Photoelektrischer Effekt & Grenzfrequenz

Beleuchte ein Metall mit einfarbigem Licht und miss, was herauskommt. Oder führe das Millikan-Experiment mit den Spektrallinien einer Quecksilberdampflampe durch. Die Tabelle unter der Zeichnung berechnet die Photonenenergie, das schnellste Elektron und die Stromstärke.

Rechenbeispiel — Photoelektrischer Effekt & Grenzfrequenz

Frequenz	740,9 THz
Photonenenergie	3,064 eV
Austrittsarbeit	2,750 eV
Grenzfrequenz	664,9 THz
Grenzwellenlänge	450,9 nm
Maximale kinetische Energie	0,314 eV
Gegenspannung	0,314 V
Schnellstes Elektron	332 km/s

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Photoelektrischer Effekt & Grenzfrequenz

Fällt Licht auf ein Metall, kann es Elektronen aus dessen Oberfläche befreien. Das ist der photoelektrische Effekt. Das Licht trifft in Form von Photonen mit der Energie E = hf ein. Jedes davon kann seine gesamte Energie an ein einzelnes Elektron abgeben. Die Befreiung des Elektrons kostet die Austrittsarbeit φ des Metalls. Das schnellste Elektron entkommt also mit K = hf − φ. Unterhalb der Grenzfrequenz f₀ = φ ÷ h löst sich so gut wie nichts. Diese Grenze ist nur am absoluten Nullpunkt scharf. Wärme sorgt für einen schwachen Ausläufer darunter. Die Gegenspannung V_s ist die umgekehrte Spannung, die das schnellste Elektron wieder zurücktreibt, sodass eV_s = K gilt. Genau auf diese Weise wird K gemessen.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

f: die Frequenz des Lichts, c ÷ λ, in THz. Sie allein bestimmt die Energie jedes Photons
φ: die Austrittsarbeit in eV. Das, was das Metall verlangt, um ein einziges Elektron freizugeben
K: die kinetische Energie des schnellsten Elektrons, hf − φ. Unabhängig davon, wie hell das Licht ist
V_s: die Gegenspannung in Volt. Zahlenmäßig gleich K in Elektronenvolt
η: die Quantenausbeute, also der Anteil der Photonen, die ein Elektron befreien. Sie skaliert ausschließlich die Stromstärke

Versagt, wenn: Austrittsarbeiten hängen sowohl von der Oberfläche als auch vom Element ab. Die hier für Natrium verwendeten 2,75 eV stammen aus Michaelsons Daten von 1977. Viele Lehrbücher drucken 2,28 oder 2,36 eV ab. Bei 2,28 eV würde bereits grünes Licht Elektronen aus Natrium befreien. Gemessene Werte streuen. Das liegt zum Teil an der Kristallfläche und zum Teil daran, dass eine Oberfläche nach Kontakt mit Luft eine andere ist. Aus diesem Grund schnitt Millikan sein frisches Metall direkt im Vakuum an.

Helleres Licht erzeugt mehr Elektronen, nicht schnellere 🖖

Klick auf Violett auf Natrium und danach auf Doppelt so hell. Die Stromstärke verdoppelt sich von 326,4 auf 652,8 nA. Das schnellste Elektron besitzt beide Male eine Energie von 0,314 eV und bewegt sich jedes Mal mit 332 km/s. Die Wellenvorstellung des Lichts sagt etwas anderes voraus. Eine stärkere Welle schüttelt die Elektronen heftiger und schleudert sie schneller heraus. Einsteins Erklärung lautet, dass Licht in Paketen ankommt, von denen jedes die Energie hf trägt. Helleres Licht bedeutet mehr Pakete pro Sekunde. Jedes Paket befreit weiterhin höchstens ein einziges Elektron. Es übergibt ihm das, was nach dem Bezahlen der Austrittsarbeit übrig bleibt. Das ist Einsteins Gleichung von 1905, K = hf − φ. Für dieses Ergebnis erhielt er den Nobelpreis, nicht für die Relativitätstheorie.

Unterhalb einer Grenze befreit keine Lichtmenge ein einziges Elektron 🖖

Klick auf Rot auf Natrium. Die Lampe ist zehnmal so leistungsstark wie die violette und liefert sechzehnmal so viele Photonen. Dennoch liegt der Strom bei 0,0 nA. Das gilt für jede Anodenspannung und jede Quantenausbeute, die die Regler zulassen. Jedes rote Photon trägt 1,907 eV. Natrium lässt ein Elektron aber nicht für unter 2,75 eV los. Bei normaler Lampenhelligkeit bündeln zwei Photonen ihre Energie praktisch nie auf ein einzelnes Elektron. Dafür bräuchte man einen fokussierten gepulsten Laser. Somit befreien 3,27 × 10¹⁶ schwache Photonen in der Sekunde exakt so viele Elektronen wie ein einziges: nämlich gar keines. Der Wellenlängenbalken unter dem Schieberegler schraffiert alles jenseits der Grenze von Natrium bei 450,9 nm. Das rückt das gesamte sichtbare Spektrum mit Ausnahme von Violett außer Reichweite. Klick auf Grün auf Cäsium. Hier funktioniert grünes Licht, weil Cäsium ein Elektron schon für 2,14 eV abgibt. Darum nutzten so viele Fotozellen Cäsium. Meist geschah das in Form einer Verbindung wie Silber-Sauerstoff-Cäsium oder Cäsiumantimonid. Deren Empfindlichkeit reicht noch weiter in den roten Bereich als die des reinen Metalls.

Jedes Metall liefert dieselbe Steigung, und diese ist das Plancksche Wirkungsquantum 🖖

Das untere Diagramm trägt die Gegenspannung für alle sechs Metalle über der Frequenz auf. Du siehst jeweils eine Gerade, und alle sechs verlaufen parallel. Das Metall bestimmt lediglich, wo seine Linie die Nullachse schneidet. Die Steigung beträgt für jedes Metall h ÷ e. Klick auf Millikan an Natrium. Fünf Quecksilberlinien, bei denen jede Gegenspannung mit ein wenig Rauschen gemessen wird. Eine Ausgleichsgerade durch diese Punkte liefert h = 6,610 × 10⁻³⁴ J·s. Das liegt 0,24 % unter dem definierten Wert. Robert Millikan veröffentlichte 1916 eine solche Messung. Nach eigenen späteren Angaben erwartete er, Einsteins Gleichung zu widerlegen. Seine ermittelte Steigung stimmte mit dem Planckschen Wirkungsquantum aus Strahlungsmessungen überein. Dennoch bezeichnete er im selben Artikel die Theorie hinter der Gleichung als unhaltbar.

Aufgabe vollständig gelöst

Ultraviolettes Licht auf einer Zinkplatte 5 Schritte
Die Linie einer Quecksilberlampe bei 253,65 nm fällt auf eine Zinkplatte, deren Austrittsarbeit 4,33 eV beträgt. Bestimme die Photonenenergie, die Energie und Geschwindigkeit des schnellsten Elektrons, die Gegenspannung sowie die längste Wellenlänge, die noch ein Elektron aus Zink befreit. Klick auf UV auf Zink, um jeden Wert zu prüfen.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Die Photonenenergie in Elektronenvolt mit hc = 1239,84 eV·nm:
  
  $E = \frac{h c}{λ} = \frac{1239 . 84 eV nm}{253 . 65 nm} = 4.888 eV$
2. Zieh die Austrittsarbeit ab, um die Energie des schnellsten Elektrons zu erhalten:
  
  $K_{m a x} = E - φ = 4.888 - 4.33 = 0.558 eV$
3. Die Gegenspannung ist exakt diese Energie in Volt:
  
  $V_{s} = \frac{K _{m a x}}{e} = 0.558 V$
4. Die Geschwindigkeit folgt aus K = ½mv², wobei K in Joule angegeben wird:
  
  $v = \frac{2 K _{m a x}}{m _{e}} = \frac{2 \cdot 0 . 558 \cdot 1 . 602 \times 1 0 ^{- 19}}{9 . 109 \times 1 0 ^{- 31}} = 4.43 \times 1 0^{5} m/s$
5. Die Grenzwellenlänge liegt dort, wo die Photonenenergie der Austrittsarbeit entspricht:
  
  $λ_{0} = \frac{h c}{φ} = \frac{1239 . 84}{4 . 33} = 286.3 nm$
Antwort

Das Photon trägt 4,888 eV. Das schnellste Elektron entkommt mit 0,558 eV bei 443 km/s, und eine Gegenspannung von 0,558 V hält es auf. Zink reagiert auf nichts, was langwelliger als 286,3 nm ist. Das liegt im ultravioletten Bereich. Sonnenlicht befreit selbst im Freien so gut wie nichts aus Zink. Ozon filtert fast alles unterhalb von etwa 295 nm heraus, während Zink 286,3 nm oder noch kürzere Wellenlängen benötigt.

$K_{m a x} = 0.558 eV, λ_{0} = 286.3 nm$

Lernpfad

Quantenmechanik: Materie als Wellen

Quellen (3)

Einstein's paper, which proposes that light is absorbed in quanta of energy hf and derives the equation this page plots: A. Einstein, "Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt." Annalen der Physik 322(6), 1905, pp. 132-148. DOI 10.1002/andp.19053220607
Millikan's measurement of h from the slope of the stopping potential against frequency, the experiment the Millikan mode reproduces: R. A. Millikan, "A Direct Photoelectric Determination of Planck's h." Physical Review 7(3), 1916, pp. 355-388. DOI 10.1103/PhysRev.7.355
Where the six work functions come from, and why sodium's differs from many textbooks: H. B. Michaelson, "The work function of the elements and its periodicity." Journal of Applied Physics 48(11), 1977, pp. 4729-4733. DOI 10.1063/1.323539

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.