Spezielle Relativitätstheorie – Explorer

Bewege den Geschwindigkeitsregler und beobachte, wie sich Zeit, Länge und Masse bei relativistischen Geschwindigkeiten verändern.

Rechenbeispiel — Spezielle Relativitätstheorie – Explorer

Längenkontraktionsverhältnis	60%

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Spezielle Relativitätstheorie – Explorer

Die Spezielle Relativitätstheorie folgt aus zwei Aussagen, die gleichzeitig gelten: Die Gesetze der Physik sind in jedem Bezugssystem, das sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, dieselben, und die Lichtgeschwindigkeit ist eines dieser Gesetze. Keine von beiden erwähnt Uhren oder Maßstäbe. Alles auf dieser Seite — die gedehnte Zeit, die verkürzte Länge, die geneigten Achsen — ist die Konsequenz daraus, auf keine der beiden Aussagen zu verzichten.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

β: die Geschwindigkeit, ausgedrückt als Bruchteil der Lichtgeschwindigkeit. β = 0.8 ist der Wert, den du dir merken solltest: √(1 − 0.8²) = 0.6 geht exakt auf, ein 3-4-5-Dreieck, sodass γ genau 5/3 ist und die Zeile für das Längenverhältnis glatte 60% anzeigt.
γ: der Lorentzfaktor. Er ist eine reine Zahl — ohne eigene Einheit —, weshalb derselbe Einzelwert 1.6667 in derselben Übersicht auf Sekunden, Meter und Kilogramm angewendet werden kann, ohne umgerechnet werden zu müssen.
t₀: die Eigenzeit: das Zeitintervall, das an einer einzelnen Uhr abgelesen wird, die bei beiden Ereignissen am selben Ort ist — die eigene Uhr des Reisenden. Der Index steht nicht für anfänglich. Er bedeutet gemessen dort, wo das Objekt ruht, und ihn als "die Zeit am Anfang" zu lesen ist der häufigste Fehler bei der Anwendung dieser Formel.
L₀: die Eigenlänge: gemessen in dem Bezugssystem, in dem das Objekt stillsteht. Die Länge eines bewegten Objekts zu messen bedeutet stattdessen, seine beiden Enden im selben Moment zu markieren — und Gleichzeitigkeit ist genau das, worüber sich zwei Bezugssysteme uneinig sind, woraus sich die Kontraktion ergibt.

Woher die Formel kommt

Baue eine Lichtuhr: zwei Spiegel im Abstand d, dazwischen ein hin- und herpendelnder Lichtpuls. In Ruhe entspricht ein Ticken der Hin- und Rückfahrt: t₀ = 2d/c.
Lass dieselbe Uhr nun mit der Geschwindigkeit v an dir vorbeiziehen. Während der Lichtpuls unterwegs ist, bewegen sich die Spiegel seitlich weiter, sodass der von dir beobachtete Weg nicht die Lücke d ist, sondern eine längere Diagonale — und der Puls legt auch diese mit c zurück, weil das zweite Postulat keine Ausnahmen für bewegte Taschenlampen macht.
Die Diagonale, der Spiegelabstand und die seitliche Verschiebung bilden ein rechtwinkliges Dreieck, also (c·Δt/2)² = d² + (v·Δt/2)². Setze d = c·t₀/2 aus Schritt 1 ein.
Fasse die Δt²-Terme zusammen: Δt²(c² − v²) = c²t₀², also Δt = t₀/√(1 − β²) = γ·t₀. Es wurde keinerlei Annahme darüber getroffen, woraus die Uhr besteht — weshalb derselbe Faktor für den Zerfall eines Myons ebenso gilt wie für einen Lichtpuls zwischen Spiegeln, und bei β = 0.8 entspricht das den oben angezeigten 1.6667 s.

So liest du, was du siehst

Im Raumzeit-Diagramm ist die orange gestrichelte Linie bei 45° der Weg des Lichts. Deine Achsen sind das blaue Paar; die des Reisenden, x' und ct', sind das grüne Paar. Sie neigen sich von beiden Seiten um denselben Winkel auf diese 45°-Linie zu — wie eine Schere, die sich um den Lichtkegel schließt, ihn aber nie überkreuzt. Beobachte, was mit der Länge passiert: Die Ruhelänge L₀ ist entlang der eigenen x'-Achse des Reisenden eingezeichnet, und die kontrahierte Länge L ist ihr Schatten auf deiner x-Achse. Nichts wird zusammengedrückt; eine Strecke wird lediglich auf einen anders gewinkelten Maßstab projiziert. Die schwache rote Hyperbel durch das Ereignis ist die Kalibrierungskurve — jeder Punkt auf ihr hat dieselbe Eigenzeit zum Ursprung. So vergleichst du Skalenstriche zwischen zwei Bezugssystemen, deren Achsen unterschiedlich skaliert sind.

Setzt voraus: Nur Inertialsysteme: eine konstante Relativgeschwindigkeit, keine Beschleunigung, keine Gravitation. Es gibt hier nur ein einzelnes β und keine Möglichkeit umzukehren, sodass das Zwillingsparadoxon auf dieser Seite gar nicht erst konstruiert werden kann — die Rückreise ist der Teil, der die Symmetrie zwischen den beiden Beobachtern bricht, und eine Rückreise gibt es nicht.
Versagt, wenn: Die Zeile für die relativistische Masse ist ein Überbleibsel einer älteren Darstellungsweise, und es ist gut zu wissen, dass aktive Physiker das Konzept aufgegeben haben. Masse wird heute als invariant betrachtet; der Faktor γ gehört zum Impuls, p = γm₀v, nicht zum Objekt. Der Grund ist konkret: Schiebst du das bewegte Objekt in seiner Bewegungsrichtung an, verhält sich sein Widerstand wie γ³m₀, schiebst du es seitlich an, wie γm₀. Ein Objekt, zwei verschiedene "Massen", je nachdem, in welche Richtung du drückst — die oben angezeigten 1.6667 kg sind also ein mathematisches Hilfskonstrukt und kein schwereres Objekt.

Geschwindigkeiten addieren sich nicht, Rapiditäten schon 🖖

Setze β = 0,5, und der Minkowski-Tab kippt die Achsen des bewegten Systems um arctan β = 26,57°. Wendest du denselben Boost aber zweimal an, landest du nicht bei β = 1: Die Geschwindigkeiten setzen sich zu (0,5 + 0,5)/(1 + 0,25) = 0,8 zusammen, genau – nachprüfbar, indem du β = 0,8 setzt und γ = 1,6667 abliest. Was sich addiert, ist die Rapidität ψ = artanh β, die Größe, aus der die Neigung dieses Diagramms gebaut ist: artanh 0,5 = 0,5493, verdoppelt 1,0986, und tanh 1,0986 = 0,8. Die Rapidität ist der hyperbolische Winkel eines Boosts, also setzen sich Boosts durch schlichte Addition zusammen wie Drehungen – und kein endlicher Stapel davon erreicht jemals c.

Warum der Lorentzfaktor γ alles bestimmt 🖖

Das ganze Werkzeug dreht sich um eine Zahl: den Lorentzfaktor γ = 1/√(1−β²) mit β = v/c. Bei Schrittgeschwindigkeit ist γ ≈ 1, sodass sich die Relativität versteckt; nähert sich v der Lichtgeschwindigkeit c, wächst γ grenzenlos. Bei v = 0.87c ist γ = 2 — bewegte Uhren ticken halb so schnell und Längen halbieren sich. Da c den Wert γ = ∞ erfordern würde, erreicht es kein massebehaftetes Objekt: Der Preis wäre unendliche Energie.

Ein rasendes Objekt wirkt gedreht, nicht gestaucht 🖖

Die Längenkontraktion ist das, was du misst, nicht das, was du siehst. Da Licht von der fernen Seite eines Körpers früher startet als von der nahen, zeigt ein Foto eines vorbeirasenden Objekts es scheinbar gedreht statt abgeflacht — eine Kugel behält ihren runden Umriss. Diese Penrose-Terrell-Rotation blieb 54 Jahre unbemerkt, bis James Terrell und Roger Penrose sie 1959 unabhängig voneinander entdeckten.

Die Längenkontraktion wurde erfunden, um den Äther zu retten 🖖

1889 schickte George FitzGerald einen kurzen Brief an Science, in dem er vorschlug, dass sich ein Körper, der sich durch den Äther bewegt, in Bewegungsrichtung physikalisch verkürzt — um genau den Faktor, den diese Seite als L/L₀ anzeigt. Lorentz kam unabhängig davon auf denselben Faktor. Beide wollten den Äther vor dem Nullergebnis des Michelson-Morley-Experiments retten: Wenn sich die Apparatur genau um das richtige Maß kontrahiert, kann sie ihre eigene Bewegung durch das Medium nicht nachweisen. Einsteins Arbeit von 1905 lieferte dieselbe Zahl aus zwei Postulaten und völlig ohne Äther. Bei β = 0.8 ergibt sich in beiden Fällen 0.6 — die Rechnungsart hat sich nie geändert, sondern nur ihre Bedeutung: nicht Materie, die vom Gegenwind zusammengedrückt wird, sondern zwei Beobachter, die die Raumzeit unter verschiedenen Winkeln schneiden. Der Faktor trägt bis heute den Namen von Lorentz.

Der wichtigste Effekt ist der, den du hier nicht siehst 🖖

Die Voreinstellung für Myonen zeigt diese Seite von ihrer überzeugendsten Seite: β = 0.9992 ergibt γ = 25.005, was die Lebensdauer eines Myons von 2.2 µs auf 5.501 × 10⁻⁵ s dehnt und 650 m Atmosphäre auf 25.995 m schrumpfen lässt. Deshalb erreichen Teilchen, die weit oben in der Atmosphäre zerfallen müssten, stattdessen den Erdboden. Diese Dilatation wurde direkt gemessen, an Myonen in einem Speicherring am CERN. Der Fall, in dem es um viel Geld geht, ist hier unsichtbar: Lädst du die GPS-Voreinstellung, zeigt das Bedienfeld γ = 1 und Δt = 86400 s, weil das β eines Satelliten von etwa 10⁻⁵ den gesamten Effekt erst unterhalb der fünften signifikanten Stelle sichtbar macht. Real ist er trotzdem — durch die Bahngeschwindigkeit verliert die Uhr eines Satelliten etwa 7 µs pro Tag, durch die Gravitation gewinnt sie etwa 45 µs, und würdest du diesen Nettoeffekt nicht korrigieren, wiche die Positionsbestimmung täglich um rund 11 km ab. Nur die erste dieser drei Zahlen gehört zur Speziellen Relativitätstheorie.

Übung

Prüfe dich selbst

Sage die Antwort zuerst voraus und probiere es dann oben aus. Zeige die Lösung erst, wenn du dich entschieden hast — genau das macht es zur Übung.

Bei β = 0.8 zeigt das Längenkontraktionsverhältnis genau 60%. Probiere β = 0.6, dann β = 0.28, dann β = 0.96 — und danach β = 0.5, um zu sehen, warum es sich anders verhält.

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0.6 ergibt 80%, 0.28 ergibt 96%, und 0.96 ergibt 28%: die Paare tauschen die Plätze. Das Verhältnis ist 1/γ = √(1 − β²), also β² + (1/γ)² = 1 — Geschwindigkeit und Kontraktion sind die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hypotenuse 1, und diese Beziehung kann nicht unterscheiden, welche Kathete welche ist. Runde Antworten treten deshalb genau dort auf, wo es ein pythagoreisches Tripel gibt: (3, 4, 5) liefert das Paar 0.6/0.8 und (7, 24, 25) liefert 0.28/0.96. β = 0.5 gehört zu keinem Tripel und zeigt daher 86.603%, also √3/2.
Die Voreinstellung GPS-Satellit läuft bei β = 0.0000133, einer echten Bahngeschwindigkeit. γ zeigt 1, die gedehnte Zeit zeigt 1 s, die kontrahierte Länge zeigt 1 m, das Verhältnis zeigt 100% — jeder relativistische Effekt ist weggerundet. Die kinetische Energie zeigt trotzdem 7.949×10⁶ J. Welche Anzeige lügt?

Antwort anzeigen

Keine. Die Zeile der kinetischen Energie ist die einzige, die mit c² multipliziert wird, also die einzige, in der der Überschuss überlebt: γ − 1 beträgt 8.845×10⁻¹¹, neun Teile in hundert Milliarden, und die Zeile setzt genau diesen Wert ein statt des gerundeten γ. Mal c² = 8.99×10¹⁶ ergibt das 7.9 Megajoule pro Kilogramm. Prüfe es an Newton nach: die Bahngeschwindigkeit der Voreinstellung ist 3987.2 m/s, und ½mv² = ½ × 1 × 3987.2² = 7.949×10⁶ J, dieselbe Zahl. Bei Bahngeschwindigkeiten ist Relativität in den Längen nicht messbar und in den Energien nicht zu übersehen, und der ganze Unterschied ist, wie groß c² ist.

Aufgabe vollständig gelöst

Ein Meterstab, der bei 0,8 c 60 cm misst 5 Schritte
Bei 0,8c misst ein Meterstab 60 cm. Leiten Sie dies ab und bestimmen Sie anschließend, wie stark die newtonsche kinetische Energie dasselbe Objekt unterschätzt.
1. Alles geht auf einen einzigen Faktor zurück. Bei 0,8c ergibt die Quadratwurzel exakt 0,6 — eine der wenigen Geschwindigkeiten, bei denen die Rechnung glatt aufgeht, weshalb Lehrbücher sie verwenden.
  
  $γ = \frac{1}{1 - β ^{2}} = \frac{1}{1 - 0.64} = \frac{1}{0.6} = 1.6667$
2. Die Länge verkürzt sich um den Kehrwert dieses Faktors, sodass 60% keine Näherung ist, sondern exakt 3/5.
  
  $\frac{L}{L _{0}} = \frac{1}{γ} = 0.60 = 60%$
3. Es lohnt sich, diesen Faktor zu tabellieren, denn sein Verlauf macht das gesamte Thema aus. Bis zur halben Lichtgeschwindigkeit ändert er sich kaum, steigt dann aber steil an: 2,29 bei 0,9c, 7,09 bei 0,99c, 22,4 bei 0,999c.
  
  $β = 0.9 : γ = 2.294; β = 0.99 : γ = 7.089; β = 0.999 : γ = 22.37$
4. In der kinetischen Energie liegt die praktische Konsequenz. Der relativistische Ausdruck ist nicht ½mv² mit einer aufgesetzten Korrektur; er ist der Überschuss der Gesamtenergie über die Ruheenergie.
  
  $K = (γ - 1) m c^{2} = 0.6667 m c^{2}$
5. Bei 0,8c sind das 0,667mc² gegenüber den newtonschen 0,32mc².
  
  $\frac{1}{2} m v^{2} = 0.32 m c^{2} ⟹ Newton is short by a factor of 2.08$
Antwort

Das Werkzeug gibt ein Längenkontraktionsverhältnis von 60% aus. Die Zahl, die das Bedienfeld nicht anzeigt, betrifft die Energie: Newton liegt bei dieser Geschwindigkeit um einen Faktor von 2,08 zu niedrig, und die Abweichung divergiert wie der Faktor selbst. Deshalb werden Teilchenbeschleuniger über die Energie statt über die Geschwindigkeit beschrieben — eine Maschine kann die Energie eines Protons verdoppeln und seine Geschwindigkeit von 0,99c auf 0,997c anheben, was nach fast nichts klingt und doch das gesamte Upgrade ausmacht. Schieben Sie den Regler auf 0,999c und beobachten Sie, wie das Längenverhältnis auf 4,471% fällt, während sich die Geschwindigkeit erst in der dritten Nachkommastelle ändert.

$γ = (1 - β^{2})^{- 1/2} : L / L_{0} = 60% at 0.8 c, K = 0.667 m c^{2}$

Quellen (7)

Rapidity as the additive hyperbolic angle of a boost: J. A. Rhodes and M. D. Semon, "Relativistic velocity space, Wigner rotation, and Thomas precession." American Journal of Physics 72(7), 943–960, 2004.
On stating time dilation and contraction without the usual sleights: N. D. Mermin, "Lapses in relativistic pedagogy." American Journal of Physics 62(1), 11, 1994.
The contraction proposed to reconcile the aether with the Michelson–Morley null result: G. F. FitzGerald, "The Ether and the Earth's Atmosphere." Science ns-13(328), 390, 1889.
The same factor derived from two postulates, with no aether: A. Einstein, "Zur Elektrodynamik bewegter Körper." Annalen der Physik 322(10), 891–921, 1905.
Why the relativistic-mass row is a historical convention rather than current usage: L. B. Okun, "The Concept of Mass." Physics Today 42(6), 31–36, 1989.
Time dilation measured directly on muons in a storage ring: J. Bailey et al., "Measurements of relativistic time dilatation for positive and negative muons in a circular orbit." Nature 268, 301–305, 1977.
The satellite-clock corrections, both signs of them: N. Ashby, "Relativity in the Global Positioning System." Living Reviews in Relativity 6, 1, 2003.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-06-14

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Beispielaufgaben

Myon (0.9c) - Myon bei 0.9c: γ=2.29, die Zeit verlangsamt sich
GPS-Satellit - GPS-Satellit: winzige, aber messbare Zeitdilatation
Halbe c - Halbe Lichtgeschwindigkeit: γ=1.155
0.99c - 0.99c: γ=7.09, dramatische Effekte