Spektrallinienverbreiterung

Stelle eine Temperatur, ein Element und eine Rotationsgeschwindigkeit ein, um zu sehen, welcher der beiden Effekte eine Spektrallinie stärker verbreitert.

Rechenbeispiel — Spektrallinienverbreiterung

Thermische Halbwertsbreite (1/e)	2,1779 × 10⁻² nm
Rotationshalbwertsbreite (max. Randverschiebung)	0 nm
Kombinierte Halbwertsbreite	2,1779 × 10⁻² nm
Kombinierte FWHM	3,6265 × 10⁻² nm

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Spektrallinienverbreiterung

Eine Spektrallinie besitzt von sich aus keine nennenswerte Breite. Die Breite, die du misst, ist die Streuung der Dopplerverschiebungen jener Atome, die sie erzeugen. Wärme verleiht jedem Atom eine zufällige Geschwindigkeit entlang deiner Sichtlinie. Die Rotation wiederum bewegt die eine Hälfte eines Sterns auf dich zu und die andere von dir weg. Beides verschmiert dieselbe Linie. Was ankommt, ist ein einziges Profil, dessen volle Halbwertsbreite genau die Zahl ist, die diese Seite berechnet.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

FWHM: die Breite der Linie dort, wo sie halb so tief ist wie in ihrer Mitte
v sin i: die Rotationsgeschwindigkeit, die du tatsächlich sehen kannst und die den Winkel der Achse verbirgt

Setzt voraus: Eine Maxwell-Verteilung der thermischen Geschwindigkeiten und ein Stern, der als starrer Körper rotiert. Beides ist nicht exakt, denn ein echter Stern rotiert an seinem Äquator schneller als an seinen Polen. Zudem addieren sich die zwei Breiten hier nur deshalb quadratisch, weil beide Profile annähernd gaußförmig sind.
Versagt, wenn: Bei hoher Dichte, wo keiner der Mechanismen auf dieser Seite ausschlaggebend ist. Kollisionen mit Nachbarteilchen unterbrechen die Emission und verbreitern die Linie um einen vom Druck abhängigen Betrag. Auf diese Weise unterscheidet man einen Weißen Zwerg von einem Riesen derselben Temperatur, was hier allerdings überhaupt nicht modelliert wird.

Die Wasserstofflinie ist 7,443-mal breiter als die von Eisen 🖖

Ein Gas bei 6000 K, eine Linie bei H-α, zwei Elemente. Die thermische 1/e-Halbwertsbreite von Wasserstoff liegt bei 2,1779 × 10⁻² nm. Klickst du auf Eisen, zeigt dieselbe Linie im selben Gas einen Wert von 2,9261 × 10⁻³ nm. In der Zeile für das Verhältnis steht 7,443, und dieser Wert ändert sich nicht. Zieh den Temperaturregler beliebig zwischen 1000 K und 50.000 K hin und her oder verschiebe die Wellenlänge über den gesamten sichtbaren Bereich. Beide Kurven schwellen an und schrumpfen gemeinsam, doch diese eine Zahl bleibt starr.

Die Temperatur geht als √T und die Wellenlänge als λ in die Rechnung ein. Beide Faktoren multiplizieren die zwei Breiten gleichermaßen, weshalb sie sich bei der Division herauskürzen. Übrig bleibt √(55,845/1,008) = 7,443. Das ist schlicht die Quadratwurzel des Massenverhältnisses. Ein Eisenatom ist 55-mal schwerer als ein Wasserstoffatom und trägt bei 6000 K dieselbe kinetische Energie. Folglich driftet es entlang deiner Sichtlinie 7,443-mal langsamer und dopplerverschiebt sein Photon 7,443-mal weniger weit.

Die Breite ist ein Thermometer, und niemand muss dorthin 🖖

Δλ = λ·√(2kT/(A·u·c²)) enthält genau eine Unbekannte. Die Konstanten sind Konstanten. λ liest du direkt aus dem Spektrum ab, und A stammt aus dem Periodensystem. Löst du die Gleichung nach T auf, liefert dir eine gemessene Linienbreite die Temperatur des emittierenden Gases. Genau so funktioniert die reale Spektroskopie.

Beobachte das direkt am Schieberegler. Bei 6000 K beträgt die Halbwertsbreite von Wasserstoff 2,1779 × 10⁻² nm. Ziehst du den Regler auf 24.000 K, steigt der Wert auf exakt das Doppelte: 4,3559 × 10⁻² nm. Die Breite wächst proportional zu √T. Was du hier berechnest, ist die kinetische Temperatur jener Atome, die genau diese Linie erzeugt haben. Das gilt jedoch nur, solange allein die thermische Bewegung die Breite bestimmt – was auf dieser Seite bedeutet, dass der Rotationsregler auf 0 steht. Turbulenz und Druck verbreitern eine Linie ebenfalls. Beides berücksichtigt ein Spektroskopiker, bevor er einer Zahl vertraut. Andersherum betrachtet wächst T mit dem Quadrat der Breite. Eine um 1 % zu breit gemessene Linie gaukelt dir folglich ein um 2 % zu heißes Gas vor.

Rotation schlägt Wärme bei 9,95 km/s, bei Eisen schon ab 1,34 km/s 🖖

Beide Mechanismen strecken die Linie proportional zu λ: die thermische Bewegung um √(2kT/(A·u·c²)), die Rotation um v·sin i / c. Setzt du sie gleich, fällt die Wellenlänge weg. Übrig bleibt eine Geschwindigkeit, die ausschließlich von der Temperatur und der Massenzahl abhängt. Bei 6000 K liegt sie für Wasserstoff bei 9,95 km/s und für Eisen bei 1,34 km/s. Da der thermische Teil den Term 1/√A enthält, steckt dieser auch in der Übergangsgeschwindigkeit. Dieser Wert ist für Wasserstoff also √(55,845/1,008) = 7,443-mal so groß wie für Eisen. Aus demselben Grund steht hier wieder die gleiche Zahl wie beim Breitenverhältnis.

Wähle Eisen aus und bewege den Rotationsregler langsam von 0 nach oben. Schon bei 2 km/s bestimmt die Rotation das Profil der Eisenlinie. Wasserstoff hält dagegen bis 10 stand. Bei 50 km/s beträgt die Rotationsbreite 1,0946 × 10⁻¹ nm. Das ist fünfmal so breit wie die thermische Breite von Wasserstoff. Die beiden Kurven im Diagramm liegen nun fast deckungsgleich übereinander. Beide verraten dir jetzt die Eigendrehung des Sterns, nicht aber seine Temperatur. Das Werkzeug stellt den Stern in Kantenansicht dar (sin i = 1). Blickst du stattdessen eher auf den Pol eines Sterns, behält er seine thermischen Breiten und verliert die durch Rotation.

Aufgabe vollständig gelöst

Eine messbare Breite und eine Temperatur, die du nicht messen kannst 6 Schritte
Ein Stern der Spektralklasse A mit 9600 K rotiert so schnell, dass v sin i = 150 km/s gilt. Nimm seine H-Gamma-Linie bei 434,05 nm in Luft und berechne die Halbwertsbreite (FWHM), die du messen würdest. Tu danach genau das, wozu dich ein Spektrum heimlich verführt: Interpretiere diese gesamte Breite als thermische Bewegung und schau dir an, welche Temperatur dabei herauskommt.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Die thermische Verbreiterung beginnt bei der Geschwindigkeit eines einzelnen Atoms entlang der Sichtlinie. Ein Maxwell-Boltzmann-Gas verleiht der Linie ein Gauß-Profil der Breite λ√(2kT/(Auc²)). Das entspricht genau der 1/e-Halbwertsbreite. Sie ist weder die Standardabweichung, die um den Faktor √2 kleiner ausfällt, noch die FWHM, die um 1,6651 größer ist. Die Beschriftung Thermische Halbwertsbreite (1/e) verhindert jede Verwechslung. Für Wasserstoff bei 9600 K beträgt der Radikand 1,76211 × 10⁻⁹ und dessen Quadratwurzel 4,19775 × 10⁻⁵. Multiplizierst du 434,05 nm mit diesem Wert, erhältst du 1,8220 × 10⁻² nm.
  
  $Δ λ_{th} = λ \frac{2 k T}{A u c ^{2}} = 434.05 nm \times 1.76211 \times 1 0^{- 9} = 1.8220 \times 1 0^{- 2} nm$
2. Rotation verbreitert dieselbe Linie durch einen völlig anderen Mechanismus. Der sich auf uns zubewegende Sternrand erfährt eine Blauverschiebung um λ v sin i / c. Der weichende Rand wird gleichermaßen rotverschoben. Das Profil verschmiert folglich über diesen gesamten Bereich. Teilst du 150 km/s durch c = 2,99792458 × 10⁵ km/s, ergibt das 5,00346 × 10⁻⁴. Multipliziert mit 434,05 nm resultieren daraus 2,1718 × 10⁻¹ nm. Achte darauf, was das Werkzeug voraussetzt: i = 90°, Kantenansicht, sin i = 1. Ein Stern, der seinen Pol stärker zu uns neigt, verbirgt einen Teil seiner Eigendrehung. Eine einzelne Linie verrät dir niemals, welchen Fall du vor dir hast.
  
  $Δ λ_{rot} = \frac{λ v sin i}{c} = \frac{434.05 nm \times 150 km/s \times sin 9 0 ^{\circ}}{2.99792458 \times 1 0 ^{5} km/s} = 2.1718 \times 1 0^{- 1} nm$
3. Addiere beide Komponenten quadratisch. Für zwei Gauß-Kurven ist das exakt. Der Rotationskern bildet jedoch keine Gauß-Kurve. Das Werkzeug setzt stattdessen eine Gauß-Kurve mit derselben 1/e-Halbwertsbreite ein und gibt die wenigen Prozent Fehler, die das kostet, offen zu. √((1,8220 × 10⁻²)² + (2,1718 × 10⁻¹)²) = 2,1794 × 10⁻¹ nm. Schau dir an, was der thermische Term dazu beigesteuert hat: Die kombinierte Breite fällt gerade einmal 0,35 % breiter aus als die Rotation allein.
  
  $Δ λ = Δ λ_{th}^{2} + Δ λ_{rot}^{2} = (1.8220 \times 1 0^{- 2})^{2} + (2.1718 \times 1 0^{- 1})^{2} = 2.1794 \times 1 0^{- 1} nm$
4. Ein Spektroskopiker gibt als Wert die FWHM an. Für ein Profil in der Form exp(−(x/Δλ)²) entspricht diese dem Faktor 2√(ln 2) multipliziert mit der Halbwertsbreite. Das ergibt 1,6651 × 2,1794 × 10⁻¹ = 3,6289 × 10⁻¹ nm, was in der Zeile Kombinierte FWHM steht. Ziehst du die Rotationsgeschwindigkeit auf null, fällt der Wert dort auf 3,0339 × 10⁻² nm. Die Linie ist nun zwölfmal schmaler. Genau das würdest du sehen, wenn sich dieser Stern nicht mehr drehte.
  
  $FWHM = 2 ln 2 Δ λ = 1.6651 \times (2.1794 \times 1 0^{- 1}) = 3.6289 \times 1 0^{- 1} nm$
5. Die Zeile Thermisches Breitenverhältnis verharrt bei 7,443, egal was du an Temperatur oder Wellenlänge veränderst. Von der gesamten Gleichung überlebt einzig √(A_Fe/A_H). Klick nun auf Eisen und belasse die Rotation bei 150 km/s. Die thermische Breite von Eisen ist tatsächlich 7,443-mal schmaler und liegt bei 2,4479 × 10⁻³ nm. Seine kombinierte Breite beträgt 2,1719 × 10⁻¹ nm, im Gegensatz zu 2,1794 × 10⁻¹ bei Wasserstoff. Zwei Atome trennt in der Masse der Faktor 55, doch die Linien, die du tatsächlich messen würdest, weichen nur um ein Drittel Prozent voneinander ab.
  
  $\frac{Δ λ _{H}}{Δ λ _{Fe}} = \frac{A _{Fe}}{A _{H}} = \frac{55.845}{1.008} = 7.443$
6. Rechne die thermische Breite wieder in Geschwindigkeitseinheiten um, damit du siehst, wo der Übergangspunkt liegt. Δλ_th/λ entspricht v_th/c mit v_th = √(2kT/(Au)). Für Wasserstoff bei 9600 K macht das 12,58 km/s. Die Oberfläche des Sterns bewegt sich 11,92-mal schneller, als die Atome selbst entlang der Sichtlinie fliegen. Unterhalb von etwa 12,6 km/s dominiert der thermische Term. Hier misst die Breite weiterhin die Temperatur. Oberhalb dieser Grenze übernimmt die Rotation das Kommando.
  
  $v_{th} = \frac{2 k T}{A u} = 12.58 km/s, \frac{v sin i}{v _{th}} = \frac{150}{12.58} = 11.92$
Antwort

Die Linie misst auf halber Maximalhöhe 3,6289 × 10⁻¹ nm. Übergibst du diese Breite der thermischen Formel und ignorierst die Rotation dabei völlig, liefert sie dir 1,37 × 10⁶ K. Die Temperatur steht bei der Breitenberechnung unter einer Quadratwurzel und taucht folglich bei der Rückrechnung quadriert wieder auf: (2,1794 × 10⁻¹ / 1,8220 × 10⁻²)² = 143,1. Rechnest du 143,1 × 9600 K, landest du exakt bei diesem Wert. Der Temperaturregler des Werkzeugs endet bei 50.000 K, greift also um den Faktor siebenundzwanzig zu kurz. Eine echte Messung ist nur deshalb aussagekräftig, weil beide Mechanismen unterschiedliche Formen hinterlassen. Eine Gauß-Kurve unterscheidet sich deutlich von einer nahezu elliptischen Verschmierung. Eine saubere Profilanpassung kann die beiden Effekte trennen. Eine reine Breitenmessung scheitert daran ausnahmslos.

$T^{'} = \frac{( Δ λ / λ ) ^{2} A u c ^{2}}{2 k} = (\frac{Δ λ}{Δ λ _{th}})^{2} T = 143.1 \times 9600 K = 1.37 \times 1 0^{6} K$

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.