Absorptions- & Emissionslinien

Wähle eine Quelltemperatur, eine Gastemperatur und eine optische Tiefe. Du wirst sehen, wie dieselbe Spektrallinie dunkel oder hell wird oder ganz verschwindet.

Rechenbeispiel — Absorptions- & Emissionslinien

Strahldichte des Kontinuums	2,24 × 10¹³ W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
Eigene Strahldichte des Gases	7,55 × 10¹² W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
Durch das Gas transmittiert	8,25 × 10¹² W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
Vom Gas emittiert	4,77 × 10¹² W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
Beobachtete Linienstrahldichte	1,30 × 10¹³ W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
Strahldichtedifferenz	-1,49 × 10¹³ W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
Kontrast	-9,40 × 10¹² W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
Kontrast, relativ zum Kontinuum	-41,9 %

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Absorptions- & Emissionslinien

Eine Spektrallinie ist diejenige Wellenlänge, bei der ein Gas wesentlich besser absorbiert und emittiert als in der direkten Umgebung. Platziere dieses Gas vor eine Hintergrundquelle, und zwei Dinge passieren auf einmal. Es schwächt das von hinten kommende Licht um den Faktor e^−τ ab und fügt eigenes Licht hinzu. Was du am Ende siehst, ist die Summe, I = I_sourcee^−τ + B(T_gas)(1 − e^−τ) – und diese Gleichung gilt unverändert, ob die Linie nun dunkel oder hell erscheint.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

τ: optische Tiefe: wie viel vom Hintergrundlicht das Gas durchdringt, ausgedrückt als e hoch minus τ
B(T): die Helligkeit, die ein Körper der Temperatur T bei dieser Wellenlänge abstrahlt

Setzt voraus: Eine Linie, eine Gasschicht mit einheitlicher Temperatur und lokales thermodynamisches Gleichgewicht – das Gas strahlt also wie ein Körper seiner eigenen Temperatur. Eine reale Sternatmosphäre besitzt eine Temperatur, die sich mit der Tiefe ändert. Eben das verleiht echten Linien ihre Form, anstatt dass sie bloß eine einzige Tiefe aufweisen.

Ob dunkel oder hell, bestimmt der Hintergrund 🖖

Beim Öffnen der Seite siehst du die Sonne: eine 5772 K heiße Quelle, davor eine Wasserstoffwolke bei 4500 K, optische Tiefe 1, H-Alpha bei 656,28 nm. Die Prozentanzeige meldet -41,9 % und die Linie ist dunkel. Zieh den Regler für das Gas hoch auf 8000 K. Die Anzeige springt auf +127,0 %. Dieselbe Linie leuchtet nun heller als das Kontinuum zu beiden Seiten. Am Wasserstoff selbst hat sich dabei überhaupt nichts verändert. Fraunhofer kartierte die dunklen Linien der Sonne im Jahr 1814, ohne ihre Natur zu verstehen. Kirchhoff gelang dies 1859, und die Zeilen unten zeigen seine Antwort.

Die dunklen Sonnenlinien verraten uns genau das und nicht mehr. Das Gas, das sie erzeugt, hat eine Temperatur von rund 4500 K. Das reicht aus, um Wolfram zu schmelzen, unser widerstandsfähigstes Metall. Es erscheint nur deshalb dunkel, weil die Photosphäre darunter noch heißer ist. Setze das Gas wieder auf 4500 K und zieh stattdessen den Quellregler runter auf 4000 K: +53,4 %. Die Wolke, die du gerade noch als Absorber bezeichnet hättest, leuchtet auf einmal, ohne dass sie jemand angerührt hat.

Bei exakt einer Temperatur verschwindet die Linie 🖖

Es gibt genau eine Gastemperatur, bei der die Linie restlos verschwindet: die Temperatur der Quelle. Zieh den Gasregler hoch auf 5772 K, bis er mit der Quelle übereinstimmt, oder klick auf das Beispiel für die verschwindende Linie. Die Kontrastzeile zeigt 0 an, die Zeile für den relativen Kontrast darunter 0,0 %. Kein Rest in der fünfzehnten Nachkommastelle, kein Wert, der nur zu klein für die Grafik wäre: exakt null.

Das bleibt auch so, ganz gleich, was du sonst veränderst. Schieb τ auf 5. Bei dieser Dicke ersetzt die Wolke fast das gesamte Licht dahinter. Wenn du jetzt die Wellenlänge durch den gesamten Bereich von 100 nm bis 2000 nm gleiten lässt, taucht nirgendwo etwas auf.

Der Grund dafür ist das Kirchhoffsche Strahlungsgesetz. Ein Gas im lokalen thermodynamischen Gleichgewicht – das ist die Grundannahme dieses Modells – emittiert bei jeder Wellenlänge genau in dem Maße, wie es dort absorbiert. Beide Vorgänge werden von ein und derselben Temperatur bestimmt. Wenn du diese Temperatur an die der Quelle anpasst, gibt die Wolke exakt die Menge an Strahlung zurück, die sie aufnimmt. Sie absorbiert enorm und emittiert enorm, doch in dem Spektrum, das dich erreicht, fehlt jeglicher Hinweis auf ihre Existenz.

Die optische Tiefe bestimmt die Stärke, nie die Richtung 🖖

Stelle das Gas wieder auf 4500 K bei einer 5772 K heißen Quelle und spiele ein wenig mit dem τ-Regler. Am unteren Anschlag bei 0,01 zeigt die Prozentanzeige -0,7 %. Am oberen Limit von 5 steht dort -65,9 %. Das Linienzentrum hat dann zwei Drittel der Kontinuumshelligkeit eingebüßt. Jeder Wert dazwischen ist negativ. Die Linie wird durchgehend tiefer und überquert nie die Nulllinie.

Die optische Tiefe fließt in den Kontrast ausschließlich über den Faktor (1 − e^(−τ)) ein. Das ist der Bruchteil des Quelllichts, den die Wolke abfängt und durch ihr eigenes Licht ersetzt. Dieser Anteil steigt von fast null in Richtung 1 und kann niemals negativ werden. Er skaliert also den Kontrast, kann aber das Vorzeichen nicht verändern. Über das Vorzeichen bestimmen allein die Temperaturen.

Achte beim Ziehen des Reglers auf die Zahlen, nicht nur auf das Bild. Das Spektrogramm skaliert sich immer passend zur gezeichneten Linie. Dadurch sehen die flachste Einkerbung und die allertiefste exakt gleich groß aus.

Aufgabe vollständig gelöst

Wie tief die Linie reicht und wie kalt das Gas sein muss 7 Schritte
Licht verlässt eine Photosphäre mit 5772 K und durchquert eine 4500 K heiße Schicht der sterneneigenen Atmosphäre. Die Schicht ist bei H-Alpha, 656,28 nm in Luft, exakt eine optische Tiefe dick. Berechne, wie weit unterhalb des Kontinuums der Linienkern liegt. Danach betrachtest du dieselbe Physik rückwärts: Ein zweiter Stern mit derselben 5772 K heißen Oberfläche und gleicher optischer Tiefe zeigt seinen H-Alpha-Kern 25,0 % unterhalb seines Kontinuums. Wie heiß ist das absorbierende Gas?

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Das Plancksche Strahlungsgesetz verlangt vor allem anderen nach einem Exponenten. Bei fester Wellenlänge ist dieser Exponent eine Konstante geteilt durch eine Temperatur. Bei 656,28 nm ergibt hc/λk den Wert 21923,2 K. Der Exponent der Quelle ist somit 21923,2/5772 = 3,7982. Wenn du das einsetzt, erhältst du für die Strahldichte des Kontinuums 2,24 × 10¹³ W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹. Genau das steht in der Zeile für die Strahldichte des Kontinuums.
  
  $I_{0} = \frac{2 h c ^{2}}{λ ^{5} ( e ^{h c / λk T_{0}} - 1 )} = \frac{1.19104 \times 1 0 ^{- 16}}{( 6.5628 \times 1 0 ^{- 7} ) ^{5} ( e ^{3.7982} - 1 )} = 2.24 \times 1 0^{13}$
2. Das Gas gehorcht bei seiner eigenen Temperatur demselben Gesetz. 21923,2/4500 = 4,87183. Ein größerer Exponent bedeutet einen größeren Nenner und damit weniger Strahldichte: 7,55 × 10¹². Die Zeile für die eigene Strahldichte des Gases bestätigt das. Die Natur der Linie entscheidet sich bereits hier, noch bevor die optische Tiefe ins Spiel kommt. Eine kältere Oberfläche strahlt bei jeder Wellenlänge schwächer, daher kann der Kern letztlich nur dunkler als das Kontinuum werden.
  
  $B = \frac{2 h c ^{2}}{λ ^{5} ( e ^{h c / λk T} - 1 )} = \frac{1.19104 \times 1 0 ^{- 16}}{( 6.5628 \times 1 0 ^{- 7} ) ^{5} ( e ^{4.87183} - 1 )} = 7.55 \times 1 0^{12}$
3. Eine Schicht der optischen Tiefe τ macht zwei Dinge gleichzeitig. Sie lässt einen Bruchteil e^−τ des Lichts dahinter passieren, was bei τ = 1 den Wert 0,36788 ergibt. Den Rest ersetzt sie durch ihre eigene Emission, nämlich 0,63212 von B. Transmittiert 8,25 × 10¹² plus emittiert 4,77 × 10¹² ergibt 1,30 × 10¹³ in der Zeile für die beobachtete Linienstrahldichte. Diese beiden Zahlen beschreiben den gesamten Strahlungstransport durch eine solche Schicht.
  
  $I = I_{0} e^{- τ} + B (1 - e^{- τ}) = 8.25074 \times 1 0^{12} + 4.77324 \times 1 0^{12} = 1.30 \times 1 0^{13}$
4. Kontrast ist das, was der Beobachter sieht, minus dem, was er ohne das Gas gesehen hätte. Schreibe es so, wie es die Kontrastzeile tut, nämlich als (B − I₀)(1 − e^−τ). Dann findet die Subtraktion vor der Skalierung statt, und zwei gleiche Temperaturen heben sich zu einer sauberen Null auf. −1,48767 × 10¹³ mal 0,63212 ergibt −9,40 × 10¹².
  
  $Δ I = (B - I_{0}) (1 - e^{- τ}) = - 1.48767 \times 1 0^{13} \cdot 0.63212 = - 9.40 \times 1 0^{12}$
5. Dividiere durch das Kontinuum und du erhältst eine Tiefe von 41,9 %. Die Zeile darunter, Linie verschwindet bei, zeigt 5772 K. Dieser Wert ist nicht nur ungefähr richtig, sondern absolut exakt. Bei der Eigentemperatur der Quelle ist B − I₀ eine Zahl minus sich selbst. Der Kontrast ist demnach bei jeder Wellenlänge und jeder optischen Tiefe null. Eine dicke Wolke ist bei der richtigen Temperatur schlicht unsichtbar. Deshalb sind Tiefe und Richtung zwei völlig getrennte Fragen.
  
  $\frac{Δ I}{I _{0}} = \frac{- 9.40386 \times 1 0 ^{12}}{2.24278 \times 1 0 ^{13}} = - 0.419, Δ I = 0 ⟺ T = T_{0} = 5772 K$
6. Betrachten wir nun den Messwert, den dir ein Teleskop tatsächlich liefert. Das ist eine Tiefe und sonst nichts. Nennen wir die relative Tiefe d, dann gilt d = −ΔI/I₀ = (1 − B/I₀)(1 − e^−τ). Löse diese Gleichung nach der Strahldichte des Gases anstelle der Tiefe auf: B = I₀(1 − d/(1 − e^−τ)). Mit d = 0,250 und τ = 1 ergibt der Klammerausdruck 1 − 0,395495 = 0,604505 und B = 1,3558 × 10¹³. Diesen Rechenschritt nimmt dir das Werkzeug nicht ab.
  
  $d = (1 - \frac{B}{I _{0}}) (1 - e^{- τ}) \Rightarrow B = I_{0} (1 - \frac{d}{1 - e ^{- τ}}) = 2.24278 \times 1 0^{13} \times 0.604505 = 1.3558 \times 1 0^{13}$
7. Noch eine Umstellung und die Temperatur fällt heraus. Forme B = 2hc²/(λ⁵(eˣ − 1)) um zu eˣ = 1 + 2hc²/(λ⁵B). Das ergibt 73,158, womit x = ln 73,158 = 4,2926 ist. Der Exponent war die ganze Zeit über 21923,2/T, folglich ist T = 21923,2/4,2926 = 5107 K. Stellst du den Regler für die Gastemperatur auf diesen Wert, liest sich die Zeile Kontrast, relativ zum Kontinuum als −25,0 %.
  
  $e^{x} = 1 + \frac{2 h c ^{2}}{λ ^{5} B} = 73.158 \Rightarrow x = 4.2926, T = \frac{h c}{λk x} = \frac{21923.2}{4.2926} = 5107 K$
Antwort

Die 4500-K-Schicht drückt den H-Alpha-Kern 41,9 % unter das Kontinuum, auf 1,30 × 10¹³ gegenüber einem Kontinuum von 2,24 × 10¹³. Wenn du den zweiten Stern rückwärts berechnest, verlangt sein 25,0 % tiefer Kern nach einem Gas mit 5107 K. Das ist nur 665 K kälter als die Oberfläche dahinter. Die Umstellung verrät dir zudem, wann du ihr nicht mehr trauen darfst. Lässt du das Gas in Richtung des absoluten Nullpunkts fallen, strebt auch B gegen null. Der tiefste Kern, den eine optische Tiefe von 1 erzeugen kann, liegt folglich bei 1 − e⁻¹, also 63,2 % des Kontinuums. Misst du eine 70 % tiefe Linie, passt keine Gastemperatur mehr dazu. Die Wolke muss in diesem Fall zwingend dicker sein.

$T = \frac{h c / λk}{ln ( 1 + \frac{2 h c ^{2}}{λ ^{5} I _{0} ( 1 - d / ( 1 - e ^{- τ} ) )} )} = 5107 K$

Quellen (1)

Who drew the Sun's dark lines, and who explained them: J. Fraunhofer, "Bestimmung des Brechungs- und des Farbenzerstreuungs-Vermögens verschiedener Glasarten." Denkschriften der Königlichen Akademie der Wissenschaften zu München 5, 1814–15, pp. 193–226. G. Kirchhoff, "Über den Zusammenhang zwischen Emission und Absorption von Licht und Wärme." Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1859, pp. 783–787.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.