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Strahlengang durch dünne Linsen

Passe Brennweite und Gegenstandsweite an, um zu sehen, wie eine dünne Linse reelle oder virtuelle Bilder erzeugt.

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Gegenstand und Bild können die Plätze tauschen 🖖

Die Linsengleichung 1/v = 1/f − 1/u ist symmetrisch in u und v, und dieses Werkzeug zeigt es. Lade die Voreinstellung „sammelnd“ – f = 100 mm, Gegenstand bei 250 mm – und die Bildweite nennt 166,7 mm bei −0,67×. Tippe nun 166,7 in das Feld für die Gegenstandsweite: Das Bild wandert auf 250 mm bei −1,50×. Die beiden Abbildungsmaßstäbe ergeben multipliziert genau 1. Jede Linse hat daher zwei Gegenstandspositionen, die auf denselben Schirm scharf abbilden – eine vergrößernd, eine verkleinernd – und der Abstand zwischen ihnen liefert f, ohne dass man den Linsenmittelpunkt je bestimmen müsste: das klassische Bessel-Verschiebungsverfahren.

Zwei Strahlen genügen 🖖

Eine dünne Linse lenkt alle Strahlen eines Objektpunkts so ab, dass sie sich wieder in einem einzigen Bildpunkt treffen, deshalb musst du nur zwei einfache verfolgen. Der achsenparallele Strahl verlässt die Spitze waagerecht und geht danach durch den Brennpunkt; der Mittelpunktstrahl läuft ungebrochen durch die Linsenmitte. Wo sich beide schneiden, liegt das Bild. Treffen sie sich erst bei rückwärtiger Verlängerung, ist das Bild virtuell — der Fall der Lupe.

Das Bild, das durchs Unendliche fliegt 🖖

Bewege das Objekt zum Brennpunkt und beobachte, wie die Bildweite v gegen +∞ rast, verschwindet und links als −∞ wieder auftaucht — ein virtuelles Bild. Nichts springt physikalisch; die Linsengleichung 1/v = 1/f − 1/u ist eine Möbiustransformation (gebrochen-lineare Abbildung), und solche Abbildungen behandeln das Unendliche als gewöhnlichen Punkt. Beim Überschreiten von u = f gleitet das Bild einfach durch diesen unendlich fernen Punkt und wechselt von reell zu virtuell.

Aufgabe vollständig gelöst

  1. Ein 40 mm Objekt 250 mm vor einer Sammellinse 5 Schritte

    Ein 40 mm großes Objekt steht 250 mm vor einer Sammellinse mit der Brennweite 100 mm. Bestimmen Sie das Bild — wo, wie groß, in welcher Orientierung — und finden Sie dann die eine Sache, die diese Linse nicht kann.

    1. Eine einzige Gleichung bestimmt die gesamte Seite. Stellen Sie sie nach der Bildweite um, bevor Sie Zahlen einsetzen, damit die Rechnung nur einmal durchgeführt werden muss.

    2. Setzen Sie die Werte ein. Beide Kehrwerte teilen sich den Nenner 250, was bereits die gesamte Berechnung darstellt; das Werkzeug gibt diesen Wert aus.

    3. Die Vergrößerung ist das Verhältnis der beiden Abstände, negativ, da ein reelles Bild umgekehrt ist. Der Gegenstand befindet sich jenseits von 2f, daher musste das Bild kleiner ausfallen — das entspricht einem rückwärts betriebenen Projektor.

    4. Die newtonsche Form desselben Gesetzes misst beide Abstände von den Brennpunkten statt von der Linse. Ihr Produkt beträgt für jede Gegenstandsposition genau f², was eine stärkere Aussage ist, als die Kehrwertform vermuten lässt.

    5. Fragen Sie nun, wie nahe sich Gegenstand und Bild überhaupt kommen können. Die Minimierung ihres Abstands führt zu einer symmetrischen Anordnung, und die Antwort hängt von nichts anderem als der Linse ab.

    Antwort

    Das Bild entsteht 166,7 mm hinter der Linse, umgekehrt, 26,7 mm hoch. Die letzte Zeile ist die nützliche. Gegenstand und Bild haben hier einen Abstand von 416,7 mm, und keine Einstellung der Gegenstandsweite bringt sie jemals näher zusammen als 4f = 400 mm: Schiebt man den Gegenstand auf den Brennpunkt zu, entfernt sich das Bild schneller, als der Gegenstand sich nähert. Ein Projektor, der ein reelles Bild auf eine Leinwand projizieren muss, hat daher einen strikten Mindestabstand, der allein durch seine Brennweite bestimmt wird — weshalb ein kurzer Raum eine kurze Linse erfordert und keine klügere.

Lernpfad

Lichtbrechung

Führt zu Echte Linsen die Linsengleichung als Zeichnung statt als Formel.

Quellen (2)
  • The thin-lens conjugate relation and the two-position focal-length method: Eugene Hecht, Optics, 5th edition, ch. 5. Pearson, 2017. ISBN 978-0-13-397722-6.
  • Gaussian optics and conjugate planes, in full: M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, 7th (expanded) edition, ch. 4. Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0-521-64222-4.

· Aktualisiert

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