Das Gesetz von Malus & Gekreuzte Polarisatoren

Stell die Achse von jedem Filter ein und schau, was vom Strahl übrig bleibt. Ein Filter kostet meistens Licht. Manchmal gewinnt er welches zurück.

Rechenbeispiel — Das Gesetz von Malus & Gekreuzte Polarisatoren

Nach Filter 1 (0,0°)	50,000%
Nach Filter 2 (45,0°)	25,000%
Durch den Stapel	12,500%
Ohne Filter 2	0%
Bester Winkel für Filter 2	45,0°
Wert bei diesem Winkel	12,500%
Bestwert mit 3 Filtern über 90,0°	12,500%

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Das Gesetz von Malus & Gekreuzte Polarisatoren

Das Gesetz von Malus sagt aus, was ein Polarisationsfilter von Licht übrig lässt, das bereits polarisiert ist: I = I₀cos²θ. Dabei ist θ der Winkel zwischen der Polarisationsebene des Lichts und der Durchlassrichtung des Filters. Unpolarisiertes Licht ist der andere Fall und hat überhaupt kein θ. Es trifft ein, wobei jede Richtung gleich stark vertreten ist. Der erste Filter, auf den es trifft, nimmt also exakt die Hälfte davon und reicht einen Strahl weiter, der entlang seiner eigenen Achse polarisiert ist. Jeder Filter nach dem ersten fällt folglich unter das Gesetz von Malus, weil derjenige davor die Polarisation übernommen hat.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

I₀: die Intensität, die am Filter ankommt, nicht die Intensität, die ganz am Anfang stand
θ: der Winkel zwischen der Ebene des Lichts und der Achse des Filters. Nur dieser Unterschied ist wichtig. Deshalb ändert sich kein Messwert auf der Seite, wenn du den gesamten Stapel als Ganzes drehst
φ: die Ebene eines bereits polarisierten Strahls, sofern es eine gibt. Natürliches Licht hat kein φ. Das ist der Grund, warum sein erster Filter pauschal die Hälfte kostet und nicht einen Kosinus
cos²θ: der durchgelassene Anteil: ein Halb bei 45°, ein Viertel bei 60°, nichts bei 90°

Setzt voraus: Ideale Filter, die entlang der Achse perfekt durchlassen und quer dazu perfekt blockieren. Eine reale Folie tut weder das eine noch das andere. Polaroid benannte sein Material nach genau dieser Lücke: Eine HN-38-Folie lässt 38% des natürlichen Lichts durch, wo die Rechnung hier 50% ergibt. Die fehlenden zwölf Prozentpunkte werden absorbiert statt polarisiert.
Versagt, wenn: An einem hohen Stapel realer Folien, und genau hier verliert die überraschendste Behauptung dieser Seite ihre Gültigkeit. Jeder reale Filter multipliziert neben seinem cos² seine eigene Absorption mit ein. Der Anstieg in Richtung 50% kehrt sich nach ein paar Folien also um und fällt ab. Einundneunzig ideale Filter liefern 48,648%; ein Stapel von einundneunzig realen Filtern ist blickdicht.

Zwei Filter blockieren alles. Drei lassen ein Achtel durch. 🖖

Stell die erste Achse auf 0° und die zweite auf 90°. cos²(90°) ist genau null, das Messgerät zeigt 0% an, und nichts, was du an der Lampe veränderst, wird das beeinflussen.

Schieb nun bei 45° einen dritten Filter dazwischen. Der Messwert beträgt 12,500%.

Der neue Filter absorbiert Licht genau wie die anderen beiden. Was er zusätzlich tut, ist das Licht neu auszurichten. So überquert es zwei Lücken von 45° anstelle einer einzigen von 90°, und cos²(45°) ist ein Halb. Die Hälfte der Hälfte von jener Hälfte, die der erste Filter übrig ließ, ergibt ein Achtel.

Die Zeile Ohne Filter 2 befindet sich direkt unter Durch den Stapel, sodass beide Zahlen auf dem Bildschirm bleiben, während du die mittlere Achse verschiebst.

Zehn Filter sind heller als drei, und 50% bilden die absolute Grenze 🖖

Belass die erste Achse bei 0° und die letzte bei 90° und fülle die Lücke mit gleichmäßig verteilten Filtern. Zwei ergeben 0%. Drei ergeben 12,500%. Vier, 21,094%. Fünf, 26,540%. Zehn, 37,957%. Einundneunzig davon, jeweils ein Grad voneinander entfernt, ergeben 48,648%.

Jeder Filter in dieser Reihe absorbiert Licht, und jeder neu hinzugefügte Filter erhöht den Messwert, da eine große Drehung mehr kostet als dieselbe Drehung in kleinen Schritten.

Der Anstieg hat eine Obergrenze, die er nie berührt. Natürliches Licht verliert exakt die Hälfte an dem Filter, auf den es als Erstes trifft, ganz gleich, in welchem Winkel er steht, und nichts im weiteren Verlauf kann diese Hälfte zurückholen.

Das mittlere Drittel der Drehung kostet doppelt so viel wie die Enden 🖖

Stell die Quelle auf Polarisiert und lass einen Filter im Strahl. Bei 0° beträgt der Messwert 100,000%. Dreh ihn auf 30° und 75,000% bleiben übrig. Dreh ihn auf 60° und es sind 25,000%. Dreh ihn auf 90° und nichts bleibt übrig.

Das sind drei gleiche Drehungen um 30°, und die mittlere kostet doppelt so viel wie ihre beiden Nachbarn. cos²θ verläuft flach, wo der Kosinus nahe 1 ist, und fällt am steilsten bei 45° ab.

Wer schon einmal einen Polarisationsfilter an einer Kamera gedreht hat, kennt dieses Gefühl. Der erste Teil der Drehung verändert den Himmel kaum, und die Mitte verändert alles.

Aufgabe vollständig gelöst

Der Filter, der Licht durchlässt, indem er im Weg steht 6 Schritte
Natürliches Licht der Intensität I₀ trifft auf einen Filter mit der Achse bei 0°, dann auf einen zweiten bei 90°. Ein dritter Filter wird bei 30° dazwischengeschoben. Welcher Bruchteil von I₀ verlässt den Stapel, wo sollte dieser dritte Filter am besten stehen, und was bringt diese optimale Einstellung?

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Der erste Filter ist der einzige, der dem Gesetz von Malus nicht gehorcht. Natürliches Licht hat keine einzelne Ebene, von der man einen Winkel messen könnte, also gibt es kein θ zum Einsetzen in cos²θ. Es kommt als gleichmäßige Mischung aller Richtungen an, und der Filter lässt den Durchschnitt durch: exakt die Hälfte. Ist dieser Stapel geladen, zeigt die Zeile Nach Filter 1 (0,0°) einen Wert von 50,000% an. Drehst du diesen ersten Filter beliebig, bleibt der Wert bei 50,000%.
  
  $unpolarised light: \frac{I _{1}}{I _{0}} = \frac{1}{2} at every angle$
2. Alles danach ist ein Fall für Malus, weil der erste Filter den Strahl entlang seiner eigenen Achse polarisiert hat. Der zweite Filter in diesem Stapel ist der bei 30°. Die Lücke beträgt also 30° und der Faktor lautet cos²(30°) = 0,75. Die Hälfte des Lichts, davon drei Viertel: Das sind 37,500%, und genau das steht in der Zeile Nach Filter 2 (30,0°).
  
  $\frac{I _{2}}{I _{0}} = \frac{1}{2} cos^{2} (3 0^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot 0.75 = 0.375$
3. Der letzte Filter sitzt bei 90°, also 60° weiter als 30°. cos²(60°) = 0,25, und ein Viertel von 37,500% sind 9,375%. Das ist die Antwort auf die erste Frage. Die Zeile Durch den Stapel zeigt die komplette Kette, die dazu geführt hat: ½ · cos²(30°) · cos²(60°).
  
  $\frac{I _{3}}{I _{0}} = \frac{1}{2} cos^{2} (3 0^{\circ}) cos^{2} (6 0^{\circ}) = 0.375 \cdot 0.25 = 0.09375$
4. Nimm nun den mittleren Filter heraus. Das ist der Schritt, den man sich langsam ansehen sollte. Der Strahl trifft dann auf 0° und 90° mit nichts dazwischen. Das ist eine Lücke von 90°, und cos²(90°) ist null. Die Zeile Ohne Filter 2 zeigt 0%. Eine Scheibe aus absorbierendem Plastik, in einen bereits toten Strahl gehalten, brachte den Messwert von null auf 9,375%.
  
  $filter 2 removed: \frac{1}{2} cos^{2} (9 0^{\circ}) = 0$
5. Wo also nützt er am meisten? Die beiden Lücken müssen sich zu 90° addieren, und maximiert wird hier cos²(δ)·cos²(90° − δ). Gleiche Lücken gewinnen: ½ · ½ · ½ = 12,500% bei 45°, gegenüber 9,375% bei 30°. Die Zeile Bester Winkel für Filter 2 zeigt 45,0° und die Zeile Wert bei diesem Winkel lautet 12,500%.
  
  $δ max \frac{1}{2} cos^{2} (δ) cos^{2} (9 0^{\circ} - δ) \Rightarrow δ = 4 5^{\circ}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 0.125$
6. Gleiche Lücken gewinnen immer, ganz gleich, wie viele Filter es sind. Der Grund ist, dass ln(cos) konkav verläuft. Eine festgelegte Gesamtdrehung ist also dann am billigsten, wenn sie gleichmäßig aufgeteilt wird. Klick auf Filter hinzufügen, um einen vierten einzubauen, und auf Gleichmäßig verteilen, um sie zu platzieren: 21,094%. Zehn Filter über dieselbe Vierteldrehung erreichen 37,957%.
  
  $\frac{I _{n}}{I _{0}}_{even} = \frac{1}{2} cos^{2 (n - 1)} (\frac{9 0 ^{\circ}}{n - 1}) : n = 4 \to 0.21094, n = 10 \to 0.37957$
Antwort

9,375% bei 30° und 12,500% bei 45°, was das Maximum ist, das drei Filter über eine Vierteldrehung leisten können. Die Zahl, die du dir jedoch merken solltest, ist keine von beiden. Es ist das Nichts, das in dem Moment zurückkehrt, in dem der mittlere Filter herausgezogen wird. Dieser Filter absorbiert Licht wie die anderen beiden, und doch ist der Stapel mit ihm heller als ohne ihn. Das liegt daran, dass er das Licht dreht, sodass dem letzten Filter eine einfachere Frage gestellt wird.

$\frac{1}{2} cos^{2} (3 0^{\circ}) cos^{2} (6 0^{\circ}) = 9.375% against \frac{1}{2} cos^{4} (4 5^{\circ}) = 12.5%$

Quellen (3)

The paper the law is named after, written by an army engineer who noticed it in the windows of the Luxembourg Palace: É. L. Malus, "Sur une propriété de la lumière réfléchie." Mémoires de physique et de chimie de la Société d'Arcueil 2, 1809, pp. 145–158.
Where the 38% comes from — the man who invented sheet polarisers, on how well they really work: E. H. Land, "Some Aspects of the Development of Sheet Polarizers." Journal of the Optical Society of America 41(12), 1951, pp. 957–963. DOI 10.1364/JOSA.41.000957
The textbook treatment of ideal polarisers and the stacked-filter result: E. Hecht, Optics, 5th edition, Pearson, 2017, chapter 8 (Polarization).

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.