Beugungsgitter

Stelle die Linienzahl pro Millimeter, die Wellenlänge des Lichts, die Zahl der beleuchteten Linien und den Abstand zum Schirm ein. Die Seite berechnet alle Ordnungen, ihre Lage und ihre Schärfe. Gibst du eine zweite Wellenlänge an, erfährst du außerdem, ab welcher Ordnung die beiden getrennt erscheinen.

Rechenbeispiel — Beugungsgitter

Linienabstand	3,333 µm
Abstand in Wellenlängen	6,266
Ordnungen auf jeder Seite der Mitte	6
Winkel der ersten Ordnung	9,18°
Erste Ordnung auf dem Schirm	161,7 mm
Dasselbe nach der Kleinwinkelnäherung	159,6 mm
Unterschätzung der Kleinwinkelnäherung	1,28%
Erste Ordnung: Maximum bis erstes Minimum	0,01544°

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Beugungsgitter

Ein Beugungsgitter ist eine Fläche mit vielen parallelen Linien im Abstand d, die Licht durchlassen oder reflektieren. Licht, das benachbarte Linien unter dem Winkel θ verlässt, legt Wege zurück, deren Längen sich um d sin θ unterscheiden. Die Wellen aller Linien treffen daher nur dann phasengleich ein und erzeugen ein helles Maximum, wenn d sin θ = mλ gilt. Dabei ist m eine ganze Zahl und heißt Ordnung. An allen anderen Stellen löschen sich die Beiträge der N Linien nahezu vollständig aus; das erste Minimum neben jedem Maximum liegt nur etwa λ/(N d cos θ) entfernt. Zwei Wellenlängen erscheinen als getrennte Linien, wenn das Auflösungsvermögen R = mN mindestens λ/Δλ beträgt.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

d: der Abstand zwischen benachbarten Linien: 1 mm geteilt durch die Zahl der Linien pro Millimeter
λ: die Wellenlänge des Lichts in der Luft hinter dem Gitter
m: die Ordnung, eine ganze Zahl; m = 0 bezeichnet den gerade hindurchtretenden Strahl, und nur Ordnungen mit mλ < d existieren
N: die Zahl der Linien, die der Strahl tatsächlich beleuchtet, nicht die Gesamtzahl der Linien auf dem Gitter
R: das Auflösungsvermögen mN; der kleinste Wellenlängenunterschied, den die Ordnung trennt, beträgt λ/R

Setzt voraus: Licht einer einzigen Wellenlänge fällt senkrecht ein. Quelle und Schirm sind weit genug entfernt, sodass jede Linie Wellen unter demselben Winkel aussendet. Die Linien sind so schmal, dass jede ihr Licht über den gesamten Halbraum verteilt und alle Ordnungen gleich hell sind. Alle N beleuchteten Linien werden gleich stark beleuchtet. Für ein Reflexionsgitter wie eine Disc gilt bei senkrechtem Einfall dieselbe Formel wie für ein Transmissionsgitter.
Versagt, wenn: Reale Linien haben eine Breite a. Das Licht einer einzelnen Linie bildet selbst ein Einzelspaltmuster, das höhere Ordnungen abschwächt und jede Ordnung auslöscht, die auf eines seiner Minima fällt: Bei a = d/2 fehlt jede gerade Ordnung. Fällt das Licht unter einem Winkel θᵢ ein, gilt stattdessen d(sin θᵢ + sin θ) = mλ. Bei streifendem Einfall können dadurch Wellenlängen bis 2d gebeugt werden; deshalb zeigt eine zum Licht geneigte Blu-ray-Disc durchaus Farben. Ein Strahl endlicher Breite beleuchtet zudem die mittleren Linien stärker als die äußeren. Das dämpft die Nebenmaxima, ohne die Ordnungen zu verschieben.

Ob zwei Spalte oder sechshundert Linien: Die erste Ordnung liegt bei 9,18° 🖖

Wähle Zwei Spalte, grün und danach 300 Linien/mm, 600. Der Abstand bleibt gleich, also ändern sich auch die Winkel nicht: Die erste Ordnung liegt beide Male bei 9,18°, die sechste bei 73,26°. Anders ist die Breite. Bei zwei Spalten reicht ein helles Band vom Maximum aus 4,607° bis zum ersten Minimum, bei 600 Linien nur 0,01544°. Es ist damit um den Faktor 298,4 schmaler. Die Winkel folgen allein aus d sin θ = mλ. Diese Bedingung besagt, dass sich die Wege des Lichts von benachbarten Linien um eine ganze Zahl von Wellenlängen unterscheiden; N kommt darin nicht vor. N bestimmt, wie schnell die Wellen außer Takt geraten, wenn du dich von diesem Winkel entfernst. Bei 600 Quellen genügt eine Änderung um etwa λ/(Nd cos θ), damit sie sich vollständig auslöschen. Ein Schulgitter lässt sich also als Doppelspalt verstehen, dessen helle Bänder zu schmalen Linien geschärft sind. „Mehr Linien pro Millimeter“ verschiebt die Ordnungen; „mehr beleuchtete Linien“ macht sie lediglich schmaler und heller.

Rotes Licht erzeugt auf einer CD zwei Ordnungen, auf einer DVD eine und auf einer Blu-ray-Disc keine 🖖

Eine Ordnung existiert nur, solange mλ kleiner als d ist. Deshalb besitzt ein feineres Gitter weniger Ordnungen. Rotes Licht mit 650 nm erzeugt an den 1,6 µm auseinanderliegenden Spuren einer CD zwei, bei 23,97° und 54,34°. Die zweite liegt nicht beim Doppelten des ersten Winkels, also bei 47,94°. In gleichen Schritten wachsen die Sinuswerte 0,4063 und 0,8125, nicht die Winkel. Bei einer DVD mit 0,740 µm Spurabstand ist eine Ordnung möglich, und zwar bei 61,45°. Die Spuren einer Blu-ray-Disc liegen 0,32 µm auseinander. Das ist weniger als jede sichtbare Wellenlänge und sogar weniger als die 405 nm des violetten Lasers, der die Disc liest. Bei senkrechtem Einfall kann das Licht daher in keine Ordnung gebeugt werden; in der Tabelle unten steht entsprechend keine. Dieselbe Rechnung zeigt auch die Grenze der Formel, die die meisten zuerst kennenlernen. Beim Doppelspalt ist y = mλL/d brauchbar, weil die Winkel sehr klein sind. Für die erste Ordnung an der CD ergibt sie auf einem 1 m entfernten Schirm 406,3 mm, während die Seite 444,6 mm misst. Bei den großen Winkeln eines Gitters brauchst du y = L tan θ.

Das Natrium-Dublett spaltet sich in der zweiten Ordnung auf, nicht in der ersten 🖖

Die beiden gelben Natriumlinien liegen bei 588,9950 und 589,5924 nm, ihr Abstand beträgt 0,5974 nm. Nach dem Rayleigh-Kriterium gelten zwei Linien als getrennt, wenn das Maximum der einen auf das erste Minimum der anderen oder darüber hinaus fällt. Für ein Gitter ergibt sich daraus das Auflösungsvermögen R = mN. Das Dublett benötigt 986,4. Wähle Natrium-Dublett: 600 Linien/mm, davon 500 beleuchtet. In der ersten Ordnung beträgt R 500. Die beiden Maxima liegen 0,02196° auseinander, während jedes bis zu seinem ersten Minimum 0,04328° breit ist; du siehst eine verwaschene Linie. In der zweiten Ordnung desselben Gitters beträgt R 1.000. Die Maxima liegen 0,05809° auseinander, jedes ist 0,05722° breit, und die beiden Linien sind gerade eben getrennt. Der Linienabstand kommt in R nicht vor. Beleuchtet ein feineres Gitter dieselben 500 Linien, liegen die beiden Maxima in jeder Ordnung weiter auseinander, doch jedes wird im gleichen Verhältnis breiter. Das Auflösungsvermögen bleibt gleich. Um das Dublett bereits in der ersten Ordnung zu trennen, müssen 987 Linien im Strahl liegen, unabhängig vom verwendeten Gitter.

Aufgabe vollständig gelöst

Welche Ordnungen weißen Lichts überlappen sich? 5 Schritte
Weißes Licht von 400 bis 700 nm fällt senkrecht auf ein Gitter mit 300 Linien pro Millimeter. Wo beginnt und endet das Spektrum jeder Ordnung, welche überlappen sich, und könnte ein feineres Gitter sie voneinander trennen? Wähle 300 Linien/mm, 600, um den ersten Schritt zu prüfen.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Der Linienabstand ist 1 mm geteilt durch 300. Die Seite zeigt:
  
  $d = \frac{1 mm}{300} = 3.333 μ m = 3333.3 nm$
2. Das Spektrum erster Ordnung reicht vom Winkel, bei dem Violett d sin θ = λ erfüllt, bis zum entsprechenden Winkel für Rot:
  
  $m = 1 : arcsin \frac{400}{3333 . 3} = 6.8 9^{\circ} \dots arcsin \frac{700}{3333 . 3} = 12.1 2^{\circ}$
3. Die zweite Ordnung reicht von 13,89° bis 24,83°. Zwischen ihr und der ersten bleibt also eine deutliche Lücke:
  
  $m = 2 : arcsin \frac{800}{3333 . 3} = 13.8 9^{\circ} \dots arcsin \frac{1400}{3333 . 3} = 24.8 3^{\circ}, 12.1 2^{\circ} < 13.8 9^{\circ}$
4. Die dritte Ordnung beginnt schon bei 21,10°, bevor die zweite endet. Wo ihr violettes Ende liegt, zeigt die zweite Ordnung orangefarbenes Licht mit 600 nm, denn 3 × 400 = 2 × 600:
  
  $m = 3 : arcsin \frac{1200}{3333 . 3} = 21.1 0^{\circ} < 24.8 3^{\circ}, 3 \times 400 nm = 2 \times 600 nm$
5. Die Ordnungen m und m + 1 überlappen sich, wenn das m-Fache des roten Endes größer ist als das m + 1-Fache des violetten Endes. Der Abstand d kürzt sich heraus:
  
  $m \times 700 > (m + 1) \times 400 ⟺ 300 m > 400 ⟺ m > \frac{4}{3}$
Antwort

Die erste Ordnung reicht von 6,89° bis 12,12° und überlappt keine andere. Ab der zweiten greift jedes Spektrum in das folgende hinein: Das rote Ende der zweiten liegt bei 24,83°, die dritte beginnt bereits bei 21,10°. Kein Gitter kann sie trennen, denn in der Bedingung m·700 > (m + 1)·400 kommt d nicht vor. Ein feineres Gitter spreizt die Ordnungen stärker und lässt weniger von ihnen zu. Die zweite bleibt nur dann frei, wenn das Gitter so fein ist, dass keine dritte Ordnung mehr entstehen kann. Die erste Ordnung ist allein deshalb frei, weil sichtbares Licht weniger als eine Oktave umfasst: 700/400 = 1,75. Ein Spektrometer, das mit einer höheren Ordnung arbeitet, setzt vor das Gitter einen Ordnungsfilter, der Licht aus benachbarten Ordnungen ausblendet.

$\frac{700}{400} = 1.75 < 2 \Rightarrow m = 1 ✓; m \geq 2 : m \times 700 > (m + 1) \times 400 \forall d$

Quellen (3)

The resolving power of a grating, R = mN with N the number of lines illuminated, from the Rayleigh criterion applied to the diffraction maxima, and the sodium doublet as the standard benchmark: R. Nave, "Resolvance of Grating." HyperPhysics, Department of Physics and Astronomy, Georgia State University.
The two yellow lines of neutral sodium, the D lines, at 5889.950 and 5895.924 Å in air, which the sodium preset uses: J. E. Sansonetti and W. C. Martin, "Handbook of Basic Atomic Spectroscopic Data", NIST Standard Reference Database 108, table of Strong Lines of Sodium (Na). National Institute of Standards and Technology.
The DVD standard, which fixes the track pitch at 0.74 µm, the spacing that makes a DVD a grating with room for only one order of red light: Ecma International, Standard ECMA-267, "120 mm DVD - Read-Only Disk", 3rd edition, April 2001.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.