Brachistochrone: Die schnellste Rutsche

Wähle, wie weit seitlich und wie weit unten das Ziel liegt, und zieh den orangefarbenen Griff, um deine eigene Rampe zu zeichnen. Vier Perlen werden reibungsfrei und gleichzeitig losgelassen: auf der geraden Rampe, Galileis Kreisbogen, der Zykloide und deiner Kurve. Schau, welche zuerst ankommt, und lies unten, warum das so ist.

Rechenbeispiel — Brachistochrone: Die schnellste Rutsche

Gerade Rampe: Zeit	0,6387 s
Radius des rollenden Kreises	0,5729 m
Zykloide: Zeit	0,5830 s
Galileis Bogen (Tiefpunkt im Ziel): Zeit	0,5921 s
Deine Kurve: Zeit	0,5847 s
Rampe langsamer als Zykloide um	9,55%
Wie weit die Zykloide unter das Ziel reicht	0,000 m
Auf der Zykloide ist sin θ / v überall	0,2109 s/m

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Brachistochrone: Die schnellste Rutsche

Die Brachistochrone (griechisch für kürzeste Zeit) ist die Kurve, auf der eine Perle, die reibungsfrei aus der Ruhe unter dem Einfluss der Schwerkraft gleitet, am schnellsten von einem Punkt zu einem tieferen gelangt. Sie ist die Zykloide x = R(φ − sin φ), y = R(1 − cos φ) (y abwärts gemessen). Dies ist der Weg eines Punktes auf dem Rand eines Kreises mit dem Radius R, der an der Startlinie entlangrollt und so gewählt ist, dass er durch das Ziel verläuft. Ihre Zeit ist φ_B √(R/g), und entlang der Kurve gilt sin θ / v = 1/(2√(gR)).

Was die einzelnen Symbole bedeuten

φ: wie weit sich der rollende Kreis gedreht hat, in Radiant; φ_B im Ziel
R: Radius des rollenden Kreises
θ: der Neigungswinkel zur Vertikalen
v: die Geschwindigkeit der Perle, √(2gy) in der Tiefe y auf jeder reibungsfreien Strecke

Die längere Rutsche gewinnt 🖖

Klick auf 1 m seitlich, 1 m tief und beobachte die vier Perlen. Die gerade Rampe ist mit 1,414 m die kürzeste Strecke und kommt mit 0,6387 s als Letzte an. Die Zykloide ist 0,060 m länger und kommt mit 0,5830 s als Erste an, weil sie am Start steil abfällt und die Perle den Rest der Fahrt mit hoher Geschwindigkeit zurücklegt. Jede Perle kommt mit derselben Geschwindigkeit von 4,429 m/s an, die ein Fall um 1 m auf einer reibungsfreien Strecke erzeugt; die Form entscheidet nur darüber, wie früh. Johann Bernoulli drückte es in seiner Preisaufgabe vom Juni 1696 so aus: Die gerade Linie ist die Linie des kürzesten Weges, „aber sie ist nicht diejenige, die in der kürzesten Zeit durchlaufen wird“. Galilei hatte bereits 1638 gezeigt, dass ein Kreisbogen die gerade Sehne schlägt, und dachte, der Kreis könnte die Antwort sein. Sein Viertelkreis schlägt hier die Rampe, aber nicht die Zykloide: 0,5921 s, also 1,56 % zurück. Achte auf deine orangefarbene Kurve: Sie folgt der Zykloiden nur ungefähr und liegt 0,29 % dahinter. In der Nähe des besten Weges ändert sich die Zeit kaum, genau wie beim Rettungsschwimmer.

Weit genug entfernt führt der schnellste Weg unter das Ziel 🖖

Klick auf 4 m seitlich, 1 m tief. Die Zykloide, die das Ziel erreicht, taucht nun 0,504 m darunter ab und steigt wieder an, und sie gewinnt trotzdem: 1,2117 s gegenüber 1,8620 s für die Rampe und 1,4847 s für Galileis Bogen. Weiter nach unten zu gehen, als man muss, sieht nach Verschwendung aus, aber die Tiefe kauft Geschwindigkeit für die lange Strecke hinüber, und den letzten halben Meter aufzusteigen, kostet weniger Zeit, als mit flachem Gefälle hinüberzukriechen. Die Zykloide sinkt ab, wenn das Ziel mehr als π/2 = 1,5708-mal so weit seitlich wie abwärts liegt, denn nur dann hat sich ihr rollender Kreis bei der Ankunft um mehr als eine halbe Umdrehung gedreht. Bei 10 m seitlich, 1 m tief verläuft sie 2,312 m unter dem Ziel und die Rampe braucht 115,71 % länger. Sussmann und Willems weisen darauf hin, dass Bernoullis eigenes Argument von 1697 genau hier, am tiefsten Punkt, eine Lücke aufweist, welche die spätere Theorie der optimalen Steuerung schließt.

Die Perle gehorcht dem Snelliusschen Brechungsgesetz 🖖

Bernoullis Lösung, veröffentlicht im Mai 1697, behandelte die Perle nicht als Perle. Ihre Geschwindigkeit in der Tiefe y ist √(2gy), auf welcher Strecke auch immer. Deshalb stellte er sich Licht vor, das durch ein in dünne Schichten geschnittenes Medium wandert, in dem die Lichtgeschwindigkeit genau auf diese Weise mit der Tiefe zunimmt. Licht, das die Schichten durchquert, hält sin θ / v in jeder Schicht konstant – das Snelliussche Brechungsgesetz mit Geschwindigkeiten – und der Weg der kürzesten Zeit dieses Lichts ist der Weg der kürzesten Zeit der Perle. Das zweite Panel überprüft dies an der Perle selbst: Entlang der Zykloiden bleibt sin θ / v von oben bis unten bei 0,211 s/m, während der Wert auf der geraden Rampe, deren Winkel sich nie ändert, von 0,505 s/m nach einem Zehntel des Weges auf 0,168 s/m nach neun Zehnteln abfällt, da die Perle schneller wird. Die Regel, die den Rettungsschwimmer bei 36,18 m ins Wasser schickte, ist dieselbe Regel, die die Zykloide zeichnet.

Aufgabe vollständig gelöst

Leg das Ziel beliebig tief 4 Schritte
Das Ziel liegt 4 m seitlich, aber du kannst es in jede beliebige Tiefe legen. Wie weit unten sollte es liegen, damit die Perle die 4 m zur Seite in der kürzesten Zeit zurücklegt, und wie viel schneller ist das als ein Ziel in 1 m Tiefe? Klick auf 4 m seitlich, 1 m tief, um den ersten Schritt zu überprüfen.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Mit dem Ziel in 1 m Tiefe liefert die Seite die Zeit der Zykloiden:
  
  $H = 1 m : T = φ_{B} R / g = 1.2117 s$
2. Wenn die Tiefe frei wählbar ist, liegt das beste Ziel dort, wo die Zykloide selbst waagerecht verläuft, nämlich am tiefsten Punkt ihres Bogens, sodass die Perle die Ziellinie waagerecht überquert. Das entspricht einer halben Umdrehung des rollenden Kreises:
  
  $\frac{d y}{d x}_{B} = 0 \Rightarrow φ_{B} = π$
3. Eine halbe Umdrehung lässt den Kreis um πR abrollen, R ergibt sich also aus den 4 m, und die Tiefe entspricht dem Kreisdurchmesser:
  
  $π R = 4 \Rightarrow R = \frac{4}{π} = 1.2732 m, H = 2 R = 2.5465 m$
4. und die Zeit ist φ_B √(R/g):
  
  $T = π \frac{1 . 2732}{9 . 80665} = \frac{4 π}{9 . 80665} = 1.1320 s$
Antwort

Leg das Ziel 2,5465 m tief, 1,5465 m tiefer als zuvor, und die Perle überwindet die 4 m in 1,1320 s, also 0,0797 s schneller als die 1,2117 s zu einem Ziel in 1 m Tiefe. Tipp 2,5465 in das Tiefenfeld ein und die Seite stimmt zu: φ_B ist 180,00° und die Zykloide braucht 1,1320 s. Fowlers Vorlesungsskript kommt im Allgemeinen zur selben Form: Die schnellste Kurve für eine gegebene seitliche Entfernung ist die Halbzykloide, die waagerecht ankommt, und ihre Zeit berechnet sich zu √(πL/g).

$H = 2.5465 m, T = 1.1320 s, 1.2117 - 1.1320 = 0.0797 s$

Lernpfad

Kürzeste Zeit, kleinste Wirkung

Quellen (2)

The history and the mathematics: Bernoulli's challenge of June 1696 and its wording, Galileo's circular arc of 1638, the solutions of 1697, Bernoulli's own solution by Snell's law in thin layers, and the gap in it where the cycloid dips below the finish: H. J. Sussmann and J. C. Willems, "300 years of optimal control: from the brachystochrone to the maximum principle", IEEE Control Systems 17(3), 32–44 (1997).
The brachistochrone derived by the calculus of variations, and the fastest curve to a given horizontal distance when the drop is free, a half-cycloid that arrives level: M. Fowler, "The Calculus of Variations", lecture 2 of the lecture notes for Graduate Classical Mechanics (Physics 7010), University of Virginia.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.