Fermatsches Prinzip: Das Rettungsschwimmer-Problem

Setze einen Rettungsschwimmer auf den Sand und einen Schwimmer ins Wasser. Lege fest, wie schnell der Rettungsschwimmer läuft und schwimmt, und wähle, wo er ins Wasser geht. Drei Läufer starten gleichzeitig: dein Weg, der direkte Weg und der schnellste Weg, den die Seite berechnen kann. Zieh den orangen Punkt an der Wasserkante entlang und schau, wie sich die Zeit verändert und wie wenig sie in der Nähe des Tiefpunkts schwankt.

Rechenbeispiel — Fermatsches Prinzip: Das Rettungsschwimmer-Problem

Dein Weg: laufen, dann schwimmen	22,90 s
Schnellster Eintrittspunkt	36,18 m
Kürzeste Zeit	19,48 s
Zeitverlust deines Weges	3,417 s
Parabel-Schätzung des Verlusts	4,242 s
Direkter Weg zum Schwimmer	22,90 s
Direkter Weg, langsamer um	17,54%
Länge: direkter und bester Weg	56,57 m und 61,70 m

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Fermatsches Prinzip: Das Rettungsschwimmer-Problem

Fermatsches Prinzip: Licht breitet sich zwischen zwei Punkten auf einem Weg aus, dessen Laufzeit stationär ist. Das bedeutet, dass eine kleine Änderung des Weges keine Änderung erster Ordnung in der Zeit verursacht. Für einen Rettungsschwimmer, der mit v₁ läuft und mit v₂ schwimmt, beträgt die Gesamtzeit über den Eintrittspunkt x T(x) = √(x² + a²)/v₁ + √((L − x)² + b²)/v₂. Das Minimum liegt dort, wo sin θ₁ / v₁ = sin θ₂ / v₂ gilt, wobei die Winkel zur Senkrechten der Wasserkante gemessen werden. Für Licht macht v = c/n daraus das Snelliussche Brechungsgesetz: n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

x: wo der Weg die Wasserkante kreuzt
v_1: Geschwindigkeit auf dem Sand
v_2: Geschwindigkeit im Wasser
θ: Winkel zwischen einem Wegabschnitt und der Senkrechten zur Wasserkante
T″: die zweite Ableitung der Zeit am besten Punkt; eine Abweichung von Δ kostet etwa ½T″Δ²

Setzt voraus: Angenommen werden geradlinige Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit auf beiden Seiten einer scharf abgegrenzten Wasserkante, kein Zeitverlust beim Richtungswechsel oder Eintauchen und ein Schwimmer, der auf der Stelle bleibt. Pennings führt für Elvis dieselben Annahmen an und ergänzt, dass Wellen die Kante verwischen und ein Corgi noch ein Stück ins Wasser läuft, bevor er anfängt zu schwimmen.

Der kürzeste Weg ist der langsame, und die offensichtliche Alternative ist fast perfekt 🖖

Klick auf Direkt auf den Schwimmer. Der direkte Weg ist 56,57 m lang und dauert 22,90 s, da die Hälfte davon mit 1,5 m/s geschwommen wird. Der schnellste Weg ist 5,13 m länger und dauert 19,48 s: Er verläuft 41,34 m auf dem Sand und nur 20,36 m im Wasser. Klick nun auf Möglichst wenig schwimmen. Zum schwimmernächsten Punkt zu laufen und von dort gerade hinaus zu schwimmen, dauert 19,72 s. Das liegt 0,242 s hinter dem besten Weg und ist eine Regel, die jeder ohne Rechnung befolgen kann. Sie funktioniert hier, weil dieser Rettungsschwimmer 4,7-mal so schnell läuft wie er schwimmt. Setzt du beide Geschwindigkeiten gleich, verliert dieselbe Regel 5,435 s gegenüber dem direkten Weg.

In der Nähe des besten Punktes ändert sich die Zeit kaum 🖖

Zieh den orangen Punkt und beobachte das zweite Feld. Sein Minimum ist flach: Ein Eintritt 1 m vor dem besten Punkt kostet 16,1 ms, 2 m kosten 63,6 ms und 10 m kosten 1,43 s; dahinter sind es 16,3 ms und 1,67 s. Die zehnfache Abweichung bedeutet den 89- bis 102-fachen Zeitverlust. Das liegt daran, dass die Zeit quadratisch mit der Abweichung wächst und keinen linearen Term enthält. Die gestrichelte Parabel, ½T″Δ², stellt genau dieses Quadrat dar und liegt nahe dem Tiefpunkt direkt auf der echten Kurve. Das ist die Form, in der Physiker das Fermatsche Prinzip formulieren: Licht wählt einen Weg, bei dem eine kleine Variation keine Änderung erster Ordnung in der Laufzeit bewirkt. Der beste Eintrittspunkt liegt dort, wo die Steigung dT/dx null ist. Daraus folgt sin θ₁ / v₁ = sin θ₂ / v₂, und in der Ergebnistabelle stimmen sin θ₁ / sin θ₂ und v₁ / v₂ auf vier Stellen überein. Wandelt man die Geschwindigkeiten in Brechungsindizes um, ist das genau das Snelliussche Brechungsgesetz.

Ein Corgi am Lake Michigan, nachgemessen 🖖

Im Jahr 2003 stoppte der Mathematiker Tim Pennings die Zeiten seines Welsh Corgis Elvis. Er maß 6,40 m/s beim Laufen und 0,910 m/s beim Schwimmen. Über drei Stunden hinweg warf er einen Ball in den Michigansee und dokumentierte 35 Apportiervorgänge, jeden mit der exakten Stelle, an der Elvis ins Wasser ging. Ab der Wasserkante gerechnet liegt der schnellste Eintrittspunkt das 0,144-fache des Uferabstands des Balls vor dem Punkt, der dem Ball genau gegenüberliegt, vorausgesetzt, der Wurf reicht überhaupt so weit den Strand hinunter. Das dritte Feld trägt die 35 Apportiervorgänge gegen diese Linie auf. Davon liegen 23 darüber, Elvis ging also meist etwas zu früh ins Wasser, und eine an die Punkte angepasste Ausgleichsgerade hat eine Steigung von 0,171. Vier davon liegen sehr weit darüber; das sind die Punkte, die laut Pennings von einigen Lesern wohl als Ausreißer aussortiert würden. Schau dir dann den schattierten Bereich an, der jeden Eintrittspunkt mit weniger als einer Zehntelsekunde Zeitverlust markiert: Alle 35 Punkte liegen darin. Bei einem Lauf über 15 m kostete ihn sein schlechtester Wurf 94,4 ms und der Median lag bei 5,7 ms. Pennings zog daraus die Schlussfolgerung, dass Elvis keine Differentialrechnung beherrscht. Das musste er auch nicht, denn das Minimum ist flach.

Aufgabe vollständig gelöst

Ein Strand mit einem Streifen aus weichem Sand 5 Schritte
Der Rettungsschwimmer aus der ersten Voreinstellung muss nun 10 m weichen, trockenen Sand überqueren. Dort läuft er nur mit 4 m/s, bevor er 10 m festen Sand mit 7 m/s zurücklegt und dann das Wasser erreicht. Der Schwimmer ist immer noch 20 m entfernt und 40 m weiter den Strand hinunter; geschwommen wird weiterhin mit 1,5 m/s. Wie lautet nun die Bestzeit, und wie viel Zeit kostet es, den alten Weg über den neuen Strand zu laufen? Klick auf Direkt auf den Schwimmer, um den ersten Schritt zu überprüfen.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Ohne den weichen Streifen findet die Seite den besten Eintrittspunkt und die Bestzeit:
  
  $x^{*} = 36.18 m, T^{*} = \frac{41 . 34}{7} + \frac{20 . 36}{1 . 5} = 19.48 s$
2. Bei drei Streifen knickt der schnellste Weg an beiden Grenzen ab. Die Steigungsbedingung wird zu einer einzigen Zahl, die für jeden Streifen gilt: c = sin θ / v. Jeder Streifen der Breite h wird seitlich um h tan θ durchquert, und die drei Überquerungen müssen sich auf die 40 m entlang des Strandes aufsummieren. Aufgelöst nach c ergibt sich:
  
  $i \sum h_{i} tan θ_{i} = 10 tan θ_{s} + 10 tan θ_{f} + 20 tan θ_{w} = 40, sin θ_{i} = c v_{i} \Rightarrow c = 0.13526 s/m$
3. Das liefert den Winkel in jedem Streifen, gemessen von der Senkrechten zu den Grenzlinien:
  
  $θ_{s} = arcsin (4 c) = 32.7 5^{\circ}, θ_{f} = arcsin (7 c) = 71.2 3^{\circ}, θ_{w} = arcsin (1.5 c) = 11.7 1^{\circ}$
4. Jeder Wegabschnitt ist h / cos θ lang, und seine Dauer ist die Länge geteilt durch die Geschwindigkeit:
  
  $T = \frac{11 . 89}{4} + \frac{31 . 08}{7} + \frac{20 . 425}{1 . 5} = 2.97 + 4.44 + 13.62 = 21.03 s$
5. Der alte Weg, der durch den alten Eintrittspunkt bei 36,18 m mit einem direkten Lauf über beide Sandarten führt, verbringt die Hälfte seiner Laufstrecke auf dem weichen Streifen:
  
  $T_{0} = \frac{41 . 34}{2} (\frac{1}{4} + \frac{1}{7}) + \frac{20 . 36}{1 . 5} = 21.69 s$
Antwort

Der schnellste Weg dauert 21,03 s. Er durchquert den weichen Sand steil mit 32,75° zur Senkrechten, verläuft den Großteil der Strecke auf dem festen Sand bei 71,23° und geht nach 35,86 m ins Wasser. Der alte Weg dauert auf dem neuen Strand 21,69 s. Den weichen Streifen zu ignorieren, kostet also 0,67 s, was viel mehr ist als die 16 ms, die eine Abweichung von einem Meter auf dem alten Strand kostet. Der direkte Weg dauert nun 24,41 s. Die Regel, die hier zum Ziel führt, ist dieselbe, der auch Licht folgt, wenn es Glasschichten durchquert: sin θ / v ist in jeder Schicht gleich.

$T^{*} = 21.03 s, x^{*} = 40 - 4.14 = 35.86 m; T_{0} - T^{*} = 0.67 s; T_{s} = 24.41 s$

Lernpfad

Kürzeste Zeit, kleinste Wirkung

Quellen (2)

Elvis the corgi: his running and swimming speeds, the optimal entry point y = x/√((r/s)² − 1) that does not depend on the distance along the beach, and the 35 measured retrieves this page plots: T. J. Pennings, "Do Dogs Know Calculus?", The College Mathematics Journal 34(3), 178–182 (2003).
Fermat's principle in its modern form, that a small change in the path makes no first-order change in the time; the lifeguard as Feynman's illustration of it; and why the stationary path is the one the light takes, from the phases of neighbouring paths: M. Fowler, "Fermat's Principle of Least Time", lecture 3 of the lecture notes for Graduate Classical Mechanics (Physics 7010), University of Virginia.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.