Demografie- + Wirtschaftslabor

Verändere demografische und wirtschaftliche Annahmen und beobachte, wie sich Bevölkerung, BIP pro Kopf, Erwerbstätige und Fiskaldruck gemeinsam entwickeln.

Startwerte — Demografie- + Wirtschaftslabor

Länder-Basislinie	Eigene Werte
Anfangsbevölkerung	15.2
Geburtenrate	0.95
Sterberate	1.06
Nettomigration	0.24
Anteil im erwerbsfähigen Alter	0.64
Erwerbsquote	0.73
Arbeitslosigkeit	0.062

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Lektion

Die Theorie — Demografie- + Wirtschaftslabor

Der Abhängigenquotient gibt an, wie viele Personen von jeder erwerbstätigen Person mitversorgt werden: die Jungen und die Alten geteilt durch die Bevölkerung im erwerbsfähigen Alter. Er ist deshalb entscheidend, weil das Steueraufkommen mit dem Anteil der Erwerbstätigen skaliert, während Renten, Schulbildung und Gesundheitswesen mit dem Anteil der Nicht-Erwerbstätigen skalieren — so kann dieselbe Bevölkerung gleichzeitig wachsen und finanziell belastender werden.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

DR: der Abhängigenquotient, dargestellt als DR = (old share + young share) / working share mit der gezeigten Einsetzung, der hier in der ersten Zeile 0.525 erreicht.
labour: die Erwerbsbevölkerung in Millionen — der Teil der Bevölkerung, aus dem die Steuerbasis berechnet wird.
GDP/capita: die Wirtschaftsleistung pro Kopf, was nicht die Wirtschaftsleistung pro Erwerbstätigem ist: Ein steigender Abhängigenquotient kann sie nach unten ziehen, selbst wenn jeder Erwerbstätige produktiver wird.
net fiscal: die Steuerbasis abzüglich der Sozialkosten — der Überschuss oder das Defizit, das sich aus der Projektion für jedes Jahr ergibt.

So liest du, was du siehst

Eine Zeile pro projiziertem Jahr, von links nach rechts gelesen von der Ursache zur Wirkung: zuerst die Bevölkerung, dann die Erwerbsbevölkerung, dann die Wirtschaftsleistung, danach der Abhängigenquotient, gefolgt von der Steuerbasis und den Sozialkosten, die er impliziert, und schließlich der Nettofinanzsaldo. Verfolgt man eine einzelne Spalte über die Jahre hinweg nach unten, zeigt sich ein Trend; liest man eine Zeile waagerecht durch, sieht man, wie aus der Demografie dieses Jahres der Haushalt dieses Jahres wurde.

Setzt voraus: Konstante Raten, sobald sie eingestellt sind — Geburten-, Sterbe-, Migrations- und Produktivitätsraten bleiben während der gesamten Projektion unverändert. Genau das macht das Modell zu einem Szenario und nicht zu einer Prognose: In der Realität reagieren die Raten nämlich auf genau jenen Druck, den die Tabelle projiziert.
Versagt, wenn: Die Standardwerte zeigen die Falle deutlich: Die Geburtenrate (0.95) liegt unter der Sterberate (1.06), dennoch steigt die Bevölkerung weiterhin — da die Migration die Differenz ausgleicht. Eine auf den ersten Blick stabile Gesamtbevölkerung kann eine schrumpfende einheimische Kohorte verbergen, und der Abhängigenquotient ist die Spalte, in der sich dies bemerkbar macht. Die Länder-Ausgangsdaten stammen aus live geladenen Daten der Weltbank (hier 217 Länder), sodass der Ausgangspunkt real ist, auch wenn alles nach dem ersten Jahr eine Annahme ist.

Warum sich das wie Mathe-Magie anfühlt 🖖

Der Schlüssel ist die Zerlegung: Derselbe BIP-Pfad kann aus sehr unterschiedlichen Treibern entstehen. Dieses Labor trennt Demografie, Arbeitsmarkt, Produktivität und Fiskallast, damit Zielkonflikte sichtbar werden. Die Bevölkerungsdynamik wirkt langsam, dominiert aber über 45 Jahre — eine jährliche Nettomigrationsrate von 0,3% verdoppelt den Effekt eines großen Produktivitätsschubs.

Gesamtleistung gegen Leistung pro Kopf 🖖

Dieses Labor verfolgt stets das BIP pro Kopf, nicht nur das reine BIP. Die Wirtschaftsleistung erbringen allein die Erwerbstätigen, doch geteilt wird sie unter allen Einwohnern — Gesamtwert und Pro-Kopf-Wert können sich daher gegenläufig entwickeln. Wächst die Bevölkerung schneller als die Wirtschaft, wirkt ein Land insgesamt reicher, während jeder Einzelne ärmer wird. Beobachte, wie die beiden Kurven auseinanderlaufen, sobald der Anteil der Erwerbsfähigen sinkt: Diese Lücke ist es, was der Lebensstandard tatsächlich spürt.

Eine schrumpfende Nation hat eine Halbwertszeit 🖖

Der Bevölkerungsschritt P_t+1 = P_t(1 + b − d + m) ist reines geometrisches Wachstum — dieselbe Gleichung wie beim Zinseszins und beim radioaktiven Zerfall. Bleiben Geburten plus Zuwanderung hinter den Sterbefällen zurück, wird die Nettorate negativ und die Bevölkerung zerfällt exponentiell, samt Halbwertszeit. Ein Land, das jährlich um 1 % schrumpft, hat eine Bevölkerungs-Halbwertszeit von rund 70 Jahren (die 70er-Regel) — das demografische Gegenstück zur Zerfallskurve eines Isotops.

Aufgaben vollständig gelöst

Migrationsrate, bei der eine Bevölkerung mit 0,95 Geburten aufhört zu wachsen 5 Schritte
Dieses Basisszenario verzeichnet 0,95 Geburten und 1,06 Sterbefälle pro 100 Personen und Jahr sowie eine Nettomigration von 0,24. Die Sterbefälle übersteigen die Geburten. Projizieren Sie die Bevölkerung dennoch bis 2070 und ermitteln Sie anschließend die Migrationsrate, bei der die Gesamtbevölkerung aufhört zu wachsen.
1. Betrachten Sie zunächst Geburten und Sterbefälle für sich. Subtrahiert ergeben sie −0,11 % pro Jahr; sich selbst überlassen schrumpft diese Bevölkerung also, und nichts im weiteren Verlauf des Modells ändert dieses Vorzeichen.
  
  $r_{nat} = b - d = 0.95% - 1.06% = - 0.11% y r^{- 1}$
2. Die Migration geht mit demselben Gewicht in dieselbe Summe ein — ein Zuwanderer zählt hier exakt wie eine Geburt — und kehrt das Ergebnis auf +0,130 % pro Jahr um. Das Land wächst, und zwar ausschließlich aufgrund dieses dritten Terms.
  
  $r = b - d + m = 0.95% - 1.06% + 0.24% = + 0.130% y r^{- 1}$
3. Feste Raten wirken zinseszinslich, sodass die Projektion eine einzige Potenzierung ist statt einer Spalte von Additionen. Potenzieren Sie 1,0013 mit 25 und 45, und Sie erhalten 2050 und 2070, ohne die Jahre dazwischen zu simulieren.
  
  $P_{t} = P_{0} (1 + r)^{t} : P_{2050} = 15.20 (1.0013)^{25} = 15.70 M P_{2070} = 15.20 (1.0013)^{45} = 16.12 M$
4. Entfernen Sie nun die Migration und führen Sie dieselbe Potenzberechnung erneut durch. 14,47 M: Anstatt über die 45 Jahre 0,92 M hinzuzugewinnen, verliert das Land 0,73 M.
  
  $m = 0 : P_{2070} = 15.20 (0.9989)^{45} = 14.47 M$
5. Zwischen diesen beiden Durchläufen liegt eine Rate, bei der die Bevölkerung weder wächst noch schrumpft, und diese liegt nicht bei null Migration. Es ist die Migration, die das natürliche Defizit exakt ausgleicht: m = d − b = 0,11 pp.
  
  $m^{*} = d - b = 0.11 pp, \frac{m ^{*}}{m} = \frac{0.11}{0.24} = 45.8%$
Antwort

+0,130 % pro Jahr und 16,12 M bis 2070 — wobei das Vorzeichen allein von der Migration bestimmt wird. Die kontrafaktische Betrachtung ist der Teil, den das Tool nicht für Sie durchführt: Entfernt man die 0,24, führt dasselbe Modell dasselbe Land hinab auf 14,47 M — eine Veränderung um 1,65 M bzw. 10,9 % des Ausgangswerts, bewirkt durch eine einzige Eingabe, die die meisten Menschen eher unter Sozialpolitik als unter Arithmetik einordnen. Der Schwellenwert ist deutlicher als die Hauptaussage. Das Wachstum stoppt bei m = 0,11 pp, was 45,8 % der hier angenommenen 0,24 entspricht, sodass fast die Hälfte des Zuzugs überhaupt kein Wachstum bringt — sie gleicht lediglich das Defizit aus. Im ersten Jahr entspricht das 16.720 Ankünften von 36.480, die den Stillstand sichern, und die verbleibenden 19.760 Personen machen das gesamte Wachstum des Landes aus. Ein Vorbehalt, den die Projektion verschweigt: d ist für alle 45 Jahre bei 1,06 % fixiert, während der vom Tool selbst berechnete Abhängigenquotient von 0,525 auf 0,606 steigt. Eine rohe Sterberate ist ein nach der Altersstruktur gewichteter Mittelwert, und sie steigt mit der Alterung einer Bevölkerung; +0,130 % stellt daher eher das optimistische Ende dieses Modells dar als dessen Zentrum.

$Δ P_{45} = 16.12 - 14.47 = 1.65 M = 10.9% \times P_{0}$
Fiskalischer Druck von 0,409 für ein Land mit 152 M Menschen 7 Schritte
Die Zeile für 2025 gibt den fiskalischen Druck mit 0,409 an — die altersbedingten Ausgaben beanspruchen 40,9 % der Steuerbasis. Dies wurde für 15,20 M Menschen berechnet. Rekonstruieren Sie den Wert aus den Eingaben und ermitteln Sie anschließend, wie viel davon ein Land mit 152 M erben würde.
1. Bevor sich sonst etwas berechnen lässt, muss eine Zahl feststehen. Du hast für den Anteil der Bevölkerung im Erwerbsalter 64 % eingegeben, doch der angegebene Abhängigenquotient beträgt 0,525. Dieser Quotient ergibt sich, wenn man die beiden abhängigen Bevölkerungsanteile durch den Anteil im Erwerbsalter teilt. Die abhängigen Anteile stammen von dir und sind fest vorgegeben; damit steht auch der Divisor fest: 0,365 ÷ 0,525 = 0,695. Das Modell vergrößert also den Anteil im Erwerbsalter um ein Fünftel seines Abstands zu den abhängigen Anteilen: 0,64 + 0,2 × (0,64 − 0,365) = 0,695. Alle folgenden Zeilen rechnen mit 0,695 statt mit 0,64.
  
  $DR = \frac{s _{old} + s _{young}}{s _{w}} = 0.525 ⟹ s_{w} = \frac{0.21 + 0.155}{0.525} = 0.695$
2. Die Erwerbstätigkeit lässt sich in drei Multiplikationsschritten aus der Bevölkerung berechnen: Dieser Anteil ist im erwerbsfähigen Alter, 73 % davon nehmen am Erwerbsleben teil, und 93,8 % davon haben einen Arbeitsplatz.
  
  $L_{0} = P_{0} s_{w} LFPR (1 - u) = 15.20 \times 0.695 \times 0.73 \times 0.938 = 7.234 M$
3. Die Wirtschaftsleistung ist die Zahl der Erwerbstätigen multipliziert mit der Leistung pro Erwerbstätigem und sonst nichts — dieses Modell enthält kein Kapital.
  
  $GDP_{0} = L_{0} A_{0} = 7.234 \times $74, 000 = $535.3 B$
4. Die Steuerbasis ist der Anteil des Staates an dieser Wirtschaftsleistung: 36 Cent pro Dollar.
  
  $TB_{0} = τ GDP_{0} = 0.36 \times 535.3 = $192.7 B$
5. Die Ausgaben werden pro Kopf der Abhängigen berechnet: $18.500 für jeden der 21,0 % Älteren, $8.400 für jeden der 15,5 % Jüngeren. Zusammen ergibt das $5.187 pro Kopf der Gesamtbevölkerung — Kinder, Rentner und Erwerbstätige gleichermaßen.
  
  $C_{0} = P_{0} (s_{old} c_{old} + s_{young} c_{young}) = 15.20 \times (3, 885 + 1, 302) = $78.8 B$
6. Teilt man die Ausgaben durch die Steuerbasis, erhält man den fiskalischen Druck des Tools — berechnet aus den Eingaben, statt vom Bedienfeld abgelesen.
  
  $FP = \frac{C _{0}}{TB _{0}} = \frac{78.8}{192.7} = 0.409$
7. Blicken Sie nun zurück auf das, was Sie multipliziert haben. Die 15,20 M erscheinen einmal in den Ausgaben und einmal in der Steuerbasis. Kürzt man sie heraus, erweist sich der fiskalische Druck als ein Pro-Kopf-Verhältnis: $5.187 an Verpflichtungen gegenüber $12.678 Steuerbasis für jede Person im Land.
  
  $FP = \frac{s _{old} c _{old} + s _{young} c _{young}}{τ s _{w} LFPR ( 1 - u ) A _{0}} = \frac{5 , 187}{12 , 678}$
Antwort

0,409, und die Bevölkerungsgröße ging an keiner Stelle darin ein. Ein Land mit 152 M bei gleichen Anteilen, gleicher Erwerbsquote, gleicher Leistung pro Erwerbstätigem und gleichem Steuersatz landet ebenfalls bei 0,409 — zehnmal so viele Rentner, zehnmal so viele Schulkinder und zehnmal so viele Erwerbstätige, die für beide aufkommen. Die Migration, also der eine Term, der das erste Problem entschieden hat, bewirkt an diesem Verhältnis überhaupt nichts, es sei denn, die Zuwandernden verändern die Anteile — und Anteile sind das Einzige, woraus das Verhältnis besteht. Nimmt man auch den Steuersatz heraus, wird es noch deutlicher: $5.187 Ausgaben gegenüber $35.216 Leistung pro Kopf entsprechen 14,7 % des BIP, und diese Zahl weiß nicht, welchen Steuersatz Sie gewählt haben. Der fiskalische Druck ist einfach 0,147 ÷ τ. Bei den hier angenommenen 36 % beträgt er 0,409 und sieht komfortabel aus; halbiert man den Satz, kommt dieselbe Bevölkerung mit denselben Renten und denselben Schulen auf 0,82. Demografisch hat sich nichts verändert. Der Zugriff des Staates schon.

$\frac{$5 , 187}{$35 , 216} = 14.7% ⟹ FP = \frac{0.147}{τ}$

Quellen (1)

The country baselines the projection starts from, loaded live for 217 countries: World Bank, World Development Indicators. Washington, DC: The World Bank.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-05-31

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

Estland - Kleine offene Volkswirtschaft mit leichtem Nettoabwanderungsdruck und alternder Bevölkerung.
Japan - Japans Demografie wird live von der Weltbank abgerufen, inklusive der Anteile von Senioren und Jugendlichen. Deine Prognose beginnt also mit einem Land, in dem drei von zehn Menschen über fünfundsechzig sind. Was nicht abgerufen wird, sind die Kosten dafür. Die Ausgaben pro Rentner, die Ausgaben pro Kind und die Steuerquote bleiben allesamt auf den europäischen Standardwerten, mit denen du das Tool öffnest. In der Spalte für den fiskalischen Druck siehst du folglich Japans Bevölkerung, berechnet zu europäischen Sätzen.
Schweden - Wenn du das Land wechselst, ändern sich neun Zeitreihen der Weltbank und sonst nichts. Schweden und Japan werden mit derselben Steuerquote von 36,0 %, denselben 19K $ jährlich pro Rentner und 8K $ pro Kind sowie demselben Produktivitätswachstum von 1,30 % berechnet. Der Unterschied zwischen ihren Spalten für den fiskalischen Druck beruht also allein auf Demografie und Wirtschaftsleistung. Das Modell enthält nicht einen einzigen politischen Unterschied.