Vektorrechner

Berechne und visualisiere Vektoroperationen: Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Projektion und Winkel.

Rechenbeispiel — Vektorrechner

\|A\|	2.2361
\|B\|	2.2361
Spanned Line Eq.	0

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Vektorrechner

Das Skalarprodukt zweier Vektoren lässt sich auf zwei Arten schreiben, die völlig unterschiedlich aussehen: Man multipliziert die entsprechenden Komponenten und addiert sie, oder man multipliziert die beiden Längen mit dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels. Beide Wege führen stets zum selben Ergebnis, und genau das macht das Skalarprodukt so nützlich — es verwandelt Geometrie in Arithmetik.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

A · B: das Skalarprodukt: eine Zahl, kein Vektor. Bei den Standardwerten 2·−1 + 1·2 = 0.
|A|: die Länge (der Betrag) eines Vektors, berechnet nach Pythagoras: √(2² + 1²) = 2.2361.
θ: der Winkel zwischen den beiden Vektoren, den die Seite gleichzeitig in Radiant und Grad angibt — 1.5708 rad = 90° für die Standardwerte.
comp: die skalare Projektion — wie viel eines Vektors in Richtung des anderen liegt. Sie ist das Skalarprodukt geteilt durch die Länge des Vektors, auf den projiziert wird.

Woher die Formel kommt

Betrachte das Dreieck, das von A, B und dem Vektor A − B gebildet wird, der ihre Spitzen verbindet. Der Kosinussatz setzt seine Seiten in Beziehung: |A − B|² = |A|² + |B|² − 2|A||B|cos θ.
Forme nun dasselbe |A − B|² stattdessen komponentenweise aus. Jeder quadratische Term fügt sich wieder zu |A|² und |B|² zusammen, und übrig bleibt −2(A_xB_x + A_yB_y).
Setzt man die beiden Ausdrücke gleich, heben sich |A|² und |B|² auf, sodass A_xB_x + A_yB_y = |A||B|cos θ stehen bleibt. Umgestellt ergibt das genau die Formel für den Winkel auf der Seite: θ = arccos(A·B / (|A||B|)).

So liest du, was du siehst

Jede Zeile zeigt das Einsetzen der Werte, nicht nur das Ergebnis: das Skalarprodukt als A·B = A_xB_x + A_yB_y = 2·−1 + 1·2 = 0, beide Längen nach Pythagoras, danach den Winkel als arccos(0) = 1.5708 rad = 90°. Werden beide z-Eingabefelder bei 0 belassen, werden die Vektoren als zweikomponentige Spalten dargestellt; trägt man bei einem der beiden ein z ein, wird die Darstellung dreidimensional.

Setzt voraus: Kartesische Koordinaten mit rechtwinkligen Achsen und derselben Einheit auf jeder Achse. Die obigen Formeln gelten für diesen Fall; bei einer Kartenprojektion oder in jedem Koordinatensystem, dessen Achsen nicht rechtwinklig aufeinanderstehen, liefert das komponentenweise Rezept nicht mehr das Skalarprodukt.
Versagt, wenn: Ein Skalarprodukt von genau 0 bedeutet Orthogonalität — dies gilt jedoch für jedes Paar zueinander orthogonaler Vektoren, egal wie lang sie sind, sodass es nichts über deren Größe aussagt. Und der ermittelte Winkel ist immer der vorzeichenlose Winkel zwischen 0 und 180°: Vertauscht man A und B, erhält man das exakt gleiche Ergebnis, sodass das Skalarprodukt allein niemals verraten kann, in welche Richtung gedreht wurde.

Beide Produkte antworten mit Null, und Null bedeutet Gegenteiliges 🖖

Die ersten zwei Voreinstellungen sind dieselbe Entdeckung von zwei Seiten. Bei perp2d zeigt das Skalarprodukt genau 0, das Kreuzprodukt dagegen 1; bei parallel zeigt das Kreuzprodukt genau 0, das Skalarprodukt dagegen 26. Ein verschwindendes Skalarprodukt heißt also: die Vektoren stehen im rechten Winkel, ein verschwindendes Kreuzprodukt: sie liegen auf einer Linie — die beiden Tests sind nicht austauschbar, sondern ergänzen sich. Die Zeile der aufgespannten Fläche macht das Zweite greifbar: parallele Vektoren umschließen nichts, das 3-mal-4-Paar in area genau 12.

Zwei Produkte, zwei völlig verschiedene Ergebnisse 🖖

Dieses Werkzeug berechnet die beiden Arten, Vektoren zu multiplizieren. Das Skalarprodukt liefert eine einzige Zahl, die angibt, wie stark zwei Vektoren in dieselbe Richtung zeigen — null bedeutet, dass sie senkrecht zueinander stehen. Das Kreuzprodukt (3D) liefert einen ganz neuen Vektor, der auf beiden senkrecht steht und dessen Länge der Fläche des aufgespannten Parallelogramms entspricht. Den Winkel findest du, indem du das Skalarprodukt umstellst: cos θ = (a·b)/(|a| |b|).

Das Kreuzprodukt gibt es nur in 3D und 7D 🖖

Das Skalarprodukt funktioniert in beliebig vielen Dimensionen, doch ein echtes Kreuzprodukt — zwei Vektoren hinein, ein zu beiden senkrechter Vektor heraus — existiert nur in drei und sieben Dimensionen. Diese Kuriosität hängt direkt mit den Algebren der Quaternionen und Oktonionen zusammen, den einzigen normierten Divisionsalgebren jenseits der reellen und komplexen Zahlen. Das vertraute 3D-Kreuzprodukt ist also weit weniger universell, als es scheint.

Aufgaben vollständig gelöst

Die aufgespannte Fläche für A = (2, 1) und B = (−1, 2) 6 Schritte
A = (2, 1) und B = (−1, 2). Das Skalarprodukt ist Null und der aufgespannte Flächeninhalt beträgt 5. Zeigen Sie, dass beide Tatsachen ein und dieselbe Tatsache sind.
1. Zwei Vektoren, und das Skalarprodukt ist die Summe der koordinatenweisen Produkte. Es ergibt Null, womit die Geometrie bereits geklärt ist.
  
  $A = (21), B = (- 1 2); A \cdot B = 2 (- 1) + 1 (2) = 0$
2. Beide Längen sind gleich, und zwar aus einem Grund, der in Schritt 5 deutlich wird.
  
  $∣ A ∣ = 2^{2} + 1^{2} = 5 = 2.2361 = ∣ B ∣$
3. Der Kosinus des Winkels ist das Skalarprodukt dividiert durch das Produkt der Längen. Null geteilt durch irgendetwas ist Null, und der Arkuskosinus von Null ist ein rechter Winkel.
  
  $cos θ = \frac{0}{5 5} = 0 ⟹ θ = \frac{π}{2} = 1.5708 rad = 9 0^{\circ}$
4. Der aufgespannte Flächeninhalt ist die Determinante, was für rechtwinklige Vektoren einfach das Produkt der Längen ist – √5 × √5.
  
  $area = ∣ A_{x} B_{y} - A_{y} B_{x} ∣ = ∣2 (2) - 1 (- 1) ∣ = 5 = ∣ A ∣∣ B ∣ sin θ = 5 \cdot 5 \cdot 1$
5. Hier ist der Grund, warum die Längen übereinstimmen: Eine Vierteldrehung vertauscht die Koordinaten und kehrt ein Vorzeichen um; wendet man sie auf A an, entsteht exakt B.
  
  $R_{9 0^{\circ}} (x y) = (- y x) : (21) \mapsto (- 1 2) = B$
6. Die Projektion bestätigt dies von der anderen Seite: Nichts von A liegt entlang B, daher lässt das Subtrahieren der Projektion A unverändert.
  
  $proj_{B} A = \frac{0}{5} B = 0 ⟹ A is entirely its own perpendicular component$
Antwort

Weil B das um eine Vierteldrehung gedrehte A ist. Die Drehung (x, y) → (−y, x) überführt (2, 1) exakt in (−1, 2), was erzwingt, dass der Winkel 90° beträgt und das Skalarprodukt somit Null ist. Sie ist zudem längentreu, sodass beide Vektoren die Länge √5 besitzen und das von ihnen aufgespannte Parallelogramm ein Quadrat der Seitenlänge √5 ist – Flächeninhalt 5, genau was das Panel anzeigt. Skalar- und Kreuzprodukt sind die zwei Hälften eines einzigen Produkts: |A||B| cos θ und |A||B| sin θ. Bei 90° ist der erste Teil Null und der zweite alles, und die Projektion von A auf B ist der Nullvektor, was bedeutet, dass A überhaupt keine Komponente entlang B hat. Dreht man einen der beiden Vektoren um ein paar Grad, verändern sich beide Zahlen, wobei die Summe ihrer Quadrate stets |A|²|B|² = 25 bleibt.

$A \cdot B = 0, θ = 9 0^{\circ}, area = 5; B = R_{9 0^{\circ}} A$
Skalarprodukt von 32 und Kreuzproduktbetrag von 7,3485 6 Schritte
A = (1, 2, 3), B = (4, 5, 6). Das Panel zeigt ein Skalarprodukt von 32 und einen Betrag des Kreuzprodukts von 7,3485 an. Zeigen Sie, dass diese beiden Zahlen nicht unabhängig voneinander sind. Dies ist der Zustand 3D-Winkel.
1. Skalarprodukt und beide Längen, direkt aus den Definitionen. Keine der beiden Quadratwurzeln ist glatt, was im Dreidimensionalen der normale Fall ist.
  
  $A \cdot B = 1 (4) + 2 (5) + 3 (6) = 32; ∣ A ∣ = 14 = 3.7417, ∣ B ∣ = 77 = 8.775$
2. Daraus folgt der Winkel. Bei 12,9° sind diese beiden Vektoren fast parallel, was man vor dem nächsten Schritt beachten sollte: Das Kreuzprodukt wird klein ausfallen.
  
  $cos θ = \frac{32}{14 77} = \frac{32}{1078} = 0.9746 ⟹ θ = 0.2257 rad = 12.933 2^{\circ}$
3. Das Kreuzprodukt ist die Determinante einer 3×3-Matrix mit den Einheitsvektoren in der obersten Zeile. Sein Betrag entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms.
  
  $A \times B = 2 (6) - 3 (5) 3 (4) - 1 (6) 1 (5) - 2 (4) = - 3 6 - 3, ∣ A \times B ∣ = 54 = 7.3485$
4. Fügen Sie nun die beiden Produkte zusammen. Quadrieren Sie jedes, addieren Sie sie und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Produkt der quadrierten Längen.
  
  $∣ A ∣^{2} ∣ B ∣^{2} = 14 \times 77 = 1078; (A \cdot B)^{2} + ∣ A \times B ∣^{2} = 1024 + 54 = 1078$
5. Teilt man die Identität durch |A|²|B|², zeigt sich die Trigonometrie – dieselbe Identität, ausgedrückt in den ursprünglichen Koordinaten.
  
  $cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1 re-derived : \frac{1024}{1078} + \frac{54}{1078} = 1$
6. Eine weitere Zeile bestätigt, dass das Kreuzprodukt hält, was es verspricht: Es steht orthogonal auf A und aus Symmetriegründen auch auf B.
  
  $A \cdot (A \times B) = 1 (- 3) + 2 (6) + 3 (- 3) = 0 ⟹ the cross product leaves the plane$
Antwort

32² + 7,3485² = 1078 = 14 × 77 = |A|²|B|². Das ist die Lagrangesche Identität, und sie ist nichts anderes als der trigonometrische Pythagoras in Verkleidung: Teilt man durch |A|²|B|², lautet sie cos²θ + sin²θ = 1. Skalar- und Kreuzprodukt sind also nicht zwei getrennte Messungen zweier verschiedener Dinge – sie sind Ankathete und Gegenkathete desselben rechtwinkligen Dreiecks, und die Kenntnis des einen Produkts zusammen mit den beiden Längen bestimmt das andere bis auf das Vorzeichen. Die praktische Konsequenz ist, dass man einen Winkel niemals allein aus dem Skalarprodukt berechnen sollte, wenn er nahe Null oder nahe 180° liegt: Der Kosinus verläuft dort flach, und das Kreuzprodukt, dessen Sinus steil verläuft, ist der numerisch bessere Weg.

$(A \cdot B)^{2} + ∣ A \times B ∣^{2} = ∣ A ∣^{2} ∣ B ∣^{2} = 1078$

Lernpfad

Eine Gerade an Daten anpassen

Führt zu Geometrie kleinster Quadrate das Skalarprodukt und damit das Konzept der Projektion — wie viel eines Vektors in Richtung eines anderen zeigt.

Quellen (1)

The dot product from both directions, and why the two definitions agree: G. Strang, Introduction to Linear Algebra, 5th ed. Wellesley-Cambridge Press, 2016. ISBN 978-0-9802327-7-6.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-06-28

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

Senkrecht - Senkrecht
Parallel - (2, 3) und (4, 6), wobei der zweite Vektor das Doppelte des ersten ist. Das Kreuzprodukt ist exakt 0 und das Skalarprodukt beträgt 26. Hier zeigt sich das genaue Gegenteil zu senkrechten Vektoren.
3D-Winkel - (1, 2, 3) und (4, 5, 6): Skalarprodukt 32 geteilt durch die Beträge √14 und √77. Damit ist cos θ = 0,9746 und der Winkel beträgt 12,93°. Fast gleichgerichtet. Das Skalarprodukt verrät dir das bereits, bevor du den Winkel berechnest.
Fläche - Ein Vektor der Länge 3 entlang der x-Achse und einer der Länge 4 entlang der y-Achse: Das Kreuzprodukt hat exakt den Betrag 12, was dem Rechteck entspricht, das sie aufspannen. Der Betrag des Kreuzproduktes ist der Flächeninhalt.