Parameterkurven

Erkunde Parameterkurven: beobachte den Kurvenpunkt und den Tangentenvektor, während t sich ändert.

Rechenbeispiel — Parameterkurven

t	3.1416
(x, y)	(-1.000, 0.000)
Geschwindigkeit \|dr/dt\|	2.000
dx/dt, dy/dt	(0.000, 2.000)

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Dasselbe Bild lässt sich mit sehr verschiedenen Geschwindigkeiten zeichnen 🖖

Eine Parameterkurve trägt mehr Information als die Form, die sie hinterlässt. Vergleiche (cos t, sin t) mit (cos 2t, sin 2t): beide zeichnen denselben Einheitskreis, und keine Zeichnung könnte sie unterscheiden — die zweite ist jedoch in der halben Zeit fertig. Unendlich viele Parametrisierungen erzeugen genau dasselbe Bild. Deshalb ist die Bogenlänge eine Eigenschaft der Spur, während Geschwindigkeit und Richtung allein zum Fahrplan gehören, der sie erzeugt hat, und deshalb greift die Physik zu Parametern statt zu Funktionsgraphen: die Bahn eines Planeten ist eine Form, doch seine Bewegung entlang dieser Form ist der entscheidende Teil.

Zwei Regeln lenken einen Stift 🖖

Statt zu fragen, welches y zu jedem x gehört, lässt eine Parameterkurve eine Uhr t laufen und steuert einen Stift mit zwei getrennten Regeln: x(t) legt fest, wie weit nach rechts, y(t) wie weit nach oben. Die sichtbare Spur ist nur die halbe Geschichte — der wandernde Punkt und sein Tangentenvektor liefern den Rest: Richtung und Geschwindigkeit. Da die Länge des Pfeils die Geschwindigkeit ist, kann dieselbe Form gemächlich oder in Eile gezeichnet werden und identisch aussehen, während die Bewegung dahinter völlig anders ist.

Die Uhr, die ihren Ausschlag ignoriert 🖖

Dreht man die Zykloide x = t − sin(t), y = 1 − cos(t) auf den Kopf, wird sie zur Tautochrone: eine reibungsfreie Kugel erreicht den tiefsten Punkt in genau derselben Zeit, egal wo man sie loslässt. Christiaan Huygens nutzte dies 1673 und formte Pendeluhren mit Zykloidenbacken, sodass das Pendel unabhängig von der Schwingungsweite exakt die Zeit hielt. Eine einzige Parameterkurve schenkte der Uhrmacherei ihr erstes amplitudenunabhängiges Pendel.

Aufgabe vollständig gelöst

Position und Geschwindigkeit der Lissajous-Kurve bei t = π 6 Schritte
Die Lissajous-Kurve x = cos 3t, y = sin 2t bei t = π. Bestimmen Sie die Position und die Geschwindigkeit, die die Anzeige ausgibt, und finden Sie dann die eine Sache, die sie nicht angibt: wie scharf sich die Kurve krümmt.
1. Zwei unabhängige Funktionen desselben Parameters. Ihre Ableitung bildet die gesamte Geschwindigkeit, und die Kettenregel liefert die Faktoren 3 und 2.
  
  $x (t) = cos 3 t, y (t) = sin 2 t; \overset{x}{˙} = - 3 sin 3 t, \overset{y}{˙} = 2 cos 2 t$
2. Berechnen Sie zuerst die Position. Beide trigonometrischen Funktionen ergeben exakte Werte, weshalb sich die Wahl von π lohnt.
  
  $t = π : x = cos 3 π = - 1, y = sin 2 π = 0$
3. Nun die Geschwindigkeit. Eine Komponente verschwindet und die andere erreicht ihr Maximum — die Bewegung in diesem Augenblick ist rein vertikal.
  
  $\overset{x}{˙} = - 3 sin 3 π = 0, \overset{y}{˙} = 2 cos 2 π = 2 ⟹ ∣ \dot{r} ∣ = 2.000$
4. Dieses Verschwinden ist kein arithmetischer Zufall: x befindet sich an einem Umkehrpunkt, und die Kurve berührt hier ihren äußerst linken Punkt.
  
  $\overset{x}{˙} = 0 with \overset{y}{˙} \neq = 0 : the curve is moving straight up, and x is at a turning point$
5. Für die Krümmung wird jeweils eine weitere Ableitung benötigt. Beide sind genauso einfach wie die erste, was der Gewinn der Parameterform ist.
  
  $\overset{x}{¨} = - 9 cos 3 t = 9, \overset{y}{¨} = - 4 sin 2 t = 0$
6. Setzen Sie die Standardformel zusammen. Der Zähler ist ein Kreuzprodukt und der Nenner ist die dritte Potenz der Geschwindigkeit, weshalb schnelle Punkte flach wirken, sofern sie sich nicht wirklich stark krümmen.
  
  $κ = \frac{∣ x ˙ y ¨ - y ˙ x ¨ ∣}{( x ˙ ^{2} + y ˙ ^{2} ) ^{3/2}} = \frac{∣0 - 18∣}{8} = 2.25 ⟹ ρ = \frac{1}{κ} = 0.444$
Antwort

Krümmungsradius 0,444 — die Kurve krümmt sich innerhalb eines Kreises von deutlich weniger als einer halben Einheit. Geschwindigkeit und Krümmung sind unabhängig voneinander, und dieser Punkt macht den Unterschied deutlich: Die Geschwindigkeit beträgt 2, den Maximalwert, den jede der beiden Komponenten erreicht, während sich die Bahn hier so eng krümmt wie sonst nirgends auf der Figur. Ein Auto an diesem Punkt fährt schnell und nimmt die Kurve hart, was genau die Kombination ist, die Seitenkräfte erzeugt. Nichts in der Anzeige von Position oder Geschwindigkeit deutet darauf hin, da für die Krümmung die zweite Ableitung benötigt wird und die Anzeige bei der ersten aufhört. Das ist auch der Grund, warum sich die Parameterform lohnt: Als Beziehung zwischen x und y ist diese Kurve ein Gewirr sechsten Grades, und als zwei Funktionen von t ist jede Ableitung eine einzige Zeile lang.

$(x, y) = (- 1, 0), ∣ \dot{r} ∣ = 2.000, κ = 2.25, ρ = 0.444$

Quellen (1)

Insight block 3 — the tautochrone, and the clock built on it: C. Huygens, Horologium Oscillatorium sive de motu pendulorum. F. Muguet, Paris, 1673 — the cycloidal cheeks that make a pendulum's period independent of its swing.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.