Luftspiegelungen: Von heißer und kalter Luft gekrümmtes Licht

Stelle die Lufttemperatur ein, wie heiß oder kalt der Boden ist, wie sich die Luft darüber erwärmt oder abkühlt, deine Augenhöhe und einen gestreiften Pfahl in einiger Entfernung. Die Seite verfolgt die Sichtlinien durch die Luft und zeigt sie im Profil. Zudem siehst du, was dein Auge wahrnehmen würde: den Pfahl, den Himmel, die Straße und den Himmel, der auf der Straße liegt.

Rechenbeispiel — Luftspiegelungen: Von heißer und kalter Luft gekrümmtes Licht

Lufttemperatur am Boden und an deinem Auge	50,0 °C und 30,0 °C
Der Spiegelungsstrahl ist länger um	4,80 mm

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Luftspiegelungen: Von heißer und kalter Luft gekrümmtes Licht

Eine Luftspiegelung ist ein Bild, das durch Licht entsteht, welches sich durch Luft gekrümmt hat, deren Brechungsindex sich mit der Höhe ändert. Entlang eines Strahls in horizontalen Schichten bleibt n cos θ konstant (θ über der Waagerechten; auf der gekrümmten Erde mit m = n + z/R anstelle von n). Daher wird eine Sichtlinie, die das Auge im Tiefenwinkel α verlässt, vor dem Boden wieder nach oben umgelenkt, wann immer m(H) cos α > m(0) gilt. Dort, wo m am Boden am kleinsten ist, wie etwa über einer Straße, die heißer als die Luft ist, trennt der Streifwinkel α_c = arccos(m(0)/m(H)) ≈ √(2Δm), mit Δm = m(H) − m(0), die Sichtlinien, die auf den Boden treffen, von denen, die davor umkehren. Das Auge, das den Strahl geradlinig extrapoliert, verortet den Beginn der Luftspiegelung daher bei H / tan α_c.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

n: Brechungsindex der Luft; n − 1 = 7,86×10⁻⁴ p/(273 + t) für trockene Luft, p in kPa und t in °C
α_c: der Winkel der streifenden Sichtlinie unter der Waagerechten
m: der Brechungsindex unter Einbezug der Erdkrümmung, n + z/R
k: wie stark sich ein waagerechter Strahl krümmt, als Bruchteil der Erdkrümmung
γ: wie schnell sich die Luft mit der Höhe erwärmt, in K pro Meter; negativ bei Abkühlung

Setzt voraus: Trockene Luft, horizontal einheitliche Schichten und die einfache NIST-Formel für den Brechungsindex. NIST gibt diese für 0 bis 35 °C an; für höhere Temperaturen, wie an einer Straßenoberfläche, nutzt die Seite deren Term für trockene Luft weiter. Dieser entspricht der Dichte eines idealen Gases, allerdings ohne diese Garantie. Eine reale heiße Oberflächenschicht ist turbulent, weshalb eine echte Luftspiegelung flimmert.

Die Pfütze hat einen Rand, und dieser fährt mit dir mit 🖖

Klick auf Heiße Straße, im Auto. Bei Luft von 30 °C über einer Straße von 50 °C ist der Brechungsindex an deinem Auge um 1,62×10⁻⁵ höher als an der Straßenoberfläche: Heiße Luft ist dünner, und das Licht breitet sich darin ein wenig schneller aus. Eine Sichtlinie, die dein Auge flach genug verlässt, wird durch diesen Unterschied wieder nach oben gebogen, bevor sie die Straße erreicht, und kommt aus Richtung des Himmels zurück. Die steilste, die das noch schafft, streift die Straße 0,3284° unter der Waagerechten. Alles, was steiler ist, trifft auf den Asphalt. Dein Auge geht davon aus, dass das Licht geradlinig verläuft. Es verortet diese streifende Richtung also auf der Straße 209,3 m voraus, und alles dahinter sieht aus wie Himmel, der auf der Straße liegt: Wasser. Andrew T. Youngs Seiten über Luftspiegelungen, die ein Foto einer Wüsten-Fata-Morgana beschreiben, sagen dasselbe: Die Luftspiegelung beginnt an einer scharfen Grenze, an der die Sichtlinie unter dem kritischen Winkel auf den Boden trifft. Nichts in diesem Satz hängt davon ab, wo du dich befindest, also fährt der Rand mit dir mit. Klick auf Abspielen und beobachte, wie der Pfahl auf dich zukommt: Sein umgekehrtes Bild schrumpft und verschwindet, sobald der Pfahl näher als 235,3 m ist. Dort kehrt der streifende Strahl tatsächlich um, während der Rand stets 209,3 m voraus bleibt.

Das Licht der Luftspiegelung nimmt den langsameren Weg, und nicht einmal einen lokal schnellsten 🖖

Zwei Strahlen aus dem Auge erreichen den Punkt in 1,00 m Höhe am Pfahl: der direkte, der fast gerade verläuft, und der Spiegelungsstrahl, der bis auf 35,7 mm über der Straße abtaucht und wieder nach oben kommt. Beide Strahlen sind vom Fermatschen Prinzip zugelassen. Es sind Wege, bei denen eine kleine Änderung keine Änderung erster Ordnung in der Laufzeit bewirkt. Der Spiegelungsstrahl ist jedoch 4,80 mm länger, und obwohl er einen Teil seines Weges in schnellerer Luft zurücklegt, kommt er 12,57 ps später an. Die Ergebnistabelle geht noch einen Schritt weiter. Verbiegst du den Spiegelungsstrahl in der Mitte um 1,2 cm nach oben oder unten, während du seine Enden festhältst, wird sein optischer Weg in beide Richtungen kürzer, um 5,17 µm und um 5,53 µm. Eine zweihöckrige Biegung hingegen macht ihn länger: Er befindet sich an einem Sattelpunkt, nicht an einem Minimum. Der direkte Strahl wird länger, egal in welche Richtung er gebogen wird. Das umgekehrte Bild wird von Licht getragen, dessen Weg stationär ist, ohne minimal zu sein. Genau das Gleiche passiert mit der Wirkung eines bewegten Körpers, wie die Seite über das Prinzip der kleinsten Wirkung zeigt.

Warme Luft über einem kalten Meer biegt Licht um die Erde 🖖

Normalerweise wird die Luft nach oben hin hauptsächlich deswegen dünner, weil der Druck fällt. Ein waagerechter Strahl krümmt sich dabei mit etwa einem Fünftel der Erdkrümmung nach unten: Die Voreinstellung Eismeer, normale Luft liefert 0,219. Aus 14 m Höhe ist der Horizont also 15,11 km entfernt, im Gegensatz zu den 13,36 km bei geraden Linien. Erwärmt sich die Luft mit der Höhe, biegt sich der Strahl stärker. In Luft von −20 °C sorgt eine Erwärmung um 0,0921 K pro Meter dafür, dass sich ein waagerechter Strahl exakt so stark krümmt wie die Erde. Die Seite benötigt 0,1129 bei 0 °C und 0,1295 bei 15 °C, was gut zu den 0,114 °C pro Meter passt, die Young von Alfred Wegener zitiert. Klick auf Eismeer, warme Luft oben: Bei 0,15 K pro Meter krümmt sich der Strahl 1,435-mal so stark wie die Erde. Eine 30 m hohe Klippe in 50 km Entfernung, die eben noch unter dem Horizont lag, ist nun aufrecht einige Bogenminuten über der Waagerechten zu sehen. Die auf Nowaja Semlja überwinternde Besatzung von Barents sah die Sonne am 24. Januar 1597, obwohl ihr Mittelpunkt nach der Rekonstruktion von van der Werf und Kollegen noch 5° 26′ unter dem Horizont stand, zwei Wochen bevor sie eigentlich zu erwarten war.

Aufgabe vollständig gelöst

Wie heiß muss die Straße sein, damit die Pfütze in 100 m Entfernung beginnt? 4 Schritte
Das Auge am Steuer befindet sich 1,2 m über der Straße und die Luft hat 30 °C. Die Seite platziert die Pfütze auf einer 50 °C heißen Straße in 209,3 m Entfernung. Wie heiß müsste die Straßenoberfläche sein, damit sie bereits bei 100 m beginnt? Klick auf Heiße Straße, im Auto, um den ersten Schritt zu überprüfen.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Aus der Seite, im Anfangszustand:
  
  $α_{c} = 0.328 4^{\circ}, \frac{H}{tan α _{c}} = \frac{1 . 2}{tan 0 . 328 4 ^{\circ}} = 209.3 m$
2. Kehre das Ganze um. Damit der Rand in 100 m Entfernung liegt, muss die streifende Sichtlinie das Auge unter folgendem Winkel verlassen:
  
  $α = arctan \frac{1 . 2}{100} = 0.687 5^{\circ}$
3. Diese Sichtlinie streift die Straße, also muss der Brechungsindex an der Straßenoberfläche m(0) = m(H) cos α erfüllen. Am Auge, in Luft bei 30 °C, gilt m(H) = 1,000263003:
  
  $m (0) = m (H) cos α = 1.000263003 \times 0.999928008 \Rightarrow n_{0} - 1 = 1.9099 \times 1 0^{- 4}$
4. Löse die NIST-Formel nach der Temperatur auf, die diese Refraktivität ergibt, mit dem Druck auf Straßenhöhe:
  
  $t_{0} = \frac{7 . 86 \times 1 0 ^{- 4} \times 101 . 325}{1 . 9099 \times 1 0 ^{- 4}} - 273 = 144.0^{\circ} C$
Antwort

Etwa 144 °C. Fügst du eine Straße mit 144 °C in die Luft der Seite ein, liegt der Rand wieder bei 100,0 m. Das ist heißer als kochendes Wasser und liegt weit außerhalb des Temperaturbereichs, für den NIST seine Formel bürgt. Der Rand rückt nur langsam näher: 290,1 m für eine Straße, die 10 °C wärmer ist als die Luft, 209,3 m bei 20 °C, 152,9 m bei 40 °C. Die Pfütze bleibt weit voraus, weil Δn so klein ist: 1,62×10⁻⁵ für eine Straße, die 20 °C wärmer ist als die Luft.

$t_{0} \approx 144^{\circ} C, n_{H} - n_{0} = 7.18 \times 1 0^{- 5} (50^{\circ} C : 1.62 \times 1 0^{- 5})$

Lernpfad

Kürzeste Zeit, kleinste Wirkung

Quellen (3)

The refractive index of air: the Ciddor and Edlén equations and, in Appendix B, the shop-floor formula this page uses with the humidity term at zero, with the range of temperatures it is stated for: J. A. Stone and J. H. Zimmerman, "Index of Refraction of Air", Engineering Metrology Toolbox, National Institute of Standards and Technology, Appendix B "Simple Shop-floor Formula for Refractive Index of Air".
How mirages form: the hot-road mirage starting at the line of sight that meets the ground at the critical angle; why rays curve; the gradient at which a level ray follows the Earth; and ducts: A. T. Young, "An Introduction to Mirages" and "Calculating Ray Bending", web pages in the series "Mirages and Green Flashes", San Diego State University.
The Novaya Zemlya effect on Barents' third voyage: the Sun seen on 24 January 1597 while its centre was 5° 26′ below the horizon, reconstructed by ray tracing through a temperature inversion: S. Y. van der Werf, G. P. Können, W. H. Lehn, F. Steenhuisen and W. P. S. Davidson, "Gerrit de Veer's true and perfect description of the Novaya Zemlya effect, 24–27 January 1597", Applied Optics 42(3), 379–389 (2003).

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.