Freier-Fall-Rechner

Fallzeit, Aufprallgeschwindigkeit und Energie beim freien Fall unter Schwerkraft

Rechenbeispiel — Freier-Fall-Rechner

Fallzeit (Impact)	4,5152 s
Aufprallgeschwindigkeit	44,29 m/s (159,5 km/h / 99,1 mph)
Kinetische Energie pro kg	981 J/kg

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

Interaktive Simulation wird geladen...

Lektion

Die Theorie — Freier-Fall-Rechner

Freier Fall ist eine Bewegung ausschließlich unter dem Einfluss der Gravitation, ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands. Eine konstante Beschleunigung g wirkt während des gesamten Falls, und alle vom Bedienfeld angezeigten Werte ergeben sich aus dieser einzigen Annahme — es werden keine weiteren Kräfte hinzugefügt und keine weggelassen.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

h: die Fallhöhe, senkrecht nach unten gemessen. Sie ist die einzige Distanz in dieser Aufgabenstellung: Wie weit sich das Objekt seitlich bewegt und welche Form es hat, spielt keine Rolle.
g: die Fallbeschleunigung in Metern pro Quadratsekunde. Stellt man sie für den Mond auf 1.62 ein, verlängert sich derselbe Fall aus 100 m Höhe von 4.5152 s auf 11.1111 s, wobei das Objekt mit 18 m/s statt 44.29 m/s auftrifft.
v: die Aufprallgeschwindigkeit im Moment des Auftreffens, kein Mittelwert. Das Objekt war während des gesamten Falls bis zum allerletzten Augenblick langsamer als dieser Wert.
t: die Fallzeit. Sie wächst mit der Quadratwurzel der Höhe, was oft überrascht — die zehnfache Fallhöhe führt nur zur 3.1623-fachen Zeit.

Woher die Formel kommt

Bei konstanter Beschleunigung und einem Start aus dem Ruhestand entspricht die Strecke h = ½gt². Das ist die gesamte Physik; der Rest ist Algebra.
Nach der Zeit aufgelöst ergibt sich: t = √(2h/g). Die Quadratwurzel ist der Grund dafür, dass ein Fall aus der doppelten Höhe nicht doppelt so lange dauert.
Die Geschwindigkeit nach der Zeit t beträgt v = gt. Setzt man die Zeit aus Schritt 2 ein, erhält man v = g·√(2h/g) = √(2gh) — Höhe und Fallbeschleunigung gehen symmetrisch ein, und die Masse kommt in keiner der beiden Zeilen vor.
Die kinetische Energie pro Kilogramm beträgt ½v², und das Quadrieren von √(2gh) ergibt genau g·h. Bei h = 100 und g = 9.81 zeigt die Zeile Kinetische Energie pro kg 981 J/kg an, was 9.81 × 100 entspricht — der angezeigte Wert ist das Produkt der beiden Eingaben und nichts weiter.

So liest du, was du siehst

Verändere die Höhe und beobachte die beiden oberen Zeilen. Sie bewegen sich gemeinsam, aber nicht im Gleichschritt: Bei 1000 m dauert der Fall 14.2784 s im Vergleich zu 4.5152 s und endet mit 140.07 m/s gegenüber 44.29 m/s. Beide Werte haben sich mit 3.1623 multipliziert, denn die zehnfache Höhe bedeutet für alle anderen Größen den Faktor √10. Viertelst du stattdessen die Höhe, halbiert sich die Geschwindigkeit exakt, da v proportional zu √h wächst: 25 m ergeben 22.15 m/s.

Setzt voraus: Kein Luftwiderstand, Start aus der Ruhe und eine Gravitation, die sich während des Falls nicht ändert. Die letzte Bedingung ist dabei die harmloseste der drei. g nimmt mit der Höhe ab. Ein echter Fall aus 1000 m Höhe verläuft also nicht mit einem einzigen konstanten Wert wie hier.
Versagt, wenn: Der Luftwiderstand macht die Berechnung als Erstes zunichte, und zwar vollständig statt nur geringfügig. Ein echter Fallschirmspringer hört bei einer Grenzgeschwindigkeit von etwa 55 m/s auf zu beschleunigen, sodass diese Seite den Fall aus 1000 m Höhe mit 140.07 m/s bereits um mehr als das Doppelte überschätzt. Die Formel enthält keinen Term, der jemals eine Obergrenze erzeugen könnte — v = √(2gh) steigt unbegrenzt an —, sodass der ausgegebene Wert keine leicht optimistische Antwort ist, sondern die Antwort auf eine andere Frage.

Galilei konnte die Fallzeit einer Kugel nicht messen, also verlangsamte er die Schwerkraft 🖖

Ein Fall aus wenigen Metern ist in unter einer Sekunde vorbei, und die beste Uhr um 1600 war ein Wassergefäß auf einer Waage. Also verdünnte Galilei die Schwerkraft, anstatt gegen sie anzukämpfen: Lässt man eine Kugel eine flache geneigte Ebene hinabrollen, wirkt dieselbe konstante Beschleunigung nur mit einem Bruchteil ihrer Stärke und dehnt die Bewegung so weit aus, dass sie von Hand gemessen werden kann. Er fand heraus, dass sich die in aufeinanderfolgenden gleichen Zeitintervallen zurückgelegten Strecken wie 1, 3, 5, 7 verhielten — die ungeraden Zahlen, deren fortlaufende Summen 1, 4, 9, 16 ergeben, also die Quadratzahlen. Damit war h ∝ t² ganz ohne Stoppuhr bewiesen. Das Gravitationsfeld oben tut in der Software genau dasselbe: Der Wert 1.62 ändert nichts an der Physik, sondern nur das Tempo, in dem sie sich abspielt.

Übung

Prüfe dich selbst

Sage die Antwort zuerst voraus und probiere es dann oben aus. Zeige die Lösung erst, wenn du dich entschieden hast — genau das macht es zur Übung.

Drücke 100-m-Turm (Erde): 4.5152 s, 44.29 m/s, 981 J/kg. Stelle nun die Fallbeschleunigung auf die 1.62 des Mondes und lass die Höhe unverändert — die Aufprallgeschwindigkeit bricht auf 18 m/s ein. Wie hoch müsste der Fall auf dem Mond sein, um genauso hart aufzuschlagen, und welche Zeile verrät dir, wann du da bist?

Antwort anzeigen

Etwa 605,5 m, die sechsfache Höhe bei einem Sechstel der Schwerkraft. Schau dir die dritte Zeile an: Die kinetische Energie pro Kilogramm ist schlicht g·h. Wenn du also auf 981 J/kg abstimmst, passt du damit direkt die Geschwindigkeit an. Bei 605,5 und 1,62 liest du 980,91 J/kg und 44,29 m/s ab, im Vergleich zu den 981 der Erde und denselben 44,29. Der Fall dauert jetzt 27,341 s statt 4,5152 s. Das ist sechsmal so lange, führt aber zur selben Endgeschwindigkeit. Denn eine schwache Schwerkraft braucht Strecke für das, was eine starke Schwerkraft schnell erledigt.
Ein echter Fallschirmspringer hört bei rund 55 m/s auf, schneller zu werden. Ab welcher Fallhöhe meldet diese Seite eine Geschwindigkeit, die kein fallender Mensch erreicht?

Antwort anzeigen

Zwischen 154 m und 155 m: 154 ergibt 54.97 m/s, 155 ergibt 55.15 m/s. Diese Schwelle liegt niedriger, als die meisten vermuten, und alles darüber ist eine Antwort über das Vakuum, nicht über Luft. Danach wächst der Abstand rasch: bei 1000 m meldet die Seite 140.07 m/s, das Zweieinhalbfache einer Geschwindigkeit, die ein fallender Körper in Luft überhaupt nicht überschreiten kann.

Aufgabe vollständig gelöst

Einen Stein aus 100 m fallen lassen mit g = 9,81 m/s² 5 Schritte
Lass einen Stein aus 100 m Höhe mit g = 9,81 m/s² fallen. Berechne die Fallzeit, die Aufprallgeschwindigkeit und die Energie pro Kilogramm. Finde dann heraus, wo im Verlauf des Falls die halben Werte erreicht werden, denn weder die halbe Höhe noch die halbe Energie treten zur halben Zeit auf.
1. Der zurückgelegte Weg hängt quadratisch von der Zeit ab; die Höhe mit null gleichzusetzen und aufzulösen ist bereits der gesamte erste Schritt.
  
  $y (t) = h - \frac{1}{2} g t^{2} = 0 ⟹ t = \frac{2 h}{g} = \frac{200}{9.81} = 4.5152 s$
2. Die Geschwindigkeit ist die Ableitung, ausgewertet zu diesem Zeitpunkt. Eine Umrechnung lohnt sich: 159 km/h ist Autobahngeschwindigkeit — aus zehn Stockwerken Höhe.
  
  $v = g t = 9.81 \times 4.5152 = 44.29 m/s = 159.5 km/h$
3. Setzt du v² = 2gh in die Formel für die kinetische Energie pro Kilogramm ein, verschwindet die Geschwindigkeit. Übrig bleiben Fallhöhe und Gravitation. Das ist direkt zurückgegebene potenzielle Energie. Deshalb ist die Zahl eine glatte 981.
  
  $v^{2} = 2 g h ⟹ \frac{E _{k}}{m} = \frac{1}{2} v^{2} = g h = 9.81 \times 100 = 981 J/kg$
4. Nun zum Verlauf des Falls. Drückt man die Höhe als Bruchteil der Gesamthöhe aus, wird die Zeitabhängigkeit zu einem einfachen Quadrat, und Quadrate sind unerbittlich: Die Hälfte der verstrichenen Zeit bringt erst ein Viertel der Strecke.
  
  $\frac{y}{h} = 1 - (\frac{t}{t _{imp}})^{2} : t = \frac{1}{2} t_{imp} \Rightarrow only 25% fallen; y = \frac{1}{2} h \Rightarrow t = 0.707 t_{imp}$
5. Die Luft verändert nicht nur das Tempo, sondern das Ziel. Bei einer Endgeschwindigkeit von 55 m/s ergibt die geschlossene Formel 38,0 m/s — 14 % weniger Geschwindigkeit, aber 26 % weniger Energie, da die Energie quadratisch eingeht; und dies ist die eine Zeile, in der die Masse wieder auftauchen würde.
  
  $v_{t} = 55 m/s : v_{imp} = v_{t} 1 - e^{- 2 g h / v_{t}^{2}} = 55 1 - e^{- 0.6486} = 38.0 m/s, \frac{E _{k}}{m} = 721.8$
Antwort

4,5152 s, 44,29 m/s und exakt 981 J/kg. Dieser letzte Wert ist schlicht gh und sonst nichts. Die Masse kürzt sich komplett heraus. Ein Kieselstein und ein Klavier kommen also mit derselben Energie pro Kilogramm unten an. Der Fall verlagert sich extrem auf das Ende: Zur halben Zeit hat der Stein erst ein Viertel der Strecke zurückgelegt, und die halbe Fallhöhe erreicht er erst bei 71 % der Zeit. Die Hälfte des Weges passiert in den letzten 29 %. Deshalb ist ein Sturz, der von oben noch überlebbar aussieht, es in Wahrheit nicht.

$t = 4.5152 s, v = 44.29 m/s, E_{k} / m = g h = 981 J/kg$

Lernpfad

Energie statt Kräfte

Quellen (3)

Where “distance goes as the square of the time” comes from — the result the whole panel rests on: Galileo Galilei, Two New Sciences, including Centers of Gravity & Force of Percussion, translated by Stillman Drake. University of Wisconsin Press, 1974. ISBN 0-299-06404-2. First published as the Discorsi in 1638.
The 9.80665 m/s² the gravity field is built around, and where that exact figure was fixed: Bureau International des Poids et Mesures, Declaration 2 of the 3rd CGPM (1901): “The value adopted in the International Service of Weights and Measures for the standard acceleration due to gravity is 980.665 cm/s².”
The “no air” assumption tested where there genuinely is none: NASA, “The Apollo 15 Hammer-Feather Drop.” Commander David Scott released a 1.32 kg geological hammer and a 0.03 kg falcon feather from about 1.6 m; both struck the surface together.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.