Kleinste-Quadrate-Geometrie-Explorer
Passe reale Daten mit einer Geraden oder Kurve an und untersuche die Residuen, die die Methode der kleinsten Quadrate zu minimieren versucht.
Minimierung der Restvarianz 🖖
Die Regression der kleinsten Quadrate projiziert hochdimensionale Datenpunkte auf einen niedrigdimensionalen linearen Unterraum. Durch Minimierung der quadrierten orthogonalen Abstände bestimmen wir die optimale Anpassungslinie und unterdrücken stochastisches Rauschen.
Warum wir die Abstände quadrieren 🖖
Das Werkzeug summiert die Quadrate der senkrechten Abstände zwischen jedem Punkt und der Geraden und sucht dann die Gerade, die diese Summe möglichst klein macht. Durch das Quadrieren zählt ein doppelt so großer Abstand viermal so stark, deshalb vermeidet die Anpassung hartnäckig jeden einzelnen großen Ausreißer. Ziehe einen Punkt weit weg und beobachte, wie die ganze Gerade auf ihn zuschnellt — dieser Sog ist der unmittelbare Preis des Quadrierens.
Regression ist nicht symmetrisch 🖖
Da die Methode der kleinsten Quadrate nur die senkrechten Abstände verkleinert, nimmt sie stillschweigend an, dass y die Zielgröße und x exakt ist. Vertausche die Achsen und passe erneut an, und du erhältst eine andere Gerade — nicht das erwartete Spiegelbild. Beide Geraden verlaufen durch den Schwerpunkt der Daten (x̄, ȳ), doch sie fallen nur zusammen, wenn die Punkte exakt auf einer Geraden liegen. Die beiden Steigungen ergeben multipliziert sogar r², das Quadrat der Korrelation.
Beispielaufgaben
- Kursbindung - Saubere lineare Datenpunkte mit kleinen Residuen und niedriger Fehlerquadratsumme.
- Kampagnen-Ausreißer - Ein einzelner Ausreißer dominiert die Fehlerquadratsumme und verkippt die Ausgleichsgerade.
- Bremsweg mit Gerade - Quadratisch geformte Daten zeigen unter einem linearen Modell ein strukturiertes Residuenmuster.
- Bremsweg mit Kurve - Ein quadratisches Modell erfasst die Krümmung und senkt die Fehlerquadratsumme.
- Immobilienpreise - Realer linearer Zusammenhang zwischen Hauspreis und Wohnfläche.