Mohrscher Kreis & Spannung auf einer geneigten Ebene

Gib die drei Spannungen in einem Punkt vor und dreh das Element. Der Kreis zeigt dir alle Ebenen auf einmal: wo die Normalspannung ihr Maximum erreicht, wo die Schubspannung am größten ist, und den Kreis durch die Dicke, den das ebene Bild auslässt. Die Tabelle unter der Zeichnung berechnet jeden einzelnen Wert für dich.

Rechenbeispiel — Mohrscher Kreis & Spannung auf einer geneigten Ebene

Mittelpunkt des Kreises	20,00 MPa
Halbe Differenz	30,00 MPa
Radius	50,00 MPa
Hauptspannung σ1	70,00 MPa
Hauptspannung σ2	−30,00 MPa
Produkt der Hauptspannungen	−2.100,00 MPa²
Hauptwinkel θp	26,57°
σ2-Ebene	−63,43°

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Mohrscher Kreis & Spannung auf einer geneigten Ebene

Welche Spannung auf einer Ebene durch einen Punkt wirkt, hängt davon ab, wie du schneidest. In zwei Dimensionen beschreiben drei Zahlen den Zustand: σx, σy und τxy. Drehst du die Ebene um θ, liefern dir die Transformationsgleichungen neue Werte. Der Mohrsche Kreis zeichnet sie alle auf einmal. Jede Ebene ist ein Punkt (σ, τ) auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt (σx + σy) ÷ 2 und dem Radius R = √(((σx − σy) ÷ 2)² + τxy²). Drehst du die Ebene um θ, wandert ihr Punkt auf dem Kreis um 2θ weiter. Wo der Kreis die σ-Achse schneidet, liegen die Hauptspannungen σ1 und σ2 auf schubspannungsfreien Ebenen. Sein höchster und tiefster Punkt bilden die maximale ebene Schubspannung, R, auf Ebenen unter 45° dazu.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

σ1: die größere der ebenen Hauptspannungen, C + R. Die größte Normalspannung auf jeder zur Zeichenebene senkrechten Ebene
σ2: die kleinere der ebenen Hauptspannungen, C − R. Ihre Ebene steht im rechten Winkel zu der von σ1
R: der Radius des Kreises und die größte Schubspannung auf jeder zur Zeichenebene senkrechten Ebene
θp: der Winkel von der x-Achse zur σ1-Ebene. Er entspricht dem halben Winkel zwischen ihnen auf dem Kreis
τ_abs: die absolute maximale Schubspannung, die halbe Spanne von σ1, σ2 und σ3 = 0. Sie ist größer als R, sobald σ1 und σ2 das gleiche Vorzeichen haben

Versagt, wenn: Die Theorie dünnwandiger Schalen vernachlässigt die Radialspannung, die an der Innenseite −p beträgt. Für die Druckbehälter-Voreinstellung ist σ3 dort −2 MPa statt null. Zusammen mit der Umfangsspannung für dünne Wände beträgt die größte Schubspannung an der Innenfläche 51 MPa, nicht 50. Die Annahme σ3 = 0 gilt nur an der Außenfläche exakt, und auch die Spannungen der dünnen Wand selbst sind Näherungen. Bei einer derart dünnen Wand sind sie auf etwa 1 % genau.

Zieh einen Stab und die größte Schubspannung tritt schräg auf 🖖

Klick Einachsiger Zug. Der Stab wird mit 100 MPa gezogen. In seinem Querschnitt, bei θ = 0, ist die Schubspannung null. Drehst du das Element, entsteht Schubspannung. Sie wächst bis θ = 45°, erreicht dort 50 MPa – die Hälfte der Zugspannung – und nimmt danach wieder ab. Die Tabelle gibt sie mit −50,00 an. Nach der Vorzeichenkonvention zeigt die Schubspannung auf einer so gedrehten Ebene in die negative Richtung. Auf dem Kreis ist das der höchste oder tiefste Punkt, eine Vierteldrehung vom Start entfernt, weil sich jeder Winkel am Element im Kreis verdoppelt. Metalle wie Stahl fließen, indem Versetzungen auf Gleitebenen wandern. Das wird durch Schubspannung angetrieben, also geben sie schräg nach. Ein bis zum Bruch gezogener Prüfstab aus Stahl endet in einem Trichterbruch, dessen Rand grob unter 45° zur Achse verläuft. Die Tresca-Fließbedingung macht daraus eine Regel. Ein duktiles Metall fließt, sobald seine größte Schubspannung die Hälfte der Streckgrenze erreicht.

Tordiere Kreide und sie bricht in einer 45°-Spirale 🖖

Klick Reiner Schub (Torsion). Eine tordierte Welle trägt 100 MPa Schubspannung im Querschnitt. Drehst du das Element um 45°, verschwindet die Schubspannung vollends. Ein Flächenpaar wird mit 100 MPa gezogen, das andere mit 100 MPa gedrückt. Torsion bedeutet Zug und Druck im rechten Winkel zueinander, ausgerichtet unter 45° zur Welle. Welcher der beiden Beanspruchungen ein Werkstoff nachgibt, entscheidet über den Bruch. Klick Gusseisen (Torsion). Gusseisen ist zugempfindlich. Es versagt genau dort, wo der Zug auftritt, nämlich auf der Ebene unter +45°. Ein tordierter Gusseisenstab reißt entlang einer Spirale unter 45° zur Achse. Ein Stück Tafelkreide bricht zwischen deinen Fingern exakt genauso. Eine Stahlwelle versagt stattdessen durch Schubspannung, und die ist direkt im Querschnitt am größten, bei θs = 0°. Deshalb schert Stahl gerade quer zum Stab ab.

Die größte Schubspannung eines Druckbehälters liegt nicht auf dem gezeichneten Kreis 🖖

Klick Druckbehälterwand: 100 MPa in Umfangsrichtung und 50 MPa entlang der Achse. Der Kreis durch diese beiden Werte hat einen Radius von 25 MPa, und diese 25 MPa sind die größte Schubspannung auf jeder Ebene senkrecht zur Wand. Die Wand hat jedoch eine dritte Richtung durch die Dicke. An der Außenfläche drückt nichts auf sie, also ist σ3 = 0. Der Kreis von 100 hinab auf 0 ist doppelt so groß. Die Schubspannung auf ihm beträgt 50 MPa, wirkend auf Ebenen, die schräg durch die Dicke verlaufen. Prüfst du den Behälter nur mit dem ebenen Kreis, ergibt der Tresca-Sicherheitsfaktor 250 ÷ (2 × 25) = 5,00. Die 2,50 dieser Seite sind jedoch der korrekte Wert. Die Falle schnappt immer dann zu, wenn die zwei Hauptspannungen das gleiche Vorzeichen haben. Am extremsten ist das bei Gleichmäßig zweiachsig. Dort schrumpft der ebene Kreis zu einem Punkt. Keine Ebene quer durch das Blech überträgt Schubspannung, trotzdem wirken 30 MPa davon durch die Dicke.

Aufgabe vollständig gelöst

Prüfung eines Druckbehälters auf Fließen 5 Schritte
Ein Stahlzylinder mit 500 mm Radius und 10 mm Wandstärke enthält Gas unter 2 MPa. Der Stahl fließt bei 250 MPa. Bestimme die Spannungen in der Wand, die größte Schubspannung und den Sicherheitsfaktor gegen Fließen nach der Tresca-Bedingung. Klick Druckbehälterwand, um jeden Wert zu prüfen.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Die Theorie dünnwandiger Schalen liefert die zwei Spannungen in der Wand direkt. Die Umfangsspannung ist doppelt so groß wie die axiale Spannung:
  
  $σ_{h} = \frac{p r}{t} = \frac{2 \cdot 500}{10} = 100 MPa, σ_{a} = \frac{p r}{2 t} = 50 MPa$
2. Keine der Richtungen erfährt Schubspannung. Daher sind das bereits die Hauptspannungen, und der ebene Kreis folgt daraus:
  
  $σ_{1} = 100, σ_{2} = 50, C = \frac{100 + 50}{2} = 75, R = \frac{100 - 50}{2} = 25 MPa$
3. Die größte Schubspannung auf jeder zur Wand senkrechten Ebene ist der Radius:
  
  $τ_{m a x, in} = R = 25 MPa$
4. An der Außenfläche drückt nichts auf die Wand. Die dritte Hauptspannung ist also null, und der größte der drei Kreise verläuft von σ1 dorthin:
  
  $σ_{3} = 0, τ_{abs} = \frac{σ _{1} - σ _{3}}{2} = \frac{100 - 0}{2} = 50 MPa$
5. Tresca vergleicht die doppelte größte Schubspannung mit der Streckgrenze:
  
  $σ_{T} = 2 τ_{abs} = 100 MPa, n = \frac{250}{100} = 2.50$
Antwort

Die Wand überträgt 100 MPa in Umfangsrichtung und 50 MPa entlang der Achse. Die größte Schubspannung beträgt 50 MPa, durch die Dicke, und nicht die 25 MPa, die der ebene Kreis anzeigt. Der Tresca-Sicherheitsfaktor liegt bei 2,50. Allein aus dem ebenen Kreis berechnet, wäre er 5,00 gewesen – doppelt so hoch, wie er für den Behälter tatsächlich ist.

$n = 2.50, \frac{250}{2 \cdot 25} = 5.00$

Lernpfad

Wohin die Last geht

Quellen (2)

Where the circle comes from. Mohr published the graphical construction for the state of stress at a point in 1882: O. Mohr, "Über die Darstellung des Spannungszustandes und des Deformationszustandes eines Körperelementes." Zivilingenieur 28, 1882.
Where the two material values would be checked. THEY WERE NOT TAKEN FROM HERE — see the note: A materials handbook or the relevant specification: ASTM A36 or EN 10025 S275 for structural steel, ASTM A48 for grey cast iron.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.