Tunneleffekt

Wähle ein Teilchen, seine Energie E sowie Höhe U und Breite a der Barriere, die ihm im Weg steht. Die Seite löst die Schrödingergleichung vor, in und hinter der Barriere exakt, zeichnet die Welle und zeigt den durchgelassenen Anteil zusammen mit der Näherung für dicke Barrieren: 16E(U − E)/U² · e^−2κa.

Rechenbeispiel — Tunneleffekt

Wellenzahl außerhalb der Barriere	3,623 nm⁻¹
Wellenlänge außerhalb der Barriere	1,734 nm
Abklingkonstante in der Barriere	3,623 nm⁻¹
Barrierenbreite in Einheiten von 1/κ	1,811
Transmission, exakt	10,14%
Näherung für breite Barrieren	10,68%
Reflexion	89,86%

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

Interaktive Simulation wird geladen...

Lektion

Die Theorie — Tunneleffekt

Quantentunneln bedeutet, dass ein Teilchen einen Bereich durchquert, in dem seine Energie E kleiner als die potenzielle Energie U ist. Nach der klassischen Mechanik wäre das unmöglich. Innerhalb einer solchen Barriere schwingt die Wellenfunktion nicht. Sie ist eine Überlagerung aus e^−κx und e^+κx. Bei einer dicken Barriere besteht sie fast nur aus dem abklingenden Anteil, wobei κ = √(2m(U − E))/ħ gilt. Die Amplitude, die auf der anderen Seite übrig bleibt, setzt sich dort als laufende Welle fort. Der Transmissionskoeffizient T gibt an, welcher Anteil des einfallenden Wahrscheinlichkeitsstroms die Barriere durchdringt. Für eine Rechteckbarriere besitzt er eine exakte geschlossene Form. Sobald κa größer als 2 ist, weicht diese um weniger als 4 % von 16E(U − E)/U² · e^−2κa ab.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

E: die kinetische Energie des Teilchens außerhalb der Barriere
U: die Höhe der Barriere, also die potenzielle Energie des Teilchens in ihrem Inneren
a: die Breite der Barriere
κ: die Abklingkonstante in der Barriere; bei einer dicken Barriere fällt |ψ|² auf der Strecke 1/(2κ) um den Faktor e
T: der Transmissionskoeffizient, also der Anteil der Teilchen, die hindurchgelangen; der Anteil R = 1 − T wird reflektiert

Setzt voraus: Das Modell ist eindimensional. Die Barriere hat senkrechte Flanken und eine waagerechte Oberkante; auf beiden Seiten herrscht dasselbe Potenzial. Das Teilchen besitzt eine feste Energie und wird durch eine ebene Welle statt durch ein Wellenpaket beschrieben, sodass T die Wahrscheinlichkeit je Teilchen angibt. Relativistische Effekte bleiben unberücksichtigt: Die Energien liegen hier im Elektronenvoltbereich, während die Ruheenergie eines Elektrons 511 keV beträgt.
Versagt, wenn: Eine reale Barriere hat geneigte Flanken. Im Vakuumspalt eines Mikroskops wird sie durch die Bildladung, die ein Elektron in beiden Metallen hervorruft, abgesenkt und abgerundet. Eine angelegte Spannung neigt zudem ihre Oberkante. Bei hinreichend starkem Feld wird die Barriere dreieckig, und Elektronen verlassen ein kaltes Metall, indem sie durch die Barriere tunneln. Diese Feldemission folgt dem Fowler–Nordheim-Gesetz und nicht der hier verwendeten Formel. Für eine glatte Barriere ersetzt die WKB-Näherung κa durch das Integral von κ(x) über die Barriere. Im Experiment trifft außerdem ein Wellenpaket mit einer gewissen Energiebreite auf die Barriere. Seine Transmission wird über diese Energieverteilung gemittelt, wodurch die scharfen Resonanzen oberhalb der Barriere verschwimmen.

Ab 0,4 nm wird der Strom durch je 0,1 nm zusätzlichen Abstand um den Faktor 8,8 kleiner 🖖

Klick auf STM-Abstand. Das Elektron liegt 4,5 eV unter der Barrierenhöhe, ungefähr um die Austrittsarbeit eines Metalls, und der Abstand beträgt 0,5 nm. Vergrößere ihn um 0,1 nm: T fällt um den Faktor 8,789. Die Näherung für breite Barrieren, e^{2κ × 0,1 nm}, ergibt 8,790. Die Tabelle unter den Ergebnissen zeigt ab 0,4 nm bei jedem Schritt denselben Faktor, mit einer Abweichung von höchstens 0,3 %. Nur die ersten Schritte fallen kleiner aus, von 0,1 auf 0,2 nm etwa mit dem Faktor 7,293. Eine so schmale Barriere ist in Einheiten von 1/κ noch nicht breit. Gerd Binnig, Heinrich Rohrer und ihre Kollegen am Zürcher IBM-Forschungslabor nutzten genau diese Empfindlichkeit für das Rastertunnelmikroskop und berichteten 1982 darüber. Wird der Strom beim Abtasten konstant gehalten, muss die Höhe der Spitze dem Oberflächenprofil folgen. Ein Atom, das 0,2 nm weiter zurückliegt, also zwei Tabellenstufen tiefer, trägt etwa 77-mal weniger Strom bei. Daher fließt fast der gesamte Strom durch das einzelne Atom an der Spitze. Der Faktor 8,8 hängt auch nicht von E ab. Verändere E und U gemeinsam so, dass U − E weiterhin 4,5 eV beträgt: Der Faktor bleibt bei 8,79, denn κ = √(2m(U − E))/ħ enthält nur die Differenz.

Ein Proton tunnelt etwa 10⁶⁶-mal seltener als ein Elektron 🖖

Klick auf Elektron, 0,5 eV und anschließend auf Proton, 0,5 eV: gleiche Energie, gleiche 1-eV-Barriere, gleiche Breite von 0,5 nm. Das Elektron gelangt in 10,14 % der Fälle hindurch. Beim 1.836-mal schwereren Proton beträgt die Wahrscheinlichkeit nur 1,535×10⁻⁶⁷. Die Masse steht in κ unter einer Quadratwurzel. Deshalb ist κa beim Proton nur um den Faktor √1.836 ≈ 42,85 größer als beim Elektron: 77,62 gegenüber 1,811. Doch κa steht im Exponenten, und e^−2κa macht aus einem Faktor von 43 einen Unterschied von 66 Größenordnungen. Das Myon mit 206,8 Elektronenmassen liegt dazwischen bei 9,530×10⁻²³; die Tabelle unter der Stufenfolge enthält alle drei Teilchen. Tunneln ist also nicht allgemein eine Eigenschaft kleiner Dinge. Entscheidend sind leichte Teilchen und schmale Barrieren. Stell die Breite auf 0,05 nm, dann steigt T für das Proton auf 7,252×10⁻⁷.

Oberhalb der Barriere werden noch immer 46 % reflektiert 🖖

Klick auf 1,2 eV über 1 eV. Das Elektron besitzt 20 % mehr Energie als die Barrierenhöhe und würde die Barriere nach klassischer Vorstellung jedes Mal überwinden. Die Seite berechnet jedoch T = 53,64 %. Die Reflexion entsteht an den Rändern. Bei x = 0 springt die Wellenlänge von 1,120 nm außerhalb der Barriere auf einen größeren Wert in ihrem Inneren. Jede abrupte Änderung des Ausbreitungsmediums wirft einen Teil einer Welle zurück, so wie Glas einen kleinen Teil des einfallenden Lichts reflektiert. Die Reflexionen am vorderen und hinteren Rand interferieren miteinander. Enthält die Barriere eine ganzzahlige Anzahl von Halbwellenlängen, also qa = nπ, heben sie sich vollständig auf und T = 1. Das geschieht bei E − U = n²h²/(8ma²). Dies sind die Energieniveaus eines <a href="/phy/particle-in-a-box">Teilchens im Kasten</a>, dessen Breite der Barriere entspricht. Klick auf Kastenniveau: Bei einer 1 nm breiten Barriere gilt E − U = 0,376 eV, die Grundzustandsenergie eines Elektrons in einem 1 nm breiten Kasten, und T = 100,00 %. Das Energiediagramm kennzeichnet diese Niveaus mit gestrichelten Linien; an jeder davon berührt die Kurve den Wert 1.

Aufgabe vollständig gelöst

Wie kleine Stufen kann ein Rastertunnelmikroskop erkennen? 4 Schritte
Die Elektronik eines Rastertunnelmikroskops hält den Tunnelstrom mit einer Genauigkeit von 2 % konstant. Die Energie des Elektrons liegt 4,5 eV unter der Oberkante der Barriere eines 0,5 nm breiten Spalts. Welcher Änderung des Spalts entspricht eine Stromänderung von 2 %? Drück für den ersten Schritt auf STM-Spalt.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Die Seite gibt die Abklingkonstante in der Barriere aus. Gemessen in Einheiten von 1/κ ist die Barriere dick:
  
  $κ = \frac{2 m _{e} \times 4 . 5 eV}{ℏ} = 10.87 n m^{- 1}, κa = 5.434$
2. Bei dieser Dicke ist T gleich e^−2κa mal einem von a unabhängigen Vorfaktor. Da der Strom proportional zu T ist, fällt ln T linear mit a:
  
  $T \approx \frac{16 E ( U - E )}{U ^{2}} e^{- 2 κa} \Rightarrow ln T = ln \frac{16 E ( U - E )}{U ^{2}} - 2 κa$
3. Wird der Spalt um Δa geschlossen, steigt der Strom um 2 %. Das entspricht einer Zunahme von ln T um ln 1,02:
  
  $Δ a = \frac{ln 1 . 02}{2 κ} = \frac{0 . 019803}{21 . 736 n m ^{- 1}} = 9.111 \times 1 0^{- 4} nm = 0.9111 pm$
4. Löst man statt der Näherung die exakte Formel für denselben Faktor 1,02, erhält man bis auf vier geltende Stellen dasselbe Ergebnis:
  
  $T (a + Δ a) = \frac{T ( a )}{1 . 02} (exact formula) \Rightarrow Δ a = 0.9111 pm$
Antwort

Eine Änderung des Spalts um 0,9111 pm verändert den Strom um 2 %. Das ist ein Achtundfünfzigstel des Bohrschen Radius von 52,92 pm, erreicht mit einer Elektronik, die nichts Raffinierteres tut, als einen Strom konstant zu halten. Die Spitze muss nicht entsprechend scharf sein. Es genügt, wenn ihr äußerstes Atom der Probe näher ist als seine Nachbarn, denn fast nur sein Abstand von der Oberfläche bestimmt den Strom. Deshalb kann ein Rastertunnelmikroskop einer Oberfläche bis auf einen kleinen Bruchteil der Höhe eines Atoms folgen.

$Δ a = 0.9111 pm \approx \frac{a _{0}}{58}, a_{0} = 52.92 pm$

Lernpfad

Quantenmechanik: Materie als Wellen

Quellen (3)

The rectangular barrier solved exactly, with the reflection and transmission probabilities for E below the top in closed form, the same formula this page evaluates: R. Fitzpatrick, "Square Potential Barrier", in Quantum Mechanics (lecture notes), Department of Physics, University of Texas at Austin, 2010.
The first scanning tunnelling microscope, which turned the exponential dependence of the tunnelling current on the gap into a picture of a surface: G. Binnig, H. Rohrer, Ch. Gerber and E. Weibel, "Surface Studies by Scanning Tunneling Microscopy", Physical Review Letters 49, 57–61 (1982).
The constants: the Planck constant and the elementary charge, exact in the SI, and the electron, muon and proton masses: E. Tiesinga, P. J. Mohr, D. B. Newell and B. N. Taylor, "CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018", Reviews of Modern Physics 93, 025010 (2021); values as printed on NIST's CODATA 2018 wall chart.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.