Beugung am Einzelspalt

Ein Spalt der Breite a, oder ein ebenso breites Haar, und eine Wand in L Metern Entfernung. Die Seite berechnet das Licht auf der Wand nach der Wellentheorie, ohne Fernfeld-Näherung. Darunter zeichnet sie ein, wo die Strahlenoptik das Licht erwarten würde: Ein Streifen, der genau so breit ist wie der Spalt. Verändere die Spaltbreite und beobachte, wie beide voneinander abweichen.

Rechenbeispiel — Beugung am Einzelspalt

Richtung des ersten dunklen Punktes	0,532°

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Beugung am Einzelspalt

Beugung am Einzelspalt: Licht durch einen Spalt der Breite a breitet sich aus. Im Fernfeld beträgt seine Helligkeit im Winkel θ I(0)(sin β/β)² mit β = πa sin θ/λ. Die ersten dunklen Punkte liegen bei sin θ = ±λ/a. Auf einer Wand im Abstand L ist das Hauptmaximum dazwischen also 2λL/a breit. Ob sich ein Spalt im Fernfeld befindet, entscheidet seine Fresnel-Zahl N = a²/λL: Liegt sie deutlich unter 1, entsteht dieses Muster. Liegt sie deutlich über 1, landet das Licht ungefähr dort, wo die Strahlenoptik es vorhersagt.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

a: die Breite des Spalts oder die Dicke des Haars
λ: die Wellenlänge des Lichts
L: der Abstand vom Spalt zur Wand
N: die Fresnel-Zahl a²/λL, die angibt, welche Art von Muster sich auf der Wand zeigt

Setzt voraus: Ein langer, gerader Spalt, der frontal von einem gleichmäßigen Strahl beleuchtet wird. Das Muster ändert sich also nur quer über die Wand; kleine Winkel. Für das Haar ein 1 mm breiter Laserstrahl, der über das Haar hinweg als konstant angenommen wird. Bei einem 70 µm dicken Haar ist das bis auf 0,5 % an den Rändern genau.

Mache einen feinen Spalt enger und das Licht breitet sich weiter aus 🖖

Klick auf Ein 70-µm-Spalt. Die Strahlenoptik sagt, ein Spalt lässt einen Lichtstreifen durch, der so breit ist wie er selbst, 0,070 mm. Auf der Wand in 2 m Entfernung sind die dunklen Punkte beiderseits des Zentrums 37,14 mm voneinander entfernt, also 530,6-mal breiter. Klick nun auf Halb so breit: 74,29 mm. Der Streifen ist 2λL/a breit. Halbiert man a, verdoppelt er sich. Der erste dunkle Punkt liegt dort, wo Licht aus der oberen Hälfte des Spalts und Licht aus der unteren Hälfte um eine halbe Wellenlänge phasenverschoben eintreffen, Paar für Paar: a sin θ = λ. Ein engerer Spalt braucht einen steileren Winkel, um diese halbe Wellenlänge auszugleichen. Das Licht wird auch schwächer, und zwar schneller, als es sich ausbreitet. Es kommt nur die Hälfte durch, und diese wird doppelt so weit verteilt. Daher fällt das Zentrum von 0,377 % des Strahls auf 0,094 %, ein Viertel. Das gilt für einen feinen Spalt. Die Seite verrät auch, wie fein: Solange die Fresnel-Zahl a²/λL unter 2 liegt, was bei rotem Licht und 2 m einem Spalt enger als 1,61 mm entspricht, erzeugt jeder engere Spalt einen breiteren Streifen. Bei 70 µm beträgt die Zahl 0,0038. Klick auf Ein 5-mm-Spalt: Seine Fresnel-Zahl ist 19,2308. Das Licht landet dort, wo die Strahlen es vorhersagen, mit leichten Wellen an den Rändern. Dort macht ein engerer Spalt das Licht schmaler, genau wie die Strahlenoptik es erwartet. Zwischen diesen beiden Extremen durchläuft der Streifen eine minimale Breite. Eine runde Öffnung, wie bei einem Teleskop, zeigt dasselbe Verhalten in zwei Dimensionen. Das behandelt die nächste Seite in diesem Kapitel: die Beugungsgrenze.

Die Nebenmaxima liegen nicht genau mittig zwischen den dunklen Punkten 🖖

Klick auf Ein 70-µm-Spalt und dann auf Verstärkt ×10. Das vervielfacht die Anzeige, sodass die schwachen Nebenmaxima sichtbar werden. Die dunklen Punkte haben gleichmäßige Abstände. Hier sind es 18,57 mm, bei β = π, 2π, 3π mit β = πax/λL. Es liegt nahe, die hellen Nebenmaxima genau in die Mitte dazwischen zu setzen. Dort sind sie aber nicht: Das erste liegt bei 1,4303 Abständen vom Zentrum, nicht bei 1,5. Das zweite liegt bei 2,4590 und das dritte bei 3,4709. Sie schleichen sich in Richtung Mitte, ohne sie je zu erreichen. Die Helligkeit ist (sin β/β)². Der sin²-Teil erreicht zwar genau in der Mitte seinen Höhepunkt, aber 1/β² fällt dort noch weiter ab. Das zieht jede Spitze zurück in Richtung Zentrum, genau dorthin, wo tan β = β gilt. Das erste Nebenmaximum ist 4,719 % so hell wie das Zentrum, etwa ein Einundzwanzigstel. Das zweite erreicht 1,648 % und das dritte 0,834 %. Setzt man das erste exakt in die Mitte, erhält man 1/(π²·1,5²) = 4,503 %. Das ist der Wert, den OpenStax' University Physics bei β = 3π/2 berechnet, wo das Maximum angeblich erwartet wird. Die echte Spitze ist jedoch höher und liegt näher am Zentrum. Alle Nebenmaxima zusammen enthalten weniger als ein Zehntel des Lichts: 90,28 % fallen in das Hauptmaximum. Die Tabelle unter den Ergebnissen listet sie für den Spalt auf der Seite auf.

Ein Haar erzeugt das gleiche Muster wie ein Spalt 🖖

Klick auf Ein 70-µm-Haar. Die Strahlenoptik gibt einem undurchsichtigen Streifen einen 0,070 mm breiten Schatten und sonst nichts. Stattdessen sind die dunklen Punkte beiderseits des eigenen hellen Flecks des Lasers 37,14 mm voneinander entfernt. Das ist exakt wie beim 70 µm breiten Spalt. Ein Spalt und ein Streifen derselben Breite blockieren zusammen gar nichts. Die Wellen, die sie durchlassen, summieren sich also zum reinen Strahl. Abseits vom eigenen Fleck des Strahls, der auf der Wand etwa 2 mm misst, ist der reine Strahl dunkel. Daher sind die Welle des Haars und die des Spalts gleich groß und entgegengesetzt, womit ihre Helligkeit identisch ist. Babinet formulierte dies 1837, als er Koronen erklärte, die farbigen Ringe um Sonne und Mond: Die Wirkung eines kleinen undurchsichtigen Körpers, der nahe der Sichtlinie, aber nicht direkt darauf platziert ist, "sera exactement le même que celui d'une ouverture toute pareille", ist exakt dieselbe wie die einer formgleichen Öffnung. Genau so lässt sich ein Haar mit einem Laserpointer messen. Die Seite liefert den Abstand für ein vorgegebenes Haar. Das Rechenbeispiel löst das Problem rückwärts.

Aufgabe vollständig gelöst

Ein Haar mit einem Laserpointer messen 3 Schritte
Du klebst ein Haar quer über einen roten Laserpointer mit 650 nm und leuchtest damit auf eine 2 m entfernte Wand. Die dunklen Punkte beiderseits des hellen Flecks sind 31,2 mm voneinander entfernt. Gemessen hast du mit einem Lineal, das auf 1 mm genau ist. Wie dick ist das Haar, und wie sicher ist dieser Wert? Klick zuerst auf Ein 70-µm-Haar: Die Seite liefert den Abstand für ein 70 µm dickes Haar bei derselben Entfernung.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Die dunklen Punkte eines Haars verhalten sich wie bei einem Spalt und sind 2λL/a voneinander entfernt. Die Dicke ist also a = 2λL/Abstand:
  
  $a = \frac{2 λ L}{gap} = \frac{2 \times 650 \times 1 0 ^{- 9} m \times 2 m}{0 . 0312 m} = 83.33 μ m$
2. Oder durch eine Proportion aus dem Wert der Seite, da sich der Abstand wie 1/a verhält:
  
  $a = 70 μ m \times \frac{37 . 14 mm}{31 . 2 mm} = 83.33 μ m$
3. Ein Abstand von 31,2 ± 1 mm grenzt die Dicke ein:
  
  $\frac{2 λ L}{32 . 2 mm} = 80.75 μ m, \frac{2 λ L}{30 . 2 mm} = 86.09 μ m$
Antwort

Etwa 83 µm, plus/minus 3 µm. Ein Fehler von 1 mm bei einem Abstand von 31 mm entspricht etwa 3 %. Dieser überträgt sich direkt auf die Dicke. Tippst du 83,3 als Breite ein, während Haar ausgewählt ist, liefert die Seite 31,21 mm. Rückt man die Wand weiter weg, wird der Abstand größer und der Fehler schrumpft: Bei 4 m ergibt dasselbe Haar 62,4 mm.

$a = 83 \pm 3 μ m; L = 4 m : gap = \frac{2 \times 650 \times 1 0 ^{- 9} \times 4}{83 . 33 \times 1 0 ^{- 6}} = 62.4 mm$

Lernpfad

Wellenoptik

Quellen (3)

Babinet's statement of the principle, in his memoir on coronae, the coloured rings round the Sun and the Moon: a small opaque body placed near the line from a luminous point to the eye, but off it, has an effect "exactement le même que celui d'une ouverture toute pareille", exactly that of an identical opening, so that it gives as much light as it seems to take away; with the explanation from interference and the colours of spider threads and thin metal wires among its applications: M. Babinet (as the Comptes rendus print him), Mémoires d'optique météorologique, II: Sur les couronnes. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences 4, 638–647 (1837); the principle on pp. 643–644.
The single-slit intensity (sin β/β)² with β = πa sin θ/λ, the minima at a sin θ = mλ, and the textbook's estimate of the first side maximum at β = 3π/2, I₁ ≈ 0.045 I₀, which the page's second insight block measures against the true peak: S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 3. OpenStax, 2016. Section 4.2, Intensity in Single-Slit Diffraction.
The Fresnel integrals C(z) = ∫₀ᶻ cos(½πt²) dt and S(z) = ∫₀ᶻ sin(½πt²) dt, and their limits of ½, in the convention the page's computation uses: NIST Digital Library of Mathematical Functions, §7.2(iii) Fresnel Integrals. National Institute of Standards and Technology, release of 2026-09-15.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.