Die Beugungsgrenze

Stelle den Öffnungsdurchmesser, die Wellenlänge und zwei Lichtpunkte in beliebiger Entfernung ein. Die Seite berechnet das Bild, das eine perfekte runde Öffnung von ihnen erzeugt. Die beiden Punkte, die die Strahlenoptik zeichnen würde, erscheinen als Geisterbild. Du siehst sofort, ob das Bild ein oder zwei Maxima hat.

Rechenbeispiel — Die Beugungsgrenze

Erster dunkler Ring des Bildes eines Punktes, θ1	0,0577″
Dieser Winkel als Strecke bei den Punkten	107,4 m
Winkel zwischen den beiden Punkten, α	0,00504″
Ihr Abstand als Bruchteil von θ1	0,087
Wellenlängen quer über die Öffnung	4.363.636

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Die Beugungsgrenze

Die Beugungsgrenze ist das feinste Winkeldetail, das eine Öffnung mit dem Durchmesser D in Licht der Wellenlänge λ zeigen kann. Eine punktförmige Lichtquelle erzeugt durch eine ungestörte runde Öffnung das Airy-Scheibchen. Das ist I = I₀[2J₁(v)/v]² mit v = πD sin θ/λ. Der erste dunkle Ring liegt bei sin θ₁ = 1,21967 λ/D. Nach dem Rayleigh-Kriterium sind zwei gleich helle Punkte gerade noch aufgelöst, wenn beide auf dem ersten dunklen Ring des jeweils anderen liegen. Die Helligkeit in der Mitte fällt dann auf 73,50 % des Maximums. Das Sparrow-Kriterium (1916) nimmt jenen Abstand, bei dem die Senke zwischen den beiden gerade verschwindet. Für dieses Muster sind das 0,947 λ/D.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

D: der Durchmesser der Öffnung: eine Pupille, eine Linse, ein Spiegel
λ: die Wellenlänge des Lichts
θ_1: der Winkel vom Zentrum des Bildes eines Punktes bis zu seinem ersten dunklen Ring, 1,21967 λ/D
α: der Winkel zwischen den beiden Punkten, von der Öffnung aus gesehen, s/d
d: die Entfernung von der Öffnung zu den beiden Punkten

Versagt, wenn: Der Fangspiegel von Hubble verdeckt die Mitte seiner Öffnung. Der Spiegel des JWST besteht aus achtzehn hexagonalen Segmenten. Deshalb erzeugt keines der beiden ein perfektes Airy-Muster. Ein verdecktes Zentrum verschmälert den Kern leicht und schiebt Licht nach außen in die Ringe. Die Ränder der Segmente erzeugen zusätzliche Spikes. Ein Teleskop auf der Erde blickt durch sich bewegende Luftschichten. Diese verschmieren das Bild normalerweise viel stärker als die Beugungsgrenze des Spiegels, es sei denn, eine adaptive Optik gleicht das aus.

Hubble kann die Mondlandefähren nicht erkennen 🖖

Klick auf Hubble und Landefähre. „Das Bild eines Sterns wird kein Punkt sein, sondern ein heller Kreis, umgeben von einer Reihe heller Ringe“, schrieb George Airy in einer Arbeit, die im November 1834 vor der Cambridge Philosophical Society verlesen wurde. Er fand den ersten schwarzen Ring dort, wo seine Variable den Wert 3,832 erreichte. Nach heutigem Verständnis liegt dieser Ring beim Winkel θ₁ = 1,21967 λ/D. Dabei ist 1,21967 die erste Nullstelle der Besselfunktion J₁, 3,83171, geteilt durch π. Innerhalb dieses Rings befinden sich 83,78 % des Lichts. Betrachtet man Hubbles 2,4-m-Spiegel als ungestörte Öffnung, beträgt θ₁ in grünem Licht von 550 nm genau 0,0577″. Auf dem 384.400 km entfernten Mond entspricht das 107,4 m. Jeder Punkt auf dem Mond wird zu einem Fleck dieser Größe verschmiert. Punkte, die deutlich näher beieinander liegen, verschmelzen miteinander. Die Landebeine einer Mondlandefähre haben von Teller zu Teller eine Spannweite von 9,4 m. Das sind 0,087 dieser Distanz. Beide Seiten des Raumschiffs fallen in denselben Fleck und erzeugen ein einziges Maximum. Ob das zusätzliche Licht der Fähre überhaupt als Helligkeitsunterschied wahrnehmbar wäre, hängt von Kontrast und Bildrauschen ab, was diese Seite nicht modelliert. Die physikalische Beugung schließt jedoch aus, dass du die Form der Landefähre erkennst. Die Bildunterschrift der NASA für Hubbles Aufnahmen der Apollo-17-Landeregion aus dem Jahr 2005 verspricht lediglich Details, die „kleiner als ein Fußballfeld“ sind. Mehr nicht.

Vergrößerst du einen Fleck, erhältst du nur einen größeren Fleck 🖖

Klick auf Hubble und Landefähre, danach auf Dasselbe, 8× vergrößert oder zieh den Schieberegler für Vergrößerung. Alles wächst gleichermaßen: der Fleck, seine Ringe und die Lücke zwischen den gestrichelten Geisterbildern. Die Form des Bildes bleibt identisch. Es zeigt weiterhin nur ein einziges Maximum. Eine runde Öffnung lässt winkelmäßig kein Muster durch, das feiner als λ/D ist. Streifen auf dem Mond mit einer Periode unter λd/D, also 88,09 m für Hubble, erreichen das Bild komplett ohne Kontrast. Sie sind exakt null, nicht bloß schwach. Die beiden Seiten der Landefähre erzeugen keine zwei Maxima. Entlang der Linie durch sie hindurch unterscheidet sich das Bild um höchstens 0,71 % seines Maximums von einem Einzelpunkt mit der doppelten Helligkeit. Sobald dein Auge die Unschärfe erkennen kann, bringt dir noch mehr Vergrößerung keine neuen Details. Optiker sprechen dann von einer leeren Vergrößerung.

Der größere JWST-Spiegel ist im Infraroten unschärfer als Hubble 🖖

Die Auflösungsgrenze hängt von D/λ ab, also von der Öffnung gemessen in Wellenlängen, und nicht von D allein. Die achtzehn Segmente des JWST verhalten sich wie ein einzelner Spiegel von 6,5 m Durchmesser. Das ist 2,71-mal so groß wie bei Hubble. Seine Instrumente arbeiten jedoch von 0,6 µm am roten Ende des sichtbaren Spektrums bis hin zu 28,5 µm im Infraroten. Die Dokumentation des STScI besagt, dass es bei Wellenlängen über 2 µm beugungsbegrenzte Bilder liefert. Bei 2 µm passen in 6,5 m exakt 3.250.000 Wellenlängen. Hubbles 2,4-m-Spiegel fasst 4.363.636 Wellenlängen von grünem Licht. Deshalb liegt der erste dunkle Ring des JWST bei 2 µm mit 0,0774″ genau 1,34-mal weiter außen als die 0,0577″ von Hubble im Grünen. Bei 1.490 nm ziehen beide gleich. Klick auf Zwei Punkte, 110 m. Hubble kann sie trennen. Klick dann auf Gleiche 110 m, JWST 2 µm. Hier verschmelzen sie. Die Tabelle unten führt diesen Vergleich bis hin zu deinem Auge fort. In eine 3-mm-Pupille passen 5.455 Wellenlängen von grünem Licht, und ihre Grenze liegt bei 46,1″.

Aufgabe vollständig gelöst

Wie groß müsste ein Spiegel sein, um die Landefähre aufzulösen? 3 Schritte
Die Landebeine einer Mondlandefähre überspannen 9,4 m. Wie groß müsste ein Spiegel sein, damit die beiden Seiten von der Erde aus in grünem Licht von 550 nm genau einen ersten dunklen Ring voneinander entfernt sind? Das Eingabefeld für den Durchmesser endet bei 10 m, das reicht für die Antwort nicht aus. Klick zuerst auf Hubble und Landefähre: Die Seite liefert dir θ₁ und die 107,4 m.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Die beiden Seiten sind α = s/d voneinander entfernt. Setze das mit θ₁ = 1,21967 λ/D gleich und löse nach D auf:
  
  $α = \frac{s}{d} = 1.21967 \frac{λ}{D} \Rightarrow D = \frac{1 . 21967 λ d}{s} = \frac{1 . 21967 \times 550 \times 1 0 ^{- 9} \times 3 . 844 \times 1 0 ^{8}}{9 . 4} = \frac{257 . 86}{9 . 4} = 27.43 m$
2. Dasselbe mit dem Wert der Seite: Hubbles Grenze auf dem Mond liegt bei 107,4 m. Das ist das 11,4-Fache von 9,4 m. Da sich die Grenze wie 1/D verhält, ergibt sich:
  
  $D = 2.4 m \times \frac{107 . 4 m}{9 . 4 m} = 2.4 m \times 11.4 \approx 27.4 m$
3. Im Infraroten bei 2 µm muss das Verhältnis D/λ gleich bleiben. Der Spiegel wächst also proportional zu λ:
  
  $D_{2 μ m} = 27.43 m \times \frac{2000 nm}{550 nm} = 99.75 m$
Antwort

Etwa 27,4 m. Das ist das 11,4-Fache von Hubbles Spiegel. Bei 2 µm bräuchte man schon 99,8 m. Selbst dann würde die Landefähre nur zwei überlappende Airy-Muster im Rayleigh-Abstand erzeugen und kein klares Bild eines Raumschiffs. Um wirklich ihre Form zu erkennen, braucht man gleich mehrere Auflösungselemente über ihre gesamte Breite hinweg.

$D \approx 27.4 m = 11.4 \times D_{Hubble}; D_{2 μ m} \approx 99.8 m$

Lernpfad

Wellenoptik

Quellen (3)

Airy's own derivation of the pattern a round object-glass makes of a star: “The image of a star will not be a point but a bright circle surrounded by a series of bright rings”, their sizes “inversely as the aperture”; the central spot at half its light at n = 1.616 and “a black ring, when n = 3,832” (p. 287): G. B. Airy, “On the Diffraction of an Object-glass with Circular Aperture”, Transactions of the Cambridge Philosophical Society, vol. 5, pp. 283–291 (1835; read 24 November 1834).
The Apollo 11 lunar module's size: the descent stage “an octagonal prism 4.2 meters across”, and “the distance between the ends of the footpads on opposite landing legs was 9.4 m”: NASA Space Science Data Coordinated Archive, “Apollo 11 Lunar Module / EASEP”, NSSDCA ID 1969-059C.
JWST's mirror and where it becomes diffraction-limited: the primary is “18 hexagonal segments … which, when properly phased together, act as a single mirror ~6.5 m in diameter”, and “At wavelengths λ > 2 μm, JWST obtains diffraction-limited imaging with a Strehl ratio = 0.8”: Space Telescope Science Institute, JWST User Documentation: “JWST Telescope” and “MIRI Point Spread Functions”.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.