Impuls & Stoßgesetze Labor

Simuliere 1D-Kollisionen von Wagen, um Impulserhaltung, Änderungen der kinetischen Energie und die Stoßzahl zu untersuchen.

Rechenbeispiel — Impuls & Stoßgesetze Labor

Stoßzahl (e)	1.00
Anfangsimpuls (Pi)	3.00 kg·m/s
Endimpuls (Pf)	3.00 kg·m/s
Anfangsenergie (Ki)	10.50 J
Endenergie (Kf)	10.50 J

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

Interaktive Simulation wird geladen...

Der Impuls überlebt jeden Stoß, die Energie nicht 🖖

In jedem abgeschlossenen System bleibt der Impuls aufgrund von Newtons drittem Axiom immer erhalten: Die Kraft, die Wagen 1 auf Wagen 2 ausübt, ist gleich groß und entgegengesetzt zu der Kraft, die Wagen 2 auf Wagen 1 ausübt. Die kinetische Energie bleibt jedoch nur bei vollkommen elastischen Stößen (e = 1) erhalten. Bei makroskopischen Kollisionen in der Realität wird immer Energie in Wärme, Schall und Materialverformung umgewandelt (e < 1). Auf subatomarer Ebene sind Stöße zwischen Gasmolekülen vollkommen elastisch, weshalb Gase sich nicht irgendwann als kalte Pfützen statischer Materie am Boden absetzen.

Die eine Zahl, die den Rückprall bestimmt 🖖

Die Stoßzahl e ist der zentrale Regler dieses Tools. Sie ist einfach die Trennungsgeschwindigkeit geteilt durch die Annäherungsgeschwindigkeit: e = 1 bedeutet einen perfekten Rückprall (ein Flummi), e = 0 heißt, die Wagen bleiben aneinander kleben wie nasser Ton. Man kann sie zu Hause messen — lass einen Ball fallen und teile die Sprunghöhe durch die Fallhöhe, das ergibt e². Ein Basketball, der auf etwa 64% seiner Fallhöhe zurückspringt, hat e ≈ 0.8.

Voyager 2 spielte Billard mit dem Jupiter 🖖

Ein Swing-by-Manöver einer Raumsonde folgt genau diesen Regeln, ganz ohne Berührung. Im Bezugssystem des Planeten ist der Vorbeiflug perfekt elastisch (e = 1): Die Sonde verlässt ihn mit derselben Geschwindigkeit, mit der sie ankam, nur umgelenkt. Im Bezugssystem der Sonne kann sie jedoch fast die doppelte Bahngeschwindigkeit des Planeten aufnehmen. Voyager 2 gewann so am Jupiter rund 10 km/s — geliehen aus der Bahnbewegung des Planeten, die sich im Gegenzug um einen völlig vernachlässigbaren Betrag verlangsamte.

STÖSSE — DER IMPULS BLEIBT IMMER, DIE ENERGIE OFT NICHT

Welchen Stoß modellierst du?

Jeder Stoß hier erhält den Impuls: m₁u₁ + m₂u₂ ist vorher und nachher immer gleich. Die Fälle unterscheiden sich darin, wie viel kinetische Energie überlebt, und darüber entscheidet eine einzige Zahl — die Stoßzahl e, also Trenngeschwindigkeit geteilt durch Annäherungsgeschwindigkeit. Lege zuerst e fest; das Massenverhältnis sagt dann, wer wohin fährt.

Vollkommen elastisch (e = 1) — die kinetische Energie bleibt vollständig e = 1, K′ = K

Vollkommen unelastisch (e = 0) — sie bleiben aneinander und verlieren am meisten e = 0, v₁ = v₂

Teilelastisch (0 < e < 1) — die Wirklichkeit dazwischen e = (v₂ − v₁)/(u₁ − u₂)

Schwer trifft leicht — der Kleine wird abgeschossen m₁ ≫ m₂ ⇒ v₂ → 2u₁

Leicht trifft schwer — es prallt geradewegs zurück m₁ ≪ m₂ ⇒ v₁ → −u₁

Vollkommen elastisch (e = 1) — die kinetische Energie bleibt vollständig

Was du weißt: Nichts verformt sich bleibend und nichts erwärmt sich: Die Wagen trennen sich genauso schnell, wie sie sich genähert haben. Impuls und kinetische Energie bleiben beide erhalten.

Stoßzahl: e = 1, K′ = K

Rechenbeispiel: 2 kg mit +3 m/s trifft 2 kg mit −3 m/s bei e = 1 → sie fahren mit −3 und +3 m/s weiter. Die Geschwindigkeiten tauschen einfach, und alle 18 J sind noch da.

Diesen Fall öffnen: Symmetrischer elastischer Stoß

Vollkommen elastisch (e = 1) — die kinetische Energie bleibt vollständig. Gleiche Massen bei e = 1: Die Wagen tauschen Geschwindigkeiten und behalten jedes Joule. Nichts verformt sich bleibend und nichts erwärmt sich: Die Wagen trennen sich genauso schnell, wie sie sich genähert haben. Impuls und kinetische Energie bleiben beide erhalten. — Gleiche Massen bei e = 1: Die Wagen tauschen Geschwindigkeiten und behalten jedes Joule.

Vollkommen unelastisch (e = 0) — sie bleiben aneinander und verlieren am meisten

Was du weißt: Die Wagen fahren mit einer gemeinsamen Geschwindigkeit weiter, die Trenngeschwindigkeit ist also null. Der Impuls stimmt weiterhin, aber der Verlust an kinetischer Energie ist so groß wie überhaupt möglich.

Stoßzahl: e = 0, v₁ = v₂

Rechenbeispiel: 2 kg mit 3 m/s trifft ruhende 3 kg bei e = 0 → beide fahren mit 1,2 m/s weiter, und 5,4 J der ursprünglichen 9 J sind weg: 60 % Verlust.

Diesen Fall öffnen: Vollkommen unelastischer Stoß

Vollkommen unelastisch (e = 0) — sie bleiben aneinander und verlieren am meisten. Bei e = 0 fahren die Wagen gemeinsam weiter, und die fehlende Energie steckt im Schaden. Die Wagen fahren mit einer gemeinsamen Geschwindigkeit weiter, die Trenngeschwindigkeit ist also null. Der Impuls stimmt weiterhin, aber der Verlust an kinetischer Energie ist so groß wie überhaupt möglich. — Bei e = 0 fahren die Wagen gemeinsam weiter, und die fehlende Energie steckt im Schaden.

Teilelastisch (0 < e < 1) — die Wirklichkeit dazwischen

Was du weißt: Die Wagen trennen sich zwar, aber langsamer, als sie sich genähert haben. e ist das Verhältnis der beiden: e = (v₂ − v₁)/(u₁ − u₂).

Stoßzahl: e = (v₂ − v₁)/(u₁ − u₂)

Rechenbeispiel: 3 kg mit +4 m/s trifft 2 kg mit −2 m/s bei e = 0,5 → v₁ = +0,4 und v₂ = +3,4 m/s. Aus 6 m/s Annäherung werden 3 m/s Trennung, und 16,2 J der 28 J gehen verloren.

Diesen Fall öffnen: Realer Stoßdämpfer-Bounce

Teilelastisch (0 < e < 1) — die Wirklichkeit dazwischen. Bei 0 < e < 1 trennen sie sich langsamer, als sie sich trafen; die Differenz geht als Wärme fort. Die Wagen trennen sich zwar, aber langsamer, als sie sich genähert haben. e ist das Verhältnis der beiden: e = (v₂ − v₁)/(u₁ − u₂). — Bei 0 < e < 1 trennen sie sich langsamer, als sie sich trafen; die Differenz geht als Wärme fort.

Schwer trifft leicht — der Kleine wird abgeschossen

Was du weißt: Ein elastischer Stoß mit m₁ viel größer als m₂. Der schwere Wagen merkt den Stoß kaum; der leichte fährt schneller weg, als irgendetwas angekommen ist.

Stoßzahl: m₁ ≫ m₂ ⇒ v₂ → 2u₁

Rechenbeispiel: 8 kg mit 3 m/s trifft ruhende 1 kg elastisch → der schwere Wagen wird nur auf 2,33 m/s abgebremst, der leichte fährt mit 5,33 m/s davon, nahe an der Grenze 2u₁.

Diesen Fall öffnen: Schwer trifft leicht

Schwer trifft leicht — der Kleine wird abgeschossen. Bei m₁ ≫ m₂ rollt der schwere Wagen fast unverändert weiter und der leichte wird nach vorn geschleudert. Ein elastischer Stoß mit m₁ viel größer als m₂. Der schwere Wagen merkt den Stoß kaum; der leichte fährt schneller weg, als irgendetwas angekommen ist. — Bei m₁ ≫ m₂ rollt der schwere Wagen fast unverändert weiter und der leichte wird nach vorn geschleudert.

Leicht trifft schwer — es prallt geradewegs zurück

Was du weißt: Ein elastischer Stoß mit m₁ viel kleiner als m₂. Der ankommende Wagen kehrt um; der schwere bewegt sich kaum.

Stoßzahl: m₁ ≪ m₂ ⇒ v₁ → −u₁

Rechenbeispiel: 1 kg mit 3 m/s trifft ruhende 8 kg elastisch → der leichte Wagen prallt mit −2,33 m/s zurück und der schwere kriecht mit 0,67 m/s vorwärts.

Diesen Fall öffnen: Leicht prallt von schwer ab

Leicht trifft schwer — es prallt geradewegs zurück. Bei m₁ ≪ m₂ prallt der leichte Wagen fast mit Ankunftstempo zurück und der schwere rührt sich kaum. Ein elastischer Stoß mit m₁ viel kleiner als m₂. Der ankommende Wagen kehrt um; der schwere bewegt sich kaum. — Bei m₁ ≪ m₂ prallt der leichte Wagen fast mit Ankunftstempo zurück und der schwere rührt sich kaum.

Quellen (1)

Insight block 3 — the gravity assist as an elastic collision with a planet: G. A. Flandro, "Solar electric low-thrust missions to Jupiter with swingby continuation to the outer planets." Journal of Spacecraft and Rockets 5(9), 1029–1033, 1968 — the swingby trajectories that became the Voyager Grand Tour.

Aufgabe vollständig gelöst

Ein 2-kg-Wagen, der elastisch mit einem 3-kg-Wagen zusammenstößt 5 Schritte
Ein 2-kg-Wagen mit 3 m/s trifft elastisch auf einen 3-kg-Wagen mit −1 m/s. Bestimmen Sie beide Endgeschwindigkeiten aus den zwei Erhaltungssätzen — und sehen Sie anschließend, was derselbe Stoß kostet, wenn die Wagen stattdessen aneinander haften bleiben.
1. Zuerst der Impuls, da er unabhängig vom Verlauf des Stoßes erhalten bleibt. Vorzeichen tragen die Richtungen, sodass die −1 des zweiten Wagens subtrahiert wird.
  
  $p : m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = 2 (3) + 3 (- 1) = 3 kg m/s$
2. Die kinetische Energie ist die zweite Bedingung, und sie gilt nur dann, wenn der Stoß elastisch ist. Zehneinhalb Joule gehen hinein.
  
  $K : \frac{1}{2} (2) (3)^{2} + \frac{1}{2} (3) (- 1)^{2} = 9 + 1.5 = 10.5 J$
3. Das Lösen von zwei Gleichungen, von denen eine quadratisch ist, lässt sich vermeiden. Bei einem elastischen Stoß kehrt sich die Relativgeschwindigkeit einfach um — die Wagen trennen sich so schnell, wie sie sich genähert haben — und diese lineare Aussage ersetzt die Energiegleichung exakt.
  
  $e = 1 : v_{2} - v_{1} = - (u_{2} - u_{1}) = 4 with m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = 3$
4. Zwei lineare Gleichungen liefern dann beide Geschwindigkeiten direkt. Der leichte Wagen prallt nach hinten ab; der schwere wird nach vorne geschoben, ist am Ende jedoch langsamer, als der leichte ankam.
  
  $⟹ v_{1} = - 1.8 m/s, v_{2} = 2.2 m/s$
5. Setzt man nun die Stoßzahl auf null, bewegen sich die Wagen gemeinsam mit dem impulsgewichteten Mittelwert von 0,6 m/s weiter und führen 0,9 J mit sich.
  
  $e = 0 : v = \frac{3}{5} = 0.6, K_{f} = \frac{1}{2} (5) (0.6)^{2} = 0.9 J ⟹ 91.4% lost$
Antwort

Das Werkzeug gibt vorher und nachher 3,00 kg·m/s sowie vorher und nachher 10,50 J aus — Impuls und Energie bleiben beide erhalten, was elastisch bedeutet. Ziehen Sie den Stoßzahlregler auf 0 und beobachten Sie, wie das zweite Paar divergiert, während das erste dies nicht tut: Der Impuls steht weiterhin bei 3,00, aber die Energie fällt auf 0,9 J. 91,4 % der kinetischen Energie sind verloren, umgewandelt in Wärme, Schall und dauerhafte Verformung, und der Impuls merkt davon nichts. Diese Asymmetrie ist die entscheidende — Impuls bleibt bei jedem Stoß erhalten, Energie nur bei den idealisierten, und eine Knautschzone ist eine Vorrichtung, die dazu dient, die zweite Zahl so groß wie möglich zu machen.

$e = \frac{v _{2} - v _{1}}{u _{1} - u _{2}} : e = 1 \Rightarrow K conserved, e = 0 \Rightarrow 91.4% lost$

Lernpfad

Energie statt Kräfte

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-27

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

Symmetrischer elastischer Stoß - Gleiche Massen, e=1: Die Geschwindigkeiten tauschen vollständig (+3 → -3 und -3 → +3) — der klassische elastische Billardkugel-Austausch.
Vollkommen unelastischer Stoß - m1=2 kg mit 3 m/s trifft den ruhenden m2=3 kg, e=0: Sie bleiben aneinander haften und bewegen sich gemeinsam mit 1,2 m/s weiter.
Schwer trifft leicht - m1=8 kg trifft elastisch auf den ruhenden m2=1 kg: Der schwere Wagen wird kaum langsamer (3→2,33 m/s), während der leichte auf 5,33 m/s beschleunigt wird.
Leicht prallt von schwer ab - m1=1 kg trifft elastisch auf den ruhenden m2=8 kg: Der leichte Wagen prallt zurück (3→-2,33 m/s), während der schwere sich kaum in Bewegung setzt (0→0,67 m/s).
Realer Stoßdämpfer-Bounce - e=0,5: m1=3 kg mit 4 m/s trifft m2=2 kg mit -2 m/s: Der teilelastische Stoß vernichtet ~58 % der kinetischen Energie — ein realistischer Autoscooter-Zusammenstoß.