reell, umgekehrt, vergrößert

Was du weißt: Eine Sammellinse, der Gegenstand näher als 2f, aber noch außerhalb des Brennpunkts. Das Bild landet jenseits von 2f.

Linsengleichung: f < dₒ < 2f ⇒ dᵢ > 2f

Rechenbeispiel: f = 10 cm, dₒ = 15 cm → dᵢ = 30 cm und m = −2: reell, umgekehrt, doppelt so groß

Den 2f-Fall öffnen und den Gegenstand auf 15 cm schieben

Gegenstand zwischen f und 2f — reell, umgekehrt, vergrößert. Gegenstand zwischen f und 2f: Das reelle Bild entsteht jenseits von 2f, umgekehrt und vergrößert. Eine Sammellinse, der Gegenstand näher als 2f, aber noch außerhalb des Brennpunkts. Das Bild landet jenseits von 2f. — Gegenstand zwischen f und 2f: Das reelle Bild entsteht jenseits von 2f, umgekehrt und vergrößert.

Gegenstand innerhalb von f — virtuell, aufrecht, vergrößert

Was du weißt: Eine Sammellinse, der Gegenstand näher als die Brennweite. dᵢ kommt negativ heraus, das Bild liegt also auf derselben Seite wie der Gegenstand.

Linsengleichung: dₒ < f ⇒ dᵢ < 0

Rechenbeispiel: f = 10 cm, dₒ = 6 cm → dᵢ = −15 cm und m = +2,5: virtuell, aufrecht, zweieinhalbmal so groß

Diesen Fall öffnen: Objekt innerhalb f

Gegenstand innerhalb von f — virtuell, aufrecht, vergrößert. Gegenstand innerhalb von f: Die Strahlen divergieren weiter, das Auge liest ein großes aufrechtes Bild. Eine Sammellinse, der Gegenstand näher als die Brennweite. dᵢ kommt negativ heraus, das Bild liegt also auf derselben Seite wie der Gegenstand. — Gegenstand innerhalb von f: Die Strahlen divergieren weiter, das Auge liest ein großes aufrechtes Bild.

Zerstreuungslinse — immer virtuell, aufrecht, kleiner

Was du weißt: Eine Konkavlinse, f ist also selbst negativ. Wohin du den Gegenstand auch stellst, die Antwort behält denselben Charakter.

Linsengleichung: f < 0 ⇒ dᵢ < 0

Rechenbeispiel: f = −10 cm, dₒ = 20 cm → dᵢ = −6,7 cm und m = +0,33: virtuell, aufrecht, ein Drittel so groß

Diesen Fall öffnen: Zerstreuungslinse

Zerstreuungslinse — immer virtuell, aufrecht, kleiner. Zerstreuungslinse: Das Bild ist virtuell, aufrecht und verkleinert, stets innerhalb des Brennpunkts. Eine Konkavlinse, f ist also selbst negativ. Wohin du den Gegenstand auch stellst, die Antwort behält denselben Charakter. — Zerstreuungslinse: Das Bild ist virtuell, aufrecht und verkleinert, stets innerhalb des Brennpunkts.

Quellen (2)

Insight block 1 — why a real lens has a smear of focal points rather than one: M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, 7th (expanded) edition, ch. 5. Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0-521-64222-4 — the aberrations a thin-lens model leaves out.
Insight block 3 — the lensmaker's equation, and why the surrounding medium is in it: E. Hecht, Optics, 5th edition, ch. 5. Pearson, 2017. ISBN 978-0-13-397722-6.

Weiter weg heißt kleineres Bild, nicht größeres

Die Intuition, ein weiter entferntes Objekt gebe ein größeres Bild, ist verkehrt. Bei einer dünnen Linse gilt m = −f/(d_o − f); die Größe bestimmt also der Abstand zwischen Objekt und Brennpunkt, nicht die Objektentfernung selbst. Die Voreinstellungen des Werkzeugs zeigen es: Bei f = 10 cm ergibt das 4 cm große Objekt bei d_o = 20 cm ein 4 cm großes Bild, und bei 30 cm schrumpft es auf 2 cm. Schiebt man von 11 cm auf 110 cm, fällt das Bild von 40 cm auf 0,4 cm – hundertfach, an einer Linse, die sich nie verändert hat.

Aufgabe vollständig gelöst

Bild eines 4 cm Objekts 30 cm vor einer Sammellinse 5 Schritte
Ein 4 cm hohes Objekt steht 30 cm vor einer Sammellinse mit einer Brennweite von 10 cm. Bestimmen Sie die Bildlage — und ermitteln Sie anschließend den minimalen Abstand, den ein Schirm zu diesem Objekt haben kann, um noch ein scharfes Bild aufzufangen.
1. Die Linsengleichung ist bereits die gesamte Physik, die für die erste Hälfte benötigt wird. Löst man sie nach der Bildweite auf, subtrahieren sich die Kehrwerte und es ergeben sich positive 15 cm — womit die Gleichung ausdrückt, dass das Licht dort tatsächlich konvergiert.
  
  $\frac{1}{f} = \frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}} ⟹ \frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} ⟹ d_{i} = 15$
2. Der Abbildungsmaßstab ist das Verhältnis der beiden Abstände, wobei eine Vorzeichenkonvention die Orientierung angibt. Negativ bedeutet umgekehrt und ein Betrag unter 1 bedeutet kleiner, sodass aus dem 4 cm hohen Objekt ein 2 cm hohes Bild auf dem Kopf wird — und da es reell ist, würde ein Schirm bei 15 cm es zeigen.
  
  $m = - \frac{d _{i}}{d _{o}} = - \frac{15}{30} = - 0.5 ⟹ h_{i} = - 0.5 \times 4 = - 2$
3. Nun zu der Frage, die das Werkzeug nicht beantwortet. Drücken Sie den Abstand zwischen Objekt und Bild allein als Funktion der Gegenstandsweite aus, indem Sie die Linsengleichung in dₒ + dᵢ einsetzen.
  
  $s = d_{o} + d_{i} = d_{o} + \frac{f d _{o}}{d _{o} - f}$
4. Differenzieren Sie und setzen Sie den Ausdruck gleich null. Die Bedingung vereinfacht sich zu (dₒ − f)² = f², sodass das Extremum bei dₒ = 2f liegt, wo die Bildweite ebenfalls 2f beträgt.
  
  $\frac{d s}{d d _{o}} = 0 ⟹ (d_{o} - f)^{2} = f^{2} ⟹ d_{o} = 2 f = 20, d_{i} = 20$
5. Der Abstand beträgt dort 4f = 40 cm, und es handelt sich um ein Minimum statt um ein Maximum: Verschiebt man das Objekt in eine der beiden Richtungen, wächst der Gesamtabstand an und strebt in beiden Richtungen gegen Unendlich.
  
  $s_{m i n} = 4 f = 40 cm (here s = 30 + 15 = 45 cm)$
Antwort

Das Werkzeug gibt d_i = 15, m = −0,5 und eine Bildhöhe von −2 aus, reell und umgekehrt. Das Ergebnis, das es nicht ausgibt, ist die 4f-Regel: Kein reelles Bild dieses Objekts kann ihm näher als 40 cm erzeugt werden, was auch immer Sie mit der Linse tun. Die gegenwärtige Anordnung überspannt 45 cm, ist also nicht einmal die engste. Diese Einschränkung bestimmt die Dimensionierung optischer Bänke, Projektionsabstände und Kameragehäuse. Sie können dies mit einem Klick überprüfen: Die Voreinstellung bei dₒ = 20 platziert das Bild ebenfalls bei 20 — im Minimum sind Gegenstands- und Bildweite gleich.

$d_{i} = 15, m = - 0.5, h_{i} = - 2 s_{m i n} = 4 f = 40 cm at d_{o} = d_{i} = 2 f$

Lernpfad

Lichtbrechung

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-29

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

Objekt jenseits von 2f - Ein Objekt jenseits von 2f erzeugt ein reelles, umgekehrtes, verkleinertes Bild zwischen f und 2f.
Objekt bei 2f - Ein Objekt bei 2f erzeugt ein reelles, umgekehrtes, gleich großes Bild bei 2f.
Objekt innerhalb f - Ein Objekt innerhalb der Brennweite erzeugt ein virtuelles, aufrechtes, vergrößertes Bild.
Zerstreuungslinse - Eine Zerstreuungslinse erzeugt immer ein virtuelles, aufrechtes, verkleinertes Bild.