Die Spektrallinien des Wasserstoffs & die Rydberg-Formel

Wähle eine Serie und einen Übergang. So siehst du, wo der Wasserstoff seine Linien platziert und wie viele davon dein Auge tatsächlich erfassen kann.

Rechenbeispiel — Die Spektrallinien des Wasserstoffs & die Rydberg-Formel

Wellenlänge (Vakuum)	656,47 nm
Photonenenergie	1,889 eV
Wellenlänge in Luft	656,29 nm
Bereich	Sichtbar
Seriengrenze (Vakuum)	364,71 nm
Grenzenergie	3,400 eV
Linien in diesem Bereich (alle Serien)	7

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Die Spektrallinien des Wasserstoffs & die Rydberg-Formel

Das Elektron des Wasserstoffs kann nur bestimmte Energieniveaus einnehmen. Ein Sprung zwischen zweien davon emittiert oder absorbiert genau ein Photon, das exakt die Energiedifferenz trägt: E = hc/λ. Alle Sprünge, die auf demselben unteren Niveau enden, bilden eine Serie – Lyman bei n = 1, Balmer bei n = 2, Paschen bei n = 3. Darum siehst du die Linien in Familien. Anstatt sich gleichmäßig zu verteilen, verdichten sie sich zu einem Grenzwert hin.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

n₁: das untere Niveau, nach dem die Serie benannt ist
n₂: das obere Niveau, von dem das Elektron herabfällt
R∞: die Rydberg-Konstante, die einzige gemessene Zahl in der gesamten Formel

Setzt voraus: Ein einzelnes Elektron und ein ruhender Atomkern. Deshalb benötigt dieselbe Formel eine Korrektur für Deuterium und eine andere Konstante für Helium. Die Seite berechnet dir Vakuum- und Luftwellenlänge getrennt. Luft bremst Licht nämlich um etwa ein 3.700stel ab. Eine vom Boden aus katalogisierte Linie und eine vom Satelliten aus erfasste sind also dieselbe Linie, tragen aber unterschiedliche Zahlen.

Zwei ganze Zahlen und eine Konstante liefern dir das gesamte Spektrum 🖖

Die vier hellen Linien, die ein Schulspektroskop beim Wasserstoff auflöst, stammen von einem Elektron, das von n₂ = 3, 4, 5 und 6 auf n₁ = 2 zurückfällt. Im Vakuum liegen sie bei 656,47, 486,27, 434,17 und 410,29 nm: rot, türkis, blau, violett. Die Rydberg-Konstante liefert den Maßstab, die beiden ganzen Zahlen wählen die Linie aus. Mehr steckt nicht dahinter. Ein erdgebundener Spektrograph misst für die erste dieser Linien 656,29 nm, weil der Brechungsindex der Luft die Wellenlänge verkürzt. Die Zeile Wellenlänge in Luft gibt genau diesen Wert aus.

Setze n₁ = 1 und ändere sonst nichts. Durch diese eine veränderte Zahl springt die betrachtete Linie von 656,47 nm auf 102,57 nm. Gleiches Atom, gleiche Formel, aber im sichtbaren Bereich bleibt nichts mehr übrig. Die Zeile Bereich zeigt für jedes wählbare n₂ Ultraviolett an. Senke n₂ auf 2 und du erhältst Lyman-Alpha bei 121,57 nm. Das ist die längste Linie dieser Serie. Sie liegt immer noch 258 nm vor dem violetten Bereich. Die Zeile Wellenlänge in Luft bleibt durchgehend leer. Da molekularer Sauerstoff die gesamte Lyman-Serie absorbiert, existiert keine Luftwellenlänge. Diese Linien misst man von oberhalb der Atmosphäre aus.

Wie viele Linien du sehen kannst, entscheidet dein Auge 🖖

Fünf Linien, an einer Fenstergrenze von 390 nm. Zieh diese Grenze auf 380 und die Zählerzeile zeigt 7. Schieb sie auf 370, erhöhe "Zeige Linien bis n₂" auf 16, und du erhältst 14. Alles Balmer: Nichts anderes vom Wasserstoff landet in diesem Fenster, denn Lyman endet bei 91,18 nm und keine Paschen-Linie ist kürzer als 820,59 nm.

Die Linien stauen sich an der Balmer-Grenze bei 364,71 nm, und es gibt keine letzte. Zwischen 365 und 750 nm platziert Wasserstoff 68 Linien, wofür n₂ bis 70 nötig ist; das Tool zeichnet höchstens 40, also stoppt die Zählung bei 38. Der Rest ist immer noch da, dicht gedrängt im letzten Nanometer.

Die Seriengrenze ist eine Ionisierungsenergie 🖖

Ist Balmer ausgewählt, zeigt die Zeile Grenzenergie 3,400 eV. Klicke auf n₁ = 1 und der Wert ändert sich zu 13,598 eV. Das ist die Ionisierungsenergie von Wasserstoff aus dem Grundzustand: die nötige Arbeit, um das Elektron von n = 1 in den ungebundenen Zustand zu befördern. Die Seriengrenze ist dieselbe Menge, abgelesen als Photon.

Der Faktor zwischen den beiden beträgt 4. Er ist exakt und nicht bloß gemessen. Die Grenzenergie ist hcR_H/n₁². Ein Sprung von n₁ = 2 zu n₁ = 1 multipliziert sie also mit 2². Die Zeile gibt drei Nachkommastellen aus. Teilst du folglich die angezeigten Werte, erhältst du 3,9994. Die absolute Exaktheit steckt in der Formel, nicht in der Rundung.

Jenseits der Grenze existieren keine Linien mehr. Beobachte die bernsteinfarben gestrichelte Kante auf dem Streifen, während du n₂ erhöhst: Von der langwelligen Seite drängen sich Balken darauf zu, ohne sie jemals zu überschreiten. Ein Photon mit mehr als 3,400 eV kann von einem Atom im Zustand n = 2 zwar noch absorbiert werden, doch es ionisiert nun, anstatt das Elektron nur anzuheben. Der Überschuss wird zur kinetischen Energie des freien Elektrons. Diese kann absolut jeden Wert annehmen. Aus dem Lattenzaun einzelner Linien wird an dieser Stelle ein durchgehendes Band.

Aufgabe vollständig gelöst

Eine Linie und das Photon, das noch einen Schritt weitergeht 7 Schritte
Ein Laborspektrum von Wasserstoff zeigt eine in Luft gemessene Linie bei 486,13 nm. Bestimme den Übergang. Entscheide danach, ob ein Photon mit 3,00 eV ein Wasserstoffatom ionisieren könnte, das sich bereits in genau diesem unteren Niveau befindet. Erkläre anschließend, was stattdessen ein Photon mit 4,00 eV bewirken würde.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Die Rydberg-Formel enthält zwei ganze Zahlen und du kennst bereits eine davon. Eine sichtbare Wasserstofflinie bedeutet, dass das Elektron auf n₁ = 2 gelandet ist. Die einzige Unbekannte ist also, von wo es herunterfiel.
  
  $\frac{1}{λ} = R_{H} (\frac{1}{n _{1}^{2}} - \frac{1}{n _{2}^{2}}), n_{1} = 2$
2. Bevor du etwas umstellst, kümmere dich um das Medium. Diese 486,13 nm wurden in Luft gemessen. Luft bremst das Licht, weshalb die Linie kürzer ankommt, als sie ausgesandt wurde. Die Formel ist jedoch für das Vakuum geschrieben. Multipliziere mit dem Brechungsindex 1,0002763 und du erhältst 486,266 nm. Überspringst du das, liefert die folgende Rechnung 4,0018. Das ist weder eine ganze Zahl noch ein Übergang.
  
  $λ = n_{air} λ^{'} = 1.0002763 \times 486.13 = 486.266 nm$
3. Stelle nun um. Aus 1/λ = R_H(1/4 − 1/n₂²) wird 1/n₂² = 0,25 − 1/(λR_H). Mit der Vakuumwellenlänge liefert das n₂ = 4,0000989.
  
  $\frac{1}{n _{2}^{2}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{λ R _{H}} = 0.25 - \frac{1}{486.266 \times 1 0 ^{- 9} \times 1.09677576 \times 1 0 ^{7}}$
4. Es ist die 4. Der Nachkommateil ist dabei einen Moment der Beachtung wert, denn hier trügt der Schein. Das Rydberg-Modell stößt hier nicht an seine Grenzen. Setze den ungerundeten Luftwert des Werkzeugs von 486,138 nm in die gleichen drei Zeilen ein, und n₂ ergibt exakt 4,0000000. Die 0,0000989 entstehen durch die auf zwei Dezimalstellen gerundeten 486,13, die dir vorgegeben wurden. Das Modell hat sehr wohl seine eigene Grenze bei etwa einem Teil in 10⁵, bedingt durch die Feinstruktur und die Lamb-Verschiebung, von denen es nichts weiß. Bei dieser Genauigkeit kannst du das allerdings nicht sehen.
  
  $n_{2} = 4.0000989 \Rightarrow n_{2} = 4 (λ^{'} = 486.138 \Rightarrow n_{2} = 4.0000000)$
5. Nun zur Energie. E = hc/λ angewendet auf die Vakuumwellenlänge ergibt 2,550 eV, was mit der Zeile Photonenenergie übereinstimmt. Das entspricht exakt einem Photon dieser Linie. Es ist die Energie, die das Atom aussendet, wenn es von n = 4 auf n = 2 fällt, oder die es aufnimmt, wenn es den umgekehrten Weg geht. Es ist nicht die Energie, die man aufwenden muss, um das Elektron komplett zu entfernen.
  
  $E = \frac{h c}{λ} = 2.550 eV$
6. Es zu entfernen, entspricht der Seriengrenze. Lässt du n₂ gegen unendlich laufen, verschwindet 1/n₂². Übrig bleibt hcR_H/n₁², was für n₁ = 2 genau 3,400 eV ergibt. Die Zeile Grenzenergie gibt diesen Wert aus. Jede Balmer-Linie trägt weniger Energie als das. Sie drängen sich alle auf diesen Wert zu, ohne ihn jemals zu erreichen.
  
  $E_{\infty} (n_{1} = 2) = \frac{h c R _{H}}{2 ^{2}} = 3.400 eV$
7. Das Photon mit 3,00 eV scheitert also, und zwar um genau 0,400 eV. Bei dieser Energie gibt es keinen Zustand, in dem das Elektron landen könnte. Auch reicht die Energie nicht aus, um es zu befreien. Das Atom bleibt unberührt in seinem Zustand und das Photon fliegt vorbei.
  
  $3.00 eV < 3.400 eV$
Antwort

Die Linie ist n = 4 → 2, die zweite Linie der Balmer-Serie. Es handelt sich um H-Beta bei 486,27 nm im Vakuum und 486,14 nm in Luft. Sie trägt eine Energie von 2,550 eV. Ein Photon mit 3,00 eV kann das Atom aus n = 2 nicht ionisieren, da dies 3,400 eV erfordert. Ein Photon mit 4,00 eV kann das. Die verbleibenden 0,600 eV werden zur kinetischen Energie des befreiten Elektrons. Und genau dort endet das Linienspektrum und ein Kontinuum beginnt, da dieser Überschuss absolut jeden Wert annehmen kann.

$E_{kin} = 4.00 - 3.400 = 0.600 eV$

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.