Das Prinzip der kleinsten Wirkung

Wähle einen geworfenen Ball oder eine Masse an einer Feder, stelle die Dauer der Bewegung ein und verforme die wahre Bahn mit den beiden Schiebereglern, während Anfang und Ende fest bleiben. Diese Seite berechnet die Wirkung (kinetische minus potentielle Energie über die Zeit) für die wahre und die verformte Bewegung und zeigt dir, welche kleiner ist.

Rechenbeispiel — Das Prinzip der kleinsten Wirkung

Wirkung der wahren Bewegung	67,9432 J·s
Wirkung der ausgelenkten Bahn	67,9432 J·s
Änderung durch die Auslenkung	0,0000 J·s
Diese Änderung laut Formel Σ cₙaₙ²	0,0000 J·s
Kosten eines Bogens pro Quadratmeter, c₁	1,2337 J·s/m²
Kosten zweier Bögen pro Quadratmeter, c₂	4,9348 J·s/m²
Wirkung der Gerade zwischen denselben Enden	100,0000 J·s
Höhe des wahren Bogens am Scheitelpunkt	4,903 m

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Das Prinzip der kleinsten Wirkung

Die Wirkung einer Bewegung q(t) zwischen festen Endpositionen zu festen Zeiten ist S = ∫ (K − V) dt, also kinetische minus potentielle Energie, aufsummiert über die Zeit. Das Hamiltonsche Prinzip: Die wahre Bewegung ist jene, für die S stationär ist, sodass eine kleine Änderung der Bewegung bei festgehaltenen Enden keine Änderung erster Ordnung in S verursacht. Für eine Auslenkung a sin(nπt/T) an einer Masse m mit V = ½mω²q² beträgt die Änderung exakt (mT/4)((nπ/T)² − ω²) a². Bei gleichförmiger Gravitation mit V = mgq verhält es sich genauso, nur mit ω = 0: Ein Potential, das linear von q abhängt, steuert dazu nichts bei.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

S: die Wirkung, ∫(K − V) dt, in Joulesekunden
aₙ: die Größe einer Auslenkung mit n Bögen, aₙ sin(nπt/T)
cₙ: was diese Auslenkung pro Quadratmeter kostet, (mT/4)((nπ/T)² − ω²)
ω: die Kreisfrequenz der Feder, 2π/P; null bei gleichförmiger Gravitation

Der Bogen des Balls hat eine geringere Wirkung als die Gerade 🖖

Klick auf Ball, 20 m geworfen. Die Wirkung ist die kinetische Energie abzüglich der potentiellen Energie, aufsummiert über den gesamten Flug: 67,9432 J·s für den wahren Bogen. Die Gerade zwischen denselben beiden Enden, die durchgehend auf gleicher Höhe verbleibt, erzielt 100,0000 J·s, also mehr. Klick auf Derselbe, 1 m höher. Ein höherer Flug fügt dem potentiellen Energieanteil ∫V dt zwar 12,4862 J·s hinzu, aber die nötige Geschwindigkeit, um in 2 s dorthin und zurück zu gelangen, schlägt beim kinetischen Anteil ∫K dt mit 13,7199 J·s zu Buche. Die Wirkung, also deren Differenz, steigt um 1,2337 J·s. Stellst du die Auslenkung auf −1, beträgt die Wirkung wieder 69,1769 J·s und ist um denselben Betrag gestiegen. Nichts an dieser Änderung ist von erster Ordnung: Sie entspricht exakt dem 1,2337-Fachen des Quadrats der Auslenkung. Der wahre Bogen liegt also am Grund einer Schüssel, genau wie der Kreuzungspunkt des Rettungsschwimmers. Physiker nennen dies das Hamiltonsche Prinzip. Bei gleichförmiger Gravitation kippt die Schüssel niemals um: Die Tabelle zeigt, dass jede Auslenkung die Wirkung erhöht, ganz gleich, wie lange der Wurf dauert.

An einer Feder gilt die kleinste Wirkung nur eine halbe Schwingungsdauer lang 🖖

Wechsle zur Feder und klick auf Feder für 1,5 s, ein Bogen. Die Schwingungsdauer der Feder beträgt 2 s, die Bewegung läuft also über eine halbe Schwingungsdauer hinaus. Jetzt verringert die Auslenkung um einen Bogen die Wirkung: Bei einer Auslenkung von 0,2 m fällt sie von 0,0000 auf −0,0822 J·s, und c₁ ist −2,0562. Klick auf Feder für 1,5 s, zwei Bögen, und die Wirkung steigt stattdessen auf 0,1151 J·s. Die wahre Bewegung liegt tiefer als manche Nachbarn und höher als andere. Es handelt sich um einen Sattelpunkt, dieselbe Form wie beim Lichtstrahl der Luftspiegelung auf der heißen Straße. Selbst die Gerade zwischen denselben Enden erreicht −2,1341 J·s und liegt damit weit unter der wahren Bewegung. Der Grund dafür ist der Zug zurück zur Mitte. Eine Auslenkung mit n Bögen kostet (mT/4)((nπ/T)² − ω²). Sobald T eine halbe Schwingungsdauer überschreitet, fällt π/T unter ω und der erste Bogen kippt um. Der Fachartikel von Gray und Taylor zu diesem Thema trägt passenderweise den Titel „When action is not least“; sie zeigen darin, dass die Wirkung für ausreichend kurze Bewegungen ein Minimum ist und niemals ein echtes Maximum. Das Prinzip, das bei jeder Dauer gilt, ist, dass die Wirkung stationär ist.

Bei exakt einer halben Schwingungsdauer kostet eine Auslenkung nichts 🖖

Klick auf Feder für halbe Periode. Die Masse bewegt sich in genau 1 s von 1 m Auslenkung auf die andere Seite bei 1 m. Wenn du sie um 0,2 m mit einem Bogen auslenkst, verändert sich die Wirkung überhaupt nicht und bleibt bei 0,0000 J·s. Das gilt für eine Auslenkung jeder Größe: Die Parabel im zweiten Feld liegt flach. Die abgelenkte Bewegung ist keine Näherung an eine wahre Bewegung, sie ist selbst eine wahre Bewegung. Wenn du eine Masse an dieser Feder bei 1 m mit einem Stoß loslässt, erreicht sie nach einer halben Schwingungsdauer unabhängig von der Stärke des Stoßes −1 m, da die Schwingungsdauer nicht von der Amplitude abhängt. Jede dieser Bewegungen verbindet dieselben zwei Enden in derselben Zeit mit derselben Wirkung. Gray und Taylor nennen das zweite Ende den kinetischen Fokus des ersten. Darüber hinaus ist die Wirkung ein Sattelpunkt, wie die Voreinstellungen für 1,5 s gezeigt haben.

Aufgabe vollständig gelöst

Ein Fall durch die Erde 4 Schritte
Bohre ein gerades Loch durch eine gleichförmige Erde und lass einen Ball hineinfallen. Im Inneren ist die Gravitation proportional zum Abstand vom Zentrum. Der Ball bewegt sich also wie eine Masse an einer Feder mit ω² = g/R, wobei R = 6.371 km. Wie lange darf die Reise dauern, damit die Wirkung des Balls noch ein Minimum ist, und wo befindet sich der Ball dann? Klick auf Feder für 1,5 s, ein Bogen, um den ersten Schritt zu überprüfen.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. An der 2-s-Feder auf dieser Seite verringert die Auslenkung um einen Bogen die Wirkung jenseits einer halben Schwingungsdauer:
  
  $P = 2 s, T = 1.5 s : c_{1} = \frac{m T}{4} (\frac{π ^{2}}{T ^{2}} - ω^{2}) = - 2.0562 J s/ m^{2}$
2. c₁ wechselt das Vorzeichen, wo π/T = ω ist, was einer halben Schwingungsdauer entspricht:
  
  $c_{1} = 0 ⟺ \frac{π}{T} = ω ⟺ T = \frac{π}{ω} = \frac{P}{2}$
3. Für den Tunnel, mit g = 9,80665 m/s²:
  
  $ω = \frac{g}{R} = \frac{9 . 80665}{6 , 371 , 000} = 1.2407 \times 1 0^{- 3} s^{- 1}, P = \frac{2 π}{ω} = 5064 s = 84.41 min$
4. Die Hälfte davon:
  
  $\frac{P}{2} = 42.20 min, x (\frac{P}{2}) = R cos π = - R$
Antwort

Die Wirkung des Balls ist für jede Reise, die kürzer als 42,20 Minuten dauert, ein Minimum. Genau 42,20 Minuten dauert der Fall von einer Seite der Erde zur anderen: x = R cos ωt erreicht nach einer halben Schwingungsdauer −R. Reisen, die auf der gegenüberliegenden Seite enden, befinden sich am kinetischen Fokus, längere Reisen auf dem Rückweg sind Sattelpunkte. Der Ball passiert den Mittelpunkt mit ωR = 7,90 km/s.

$T < 42.20 min ⟺ c_{1} > 0, v_{m a x} = ω R = 7.90 km/s$

Lernpfad

Kürzeste Zeit, kleinste Wirkung

Quellen (2)

Whether the action of a true motion is a minimum: a minimum for short enough motions, a trough at the kinetic focus, a saddle beyond it and never a true maximum; the harmonic oscillator's kinetic focus at half a period, the formula for the change made by each Fourier bend, and no kinetic focus in uniform gravity: C. G. Gray and E. F. Taylor, "When action is not least", American Journal of Physics 75(5), 434–458 (2007).
Hamilton's principle derived from Newton's laws for a particle moving in one dimension in a given time, with the footnote that strictly the path need only be stationary: M. Fowler, "Hamilton's Least Action Principle and Noether's Theorem", lecture 4 of the lecture notes for Graduate Classical Mechanics (Physics 7010), University of Virginia.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.