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Achterbahn-Energiesimulator

Ziehe den Positionsregler entlang der Strecke. Energieerhaltung bestimmt die Geschwindigkeit an jedem Punkt.

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Lektion

Die Theorie — Achterbahn-Energiesimulator

Auf einer reibungsfreien Bahn bleibt die mechanische Energie erhalten: Die Summe aus kinetischer und potenzieller Energie ist überall gleich. Dieser einzige Satz legt die Geschwindigkeit an jedem Punkt der Fahrt allein aus der Ausgangshöhe fest — ganz ohne Kräfte, Zeitverlauf oder die Form des Hügels zu benötigen.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

h
die Höhe über dem Bezugsniveau. Welche Ebene du als Null wählst, ändert nie ein Ergebnis: in die Formel geht nur die Differenz h₀ − h ein, sodass ein verschobenes Bezugsniveau beide Höhen zugleich verschiebt.
v
die Geschwindigkeit, die die Anzeige aus der Energie statt aus einer Kraft ableitet.
KE
kinetische Energie, ½mv².
PE
potenzielle Energie, mgh — 49.05 J zu Beginn, aus 1 × 9.81 × 5.
μ
der Reibungskoeffizient. Wird er über Null eingestellt, entzieht er unterwegs Energie, wobei die entzogene Menge von der zurückgelegten Strecke und nicht vom Höhenverlust abhängt.

Woher die Formel kommt

  1. Der Energiesatz besagt, dass die Gesamtsumme konstant ist: ½mv² + mgh = ½mv₀² + mgh₀.
  2. Jeder Term enthält denselben Faktor m, sodass man ihn herauskürzen kann: ½v² + gh = ½v₀² + gh₀. Die Masse ist verschwunden — und zwar für immer.
  3. Nach der Geschwindigkeit aufgelöst: v = √(v₀² + 2g(h₀ − h)). Es geht nur die Höhendifferenz ein — weshalb die Anzeige auch eine Startenergie pro Masseneinheit von 49.05 J/kg statt einer Kraft angibt.
Setzt voraus
Eine Punktmasse, die auf einer zwangsgeführten Bahn gleitet — ohne Rotation, ohne Luftwiderstand und mit ausreichender Geschwindigkeit, um auf den Schienen zu bleiben. Nichts hier prüft, ob der Wagen über einer Kuppe tatsächlich die Bahn verlassen würde.
Versagt, wenn
Es lohnt sich, Schritt 2 zu testen, anstatt ihm einfach zu vertrauen — und diese Seite ermöglicht genau das. Auf der Hälfte der Strecke zeigt die Anzeige für die Geschwindigkeit 7.8912 m/s an; ändert man die Masse von 1 kg auf 500 kg, zeigt sie immer noch 7.8912 m/s an — völlig identisch —, während KE von 31.135 J auf 15,568 J springt. Schwerere Wagen tragen mehr Energie in sich und fahren dennoch nicht schneller. Auch Reibung ändert daran nichts: Der Verlust pro Masseneinheit beträgt μgs, was ebenfalls massenunabhängig ist.

Erst mit Reibung beginnt die Form der Bahn zu zählen 🖖

Auf einer reibungsfreien Bahn zählt nur der Höhenunterschied; wie die Bahn zwischen Start und Ziel verläuft, ist unerheblich. Genau diese Annahme trägt das Ergebnis. Mit dem μ-Regler dieses Werkzeugs kannst du sie außer Kraft setzen. Bei Reibung beträgt der Verlust μg mal die zurückgelegte Strecke. Damit hängt er vom Verlauf der Bahn ab und nicht nur von der Höhe. In der Voreinstellung zur Reibung fällt der Wagen auf einer 13,55 m langen Bahn um 5 m und erreicht 9,209 m/s. Bei einem geradlinigen Fall um 5 m und demselben Wert μ = 0,05 sind es 9,654 m/s. Gleiche Starthöhe, gleiche Zielhöhe: Allein der längere Weg kostet 0,445 m/s. Besonders deutlich zeigt das die Halfpipe-Voreinstellung. Ohne Reibung steigt der Wagen wieder bis auf seine Ausgangshöhe und hat dort exakt 0,000 m/s übrig. Die beiden waagerechten Abschnitte in der Mitte verlängern den Weg um 4,00 m, ohne einen Höhenunterschied beizutragen. Deshalb bleibt der Wagen schon bei der geringsten einstellbaren Reibung auf halber Höhe stehen.

Die Geschwindigkeit hängt nur von der Höhe ab 🖖

Auf einer reibungsfreien Bahn hängt die Geschwindigkeit der Kugel an jedem Punkt allein davon ab, wie weit sie von ihrem Start abgesunken ist — die Form der Bahn dazwischen spielt keine Rolle. Ein fast senkrechter Sturz und ein langer, sanfter Abhang auf dieselbe Tiefe liefern exakt dieselbe Geschwindigkeit. Deshalb kann die Kugel nie höher steigen als ihr Ausgangspunkt: dafür fehlte ihr die Energie. Mit Reibung entzieht jeder Meter Bahn still etwas Energie als Wärme.

Echte Loopings sind nicht kreisrund 🖖

Ein Achterbahn-Looping sieht rund aus, ist es aber fast nie — er ist eine tropfenförmige Klothoide, eine Kurve, deren Radius sich nach oben hin verengt. Ein wirklich kreisrunder Looping, schnell genug, um oben auf der Bahn zu bleiben, würde die Fahrgäste unten mit brutalen g-Kräften erdrücken. Der deutsche Ingenieur Werner Stengel führte 1976 den Klothoiden-Looping ein: kleiner Radius oben (wenig Tempo nötig), sanfter Radius unten. Gleiche Energieerhaltung — klügere Geometrie.

Übung

Prüfe dich selbst

Sage die Antwort zuerst voraus und probiere es dann oben aus. Zeige die Lösung erst, wenn du dich entschieden hast — genau das macht es zur Übung.

  1. Das Massenfeld steht auf 1 kg. Stelle es auf 500 kg und sage voraus, was mit der Geschwindigkeit auf der Hälfte der Strecke passiert.

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    Überhaupt nichts — sie bleibt bei 7.8912 m/s. Jeder Term in der Energiegleichung enthält einen Faktor m, sodass dieser sich herauskürzt und die Geschwindigkeit nur von der zurückgelegten Höhe abhängt. Die kinetische Energie ändert sich jedoch, von 31.135 J auf 15,568 J: Ein schwererer Wagen enthält weit mehr Energie und fährt trotzdem nicht schneller.

  2. Zu Beginn zeigt die Anzeige PE 49.05 J und KE 0 J. Wo erreicht die Achterbahn ihre höchste Geschwindigkeit und wie hoch ist die Gesamtenergie dann?

    Antwort anzeigen
    Am tiefsten Punkt der Strecke, und der Gesamtwert beträgt immer noch 49.05 J — das ist der gesamte Inhalt des Energieerhaltungssatzes. PE wurde in KE umgewandelt, weder erzeugt noch vernichtet. Ist die Reibung gleich null, ändert sich die Summe nie, egal wie viele Hügel die Bahn überquert.

  3. Erhöhe den Reibungskoeffizienten über null. Hängt die verlorene Energie davon ab, wie weit die Achterbahn gefahren ist, oder davon, wie viel Höhe sie verloren hat?

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    Von der zurückgelegten Strecke. Die Tabelle gibt den Verlust als μgs an, wobei s die Streckenlänge ist — weshalb die Anzeige die Strecke getrennt von der Höhe erfasst. Ein langes flaches Stück kostet Energie, während ein senkrechter Abfall derselben Länge fast keine kostet. Beachte, dass dies ebenfalls massenunabhängig ist, sodass die Reibung die vorherige Antwort nicht widerlegt.

Aufgabe vollständig gelöst

  1. Ein 1-kg-Wagen, der aus der Ruhe bei 5 m auf der Bahn losgelassen wird 6 Schritte

    Ein Wagen mit einer Masse von 1 kg wird aus der Ruhe bei 5 m auf der Strecke 0,5; 2,3; 3,6; 5,1; 7,4; 9,2; 10,5 losgelassen. Bestimmen Sie, wo er endet – und es ist nicht das ferne Ende.

    1. Ohne Reibung wird die Gesamtenergie durch die Ausgangshöhe festgelegt und ändert sich nie. Ein Kilogramm und 5 Meter sind alle Eingaben, die diese Aufgabe hat.

    2. Nach der Geschwindigkeit umgestellt, wird dieselbe Aussage zu einer Einschränkung: Der Wagen kann sich nur dort befinden, wo die Quadratwurzel reell ist. Das ist bereits die gesamte Lösung, noch bevor irgendeine Strecke gezeichnet wird.

    3. Lesen Sie das Maximum der Strecke ab. Der Gipfel liegt über dem Startpunkt, was die Frage entscheidet – und beachten Sie, dass der Abfall auf 1 m dahinter gar nicht erst in die Argumentation eingeht.

    4. Bestimmen Sie den Umkehrpunkt exakt. Er liegt auf dem Anstieg von (2,3) nach (3,6), wo das gerade Segment die Ausgangshöhe wieder kreuzt.

    5. Die Pfadlänge spielt eine Rolle, weil Reibung entlang dieser wirken würde und nicht entlang der Waagerechten. Sechs Segmente, sechs Anwendungen des Satzes von Pythagoras.

    6. Zwei Geschwindigkeiten schließen die Betrachtung ab: die höchste Geschwindigkeit, die der Wagen auf seiner kurzen Fahrt tatsächlich erreicht, und die Startgeschwindigkeit, die den Rest der Fahrt freischalten würde.

    Antwort

    Bei x = 2,667 m kehrt der Wagen um und erreicht den restlichen Teil der Bahn nie. Der Hügel bei x = 3 ist 6 m hoch, der Wagen ist aber auf 5 m gestartet. Dafür reicht die Energie schlicht nicht aus. Hinter diesem Punkt zeigt die Anzeige an jeder Position angehalten an; das Werkzeug bestätigt damit das Ergebnis, statt zu versagen. Bemerkenswert ist, dass du dafür überhaupt keine Simulation brauchst. Aus der Energieerhaltung wird statt einer Differentialgleichung die Ungleichung h ≤ h₀. Welche Form die Bahn zwischen dem Start und dem Hindernis hat, spielt keine Rolle. Gib dem Wagen oben eine Geschwindigkeit von 4,43 m/s, und die gesamten 20,972 m werden zugänglich, einschließlich der Durchfahrt durch die Senke bei x = 5 mit 9,90 m/s. Bei einer geringeren Geschwindigkeit bleibt ihm dieser ganze Teil der Bahn verwehrt.

Lernpfad

Energie statt Kräfte

Führt zu momentum-collision

Quellen (1)

· Aktualisiert

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

  • Klassisch - Aus 5 m Höhe losgelassen, kehrt der Wagen bei x = 2,667 m um: Der Hügel bei x = 3 ist 6 m hoch, und dafür reicht die Energie nicht. Die Aufgabe mit vollständigem Rechenweg weiter unten zeigt das ganz ohne Simulation.
  • Große Fallhöhe - Ein Höhenverlust von 8 m auf 16,45 m reibungsfreier Strecke. Der Wagen überquert jeden Hügel und erreicht 12,528 m/s, die höchste Geschwindigkeit auf dieser Seite.
  • Halfpipe - Drei Punkte der Bahn liegen auf Höhe null. Deshalb durchfährt der Wagen den 4,00 m langen waagerechten Boden mit konstanten 9,905 m/s und steigt anschließend wieder auf exakt 5 m. Dort sind noch 0,000 m/s übrig.
  • Mit Reibung - Bei μ = 0,05 gehen auf der 13,55 m langen Bahn 6,65 J/kg verloren. Deshalb erreicht der Wagen nur 9,209 m/s statt der 9,905 m/s, die er ohne Reibung erreichen würde.