Strahlengang durch dünne Linsen

Passe Brennweite und Gegenstandsweite an, um zu sehen, wie eine dünne Linse reelle oder virtuelle Bilder erzeugt.

Rechenbeispiel — Strahlengang durch dünne Linsen

Bildweite	166.7 mm
Vergrößerung	-0.67×
Bildhöhe	26.7 mm

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

Interaktive Simulation wird geladen...

Gegenstand und Bild können die Plätze tauschen 🖖

Die Linsengleichung 1/v = 1/f − 1/u ist symmetrisch in u und v, und dieses Werkzeug zeigt es. Lade die Voreinstellung „sammelnd“ – f = 100 mm, Gegenstand bei 250 mm – und die Bildweite nennt 166,7 mm bei −0,67×. Tippe nun 166,7 in das Feld für die Gegenstandsweite: Das Bild wandert auf 250 mm bei −1,50×. Die beiden Abbildungsmaßstäbe ergeben multipliziert genau 1. Jede Linse hat daher zwei Gegenstandspositionen, die auf denselben Schirm scharf abbilden – eine vergrößernd, eine verkleinernd – und der Abstand zwischen ihnen liefert f, ohne dass man den Linsenmittelpunkt je bestimmen müsste: das klassische Bessel-Verschiebungsverfahren.

Zwei Strahlen genügen 🖖

Eine dünne Linse lenkt alle Strahlen eines Objektpunkts so ab, dass sie sich wieder in einem einzigen Bildpunkt treffen, deshalb musst du nur zwei einfache verfolgen. Der achsenparallele Strahl verlässt die Spitze waagerecht und geht danach durch den Brennpunkt; der Mittelpunktstrahl läuft ungebrochen durch die Linsenmitte. Wo sich beide schneiden, liegt das Bild. Treffen sie sich erst bei rückwärtiger Verlängerung, ist das Bild virtuell — der Fall der Lupe.

Das Bild, das durchs Unendliche fliegt 🖖

Bewege das Objekt zum Brennpunkt und beobachte, wie die Bildweite v gegen +∞ rast, verschwindet und links als −∞ wieder auftaucht — ein virtuelles Bild. Nichts springt physikalisch; die Linsengleichung 1/v = 1/f − 1/u ist eine Möbiustransformation (gebrochen-lineare Abbildung), und solche Abbildungen behandeln das Unendliche als gewöhnlichen Punkt. Beim Überschreiten von u = f gleitet das Bild einfach durch diesen unendlich fernen Punkt und wechselt von reell zu virtuell.

Aufgaben vollständig gelöst

Ein 40 mm Objekt 250 mm vor einer Sammellinse 5 Schritte
Ein 40 mm großes Objekt steht 250 mm vor einer Sammellinse mit der Brennweite 100 mm. Bestimmen Sie das Bild — wo, wie groß, in welcher Orientierung — und finden Sie dann die eine Sache, die diese Linse nicht kann.
1. Eine einzige Gleichung bestimmt die gesamte Seite. Stellen Sie sie nach der Bildweite um, bevor Sie Zahlen einsetzen, damit die Rechnung nur einmal durchgeführt werden muss.
  
  $\frac{1}{f} = \frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}} ⟹ \frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d _{o}}$
2. Setzen Sie die Werte ein. Beide Kehrwerte teilen sich den Nenner 250, was bereits die gesamte Berechnung darstellt; das Werkzeug gibt diesen Wert aus.
  
  $\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{100} - \frac{1}{250} = \frac{2.5 - 1}{250} = \frac{1.5}{250} ⟹ d_{i} = 166.7 mm$
3. Die Vergrößerung ist das Verhältnis der beiden Abstände, negativ, da ein reelles Bild umgekehrt ist. Der Gegenstand befindet sich jenseits von 2f, daher musste das Bild kleiner ausfallen — das entspricht einem rückwärts betriebenen Projektor.
  
  $m = - \frac{d _{i}}{d _{o}} = - \frac{166.7}{250} = - 0.67, h^{'} = m h = - 0.67 \times 40 = - 26.7 mm$
4. Die newtonsche Form desselben Gesetzes misst beide Abstände von den Brennpunkten statt von der Linse. Ihr Produkt beträgt für jede Gegenstandsposition genau f², was eine stärkere Aussage ist, als die Kehrwertform vermuten lässt.
  
  $x = d_{o} - f = 150, x^{'} = d_{i} - f = 66.7, x x^{'} = 150 \times 66.7 = 10000 = f^{2}$
5. Fragen Sie nun, wie nahe sich Gegenstand und Bild überhaupt kommen können. Die Minimierung ihres Abstands führt zu einer symmetrischen Anordnung, und die Antwort hängt von nichts anderem als der Linse ab.
  
  $D = d_{o} + d_{i}, \frac{d D}{d d _{o}} = 0 \Rightarrow d_{o} = d_{i} = 2 f \Rightarrow D_{m i n} = 4 f = 400 mm (here 416.7)$
Antwort

Das Bild entsteht 166,7 mm hinter der Linse, umgekehrt, 26,7 mm hoch. Die letzte Zeile ist die nützliche. Gegenstand und Bild haben hier einen Abstand von 416,7 mm, und keine Einstellung der Gegenstandsweite bringt sie jemals näher zusammen als 4f = 400 mm: Schiebt man den Gegenstand auf den Brennpunkt zu, entfernt sich das Bild schneller, als der Gegenstand sich nähert. Ein Projektor, der ein reelles Bild auf eine Leinwand projizieren muss, hat daher einen strikten Mindestabstand, der allein durch seine Brennweite bestimmt wird — weshalb ein kurzer Raum eine kurze Linse erfordert und keine klügere.

$d_{i} = 166.7 mm, m = - 0.67, h^{'} = 26.7 mm$
Die Lupe – und warum auf dem Griff 5× steht 7 Schritte
Halte eine 50 mm Linse 30 mm über einen 40 mm großen Käfer. Wo entsteht das Bild, wie herum und wie groß? Erkläre dann, warum das Tool 2,50× für ein Glas ausgibt, auf dessen Griff 5× eingeprägt ist.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. An der Methode ändert sich nichts. Du nutzt dieselbe Gleichung wie in Aufgabe 1, nur für eine Linse mit kürzerer Brennweite. Neu ist, dass der Gegenstand nun innerhalb der Brennweite liegt und nicht mehr weit außerhalb.
  
  $\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d _{o}} = \frac{1}{50} - \frac{1}{30} = \frac{3 - 5}{150} = - \frac{1}{75} ⟹ d_{i} = - 75.0 mm$
2. Die Bildweite wird negativ, und das ist schon die ganze Antwort auf das „Wo“. Negativ bedeutet, dass die Strahlen die Linse weiterhin auseinanderlaufend verlassen; sie treffen sich nie, und kein Schirm kann etwas auffangen. Rückwärts verlängert scheinen sie von einem 75 mm entfernten Punkt auf derselben Seite wie der Käfer auszugehen – genau dort findet dein Auge das Bild.
3. Die Vergrößerung behält das Vorzeichen bei. Ein positives m bedeutet aufrecht; der Käfer steht also mit einer Höhe von 100 mm aufrecht da, und das Tool kennzeichnet das Bild als virtuell und aufrecht.
  
  $m = - \frac{d _{i}}{d _{o}} = - \frac{- 75.0}{30} = + 2.50, h^{'} = m h = 2.50 \times 40 = 100.0 mm$
4. Löst du die Gleichung allgemein statt für eine bestimmte Einstellung, lässt sich das Verhalten jeder Lupe aus einem einzigen Bruch ableiten. Innerhalb der Brennweite einer Sammellinse ist die Vergrößerung stets positiv und größer als eins. Das gilt für jeden Abstand. Es gibt keine Ausnahmen, die du dir merken musst.
  
  $m = \frac{f}{f - d _{o}} ⟹ d_{o} < f \Rightarrow m > 1 and m > 0 always$
5. Die beiden Grenzfälle lohnt es sich, mit den eigenen Händen auszuprobieren. Drücke die Linse auf den Käfer hinunter, und die Vergrößerung geht gegen 1 – was auch eine flach auf einer Seite liegende Linse tut. Hebe sie in Richtung Brennpunkt an, und die Vergrößerung wächst über alle Grenzen, während das Bild zugleich ins Unendliche eilt und dein Auge es verliert. Deshalb gibt die Voreinstellung "Gegenstand im Brennpunkt" ∞ statt einer Zahl aus.
  
  $d_{o} \to f^{-} : m \to + \infty, d_{o} \to 0 : m \to 1$
6. Woher kommt also das 5×? Nicht aus dieser Rechnung. Was eine Lupe liefert, ist Sehwinkel, nicht lineare Größe: wie groß der Käfer im Vergleich dazu erscheint, wenn du ihn im kürzesten Abstand hältst, auf den ein entspanntes Auge scharfstellen kann – nach Konvention 250 mm. Setze den Gegenstand in den Brennpunkt, lass die Strahlen parallel austreten, und der Vergleich ist das Verhältnis zweier Winkel.
  
  $M = \frac{h / f}{h / D} = \frac{D}{f} = \frac{250}{50} = 5 \times (D = 250 mm)$
7. Zieh das Bild stattdessen auf den Nahpunkt von 250 mm heran, und dieselbe Linse liefert 6×. Beide Konventionen sind gebräuchlich. Deshalb können eine 5×-Lupe des einen Herstellers und eine 6×-Lupe eines anderen exakt dasselbe Stück Glas sein. Das Tool gibt die lineare Vergrößerung in dem Abstand an, den du tatsächlich gewählt hast. Das ist die Zahl, die du ablesen würdest, läge ein Lineal über dem Bild. Was dein Auge sieht, hängt davon ab, wo du es hältst: Bring das Bild auf den Nahpunkt, und die beiden stimmen überein.
  
  $M_{d_{i} = - D} = 1 + \frac{D}{f} = 1 + 5 = 6 \times$
Antwort

75 mm von der Linse entfernt, auf derselben Seite wie der Käfer, aufrecht, 100 mm groß und virtuell. Die 2,50×, die die Seite anzeigt, und die 5× auf dem Griff messen unterschiedliche Dinge: Das eine ist das Verhältnis von Bildhöhe zu Gegenstandshöhe bei der Position, an der du die Linse hältst, das andere ein Verhältnis von Sehwinkeln bei einer festen Betrachtungskonvention.

$d_{i} = - 75.0 mm, m = + 2.50, h^{'} = 100.0 mm (virtual, upright)$

Lernpfad

Lichtbrechung

Quellen (2)

The thin-lens conjugate relation and the two-position focal-length method: Eugene Hecht, Optics, 5th edition, ch. 5. Pearson, 2017. ISBN 978-0-13-397722-6.
Gaussian optics and conjugate planes, in full: M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, 7th (expanded) edition, ch. 4. Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0-521-64222-4.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.