Lektion
Die Theorie — Freier-Fall-Rechner
Freier Fall ist eine Bewegung ausschließlich unter dem Einfluss der Gravitation, ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands. Eine konstante Beschleunigung g wirkt während des gesamten Falls, und alle vom Bedienfeld angezeigten Werte ergeben sich aus dieser einzigen Annahme — es werden keine weiteren Kräfte hinzugefügt und keine weggelassen.
Was die einzelnen Symbole bedeuten
h- die Fallhöhe, senkrecht nach unten gemessen. Sie ist die einzige Distanz in dieser Aufgabenstellung: Wie weit sich das Objekt seitlich bewegt und welche Form es hat, spielt keine Rolle.
g- die Fallbeschleunigung in Metern pro Quadratsekunde. Stellt man sie für den Mond auf
1.62ein, verlängert sich derselbe Fall aus 100 m Höhe von4.5152 sauf11.1111 s, wobei das Objekt mit18 m/sstatt44.2945 m/sauftrifft. v- die Aufprallgeschwindigkeit im Moment des Auftreffens, kein Mittelwert. Das Objekt war während des gesamten Falls bis zum allerletzten Augenblick langsamer als dieser Wert.
t- die Fallzeit. Sie wächst mit der Quadratwurzel der Höhe, was oft überrascht — die zehnfache Fallhöhe führt nur zur
3.1623-fachen Zeit.
Woher die Formel kommt
- Bei konstanter Beschleunigung und einem Start aus dem Ruhestand entspricht die Strecke
h = ½gt². Das ist die gesamte Physik; der Rest ist Algebra. - Nach der Zeit aufgelöst ergibt sich:
t = √(2h/g). Die Quadratwurzel ist der Grund dafür, dass ein Fall aus der doppelten Höhe nicht doppelt so lange dauert. - Die Geschwindigkeit nach der Zeit
tbeträgtv = gt. Setzt man die Zeit aus Schritt 2 ein, erhält manv = g·√(2h/g) = √(2gh)— Höhe und Fallbeschleunigung gehen symmetrisch ein, und die Masse kommt in keiner der beiden Zeilen vor. - Die kinetische Energie pro Kilogramm beträgt
½v², und das Quadrieren von√(2gh)ergibt genaug·h. Beih = 100undg = 9.81zeigt die Zeile Kinetische Energie pro kg981 J/kgan, was9.81 × 100entspricht — der angezeigte Wert ist das Produkt der beiden Eingaben und nichts weiter.
So liest du, was du siehst
Ändere die Höhe und beobachte, wie sich die zwei oberen Zeilen gemeinsam, aber nicht synchron verändern: Bei 1000 m dauert der Fall 14.2784 s gegenüber 4.5152 s und führt zu einer Aufprallgeschwindigkeit von 140.0714 m/s gegenüber 44.2945 m/s — beide Werte sind mit 3.1623 multipliziert, da die zehnfache Höhe das √10-fache von allem bedeutet. Viertelt man stattdessen die Höhe, halbiert sich die Geschwindigkeit exakt: 25 m ergeben 22.1472 m/s.
- Setzt voraus
- Kein Luftwiderstand, ein Start aus dem Ruhestand und eine Fallbeschleunigung, die sich während des Falls nicht ändert. Letzteres ist im Stillen die stärkste Annahme:
gnimmt mit der Höhe ab, sodass ein echter 1000-m-Fall nicht mit einem einzigen Wert abläuft wie in dieser Simulation. - Versagt, wenn
- Der Luftwiderstand macht die Berechnung als Erstes zunichte, und zwar vollständig statt nur geringfügig. Ein echter Fallschirmspringer hört bei einer Grenzgeschwindigkeit von etwa
55 m/sauf zu beschleunigen, sodass diese Seite den Fall aus 1000 m Höhe mit140.0714 m/sbereits um mehr als das Doppelte überschätzt. Die Formel enthält keinen Term, der jemals eine Obergrenze erzeugen könnte —v = √(2gh)steigt unbegrenzt an —, sodass der ausgegebene Wert keine leicht optimistische Antwort ist, sondern die Antwort auf eine andere Frage.
Übung
Prüfe dich selbst
Sage die Antwort zuerst voraus und probiere es dann oben aus. Zeige die Lösung erst, wenn du dich entschieden hast — genau das macht es zur Übung.
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Drücke 100-m-Turm (Erde):
4.5152 s,44.2945 m/s,981 J/kg. Stelle nun die Fallbeschleunigung auf die1.62des Mondes und lass die Höhe unverändert — die Aufprallgeschwindigkeit bricht auf18 m/sein. Wie hoch müsste der Fall auf dem Mond sein, um genauso hart aufzuschlagen, und welche Zeile verrät dir, wann du da bist?Antwort anzeigen
Ungefähr605.5 m, sechsmal die Höhe bei einem Sechstel der Schwerkraft. Die entscheidende Zeile ist die dritte: die kinetische Energie pro Kilogramm istg·hund sonst nichts, also heißt981 J/kgzu treffen dasselbe wie die Geschwindigkeit zu treffen. Bei605.5und1.62steht dort980.91 J/kgund44.2924 m/s, gegenüber981und44.2945auf der Erde. Der Fall dauert jetzt27.341 sstatt4.5152 s— sechsmal so lange, bei gleicher Endgeschwindigkeit, denn schwache Schwerkraft braucht Strecke für das, was starke schnell erledigt. -
Ein echter Fallschirmspringer hört bei rund
55 m/sauf, schneller zu werden. Ab welcher Fallhöhe meldet diese Seite eine Geschwindigkeit, die kein fallender Mensch erreicht?Antwort anzeigen
Zwischen154 mund155 m:154ergibt54.968 m/s,155ergibt55.1462 m/s. Diese Schwelle liegt niedriger, als die meisten vermuten, und alles darüber ist eine Antwort über das Vakuum, nicht über Luft. Danach wächst der Abstand rasch: bei1000 mmeldet die Seite140.0714 m/s, das Zweieinhalbfache einer Geschwindigkeit, die ein fallender Körper in Luft überhaupt nicht überschreiten kann.
Aufgabe vollständig gelöst
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Einen Stein aus 100 m fallen lassen mit g = 9,81 m/s² 5 Schritte
Lassen Sie einen Stein aus 100 m Höhe mit g = 9,81 m/s² fallen. Bestimmen Sie die Fallzeit, die Aufprallgeschwindigkeit und die Energie pro Kilogramm — ermitteln Sie dann, wo im Fallverlauf die Halbierungspunkte liegen, denn keiner von beiden liegt bei der Hälfte der Zeit.
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Der zurückgelegte Weg hängt quadratisch von der Zeit ab; die Höhe mit null gleichzusetzen und aufzulösen ist bereits der gesamte erste Schritt.
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Die Geschwindigkeit ist die Ableitung, ausgewertet zu diesem Zeitpunkt. Eine Umrechnung lohnt sich: 159 km/h ist Autobahngeschwindigkeit — aus zehn Stockwerken Höhe.
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Das Einsetzen von v² = 2gh in die kinetische Energie lässt sowohl die Masse als auch die Geschwindigkeit verschwinden, sodass nur Fallhöhe und Erdbeschleunigung übrig bleiben. Das ist direkt zurückgegebene potenzielle Energie, weshalb die Zahl glatt 981 beträgt.
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Nun zum Verlauf des Falls. Drückt man die Höhe als Bruchteil der Gesamthöhe aus, wird die Zeitabhängigkeit zu einem einfachen Quadrat, und Quadrate sind unerbittlich: Die Hälfte der verstrichenen Zeit bringt erst ein Viertel der Strecke.
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Die Luft verändert nicht nur das Tempo, sondern das Ziel. Bei einer Endgeschwindigkeit von 55 m/s ergibt die geschlossene Formel 38,0 m/s — 14 % weniger Geschwindigkeit, aber 26 % weniger Energie, da die Energie quadratisch eingeht; und dies ist die eine Zeile, in der die Masse wieder auftauchen würde.
Antwort
4,5152 s, 44,29 m/s und genau 981 J/kg. Dieser letzte Wert ist gh und sonst nichts: Die Masse kürzt sich zweifach heraus, einmal bei der Gewichtskraft und einmal bei der Trägheit, sodass ein Kieselstein und ein Klavier mit derselben Energie pro Kilogramm ankommen. Und der Fall ist ausgesprochen spätlastig — nach der Hälfte der Zeit hat der Stein ein Viertel der Fallstrecke zurückgelegt, und die halbe Höhe erreicht er erst bei 71 % der Zeit. Die Hälfte des Weges legt er in den letzten 29 % der Zeit zurück; deshalb ist ein Sturz, der von oben überlebbar aussieht, es nicht.
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Lernpfad
Energie statt Kräfte
Quellen (3)
- Where “distance goes as the square of the time” comes from — the result the whole panel rests on: Galileo Galilei, Two New Sciences, including Centers of Gravity & Force of Percussion, translated by Stillman Drake. University of Wisconsin Press, 1974. ISBN 0-299-06404-2. First published as the Discorsi in 1638.
- The 9.80665 m/s² the gravity field is built around, and where that exact figure was fixed: Bureau International des Poids et Mesures, Declaration 2 of the 3rd CGPM (1901): “The value adopted in the International Service of Weights and Measures for the standard acceleration due to gravity is 980.665 cm/s².”
- The “no air” assumption tested where there genuinely is none: NASA, “The Apollo 15 Hammer-Feather Drop.” Commander David Scott released a 1.32 kg geological hammer and a 0.03 kg falcon feather from about 1.6 m; both struck the surface together.